Hedging Options on Asset Portfolios against Just One Underlying Asset in the Presence of Transaction Costs

Diese Studie untersucht die optimale Absicherungsstrategie für Optionen auf ein Zwei-Asset-Portfolio unter Berücksichtigung von Transaktionskosten und zeigt durch Simulationen, dass die Absicherung mit einem korrelierten, aber nicht zugrundeliegenden Vermögenswert der Absicherung mit dem korrekten Vermögenswert vorzuziehen sein kann, wenn die Korrelation hinreichend hoch und die Transaktionskosten niedrig sind, wie durch risikoadjustierte Wertmaße bestimmt.

Das Wesentliche

Stellen Sie sich vor, Sie besitzen ein Ticket (eine Option), das Ihnen das Recht einräumt, ein bestimmtes Haus (Vermögenswert 1) zu einem festgelegten Preis in der Zukunft zu kaufen. Der Wert dieses Tickets hängt ausschließlich davon ab, wie sich der Preis dieses Hauses verändert.

Um sich vor Geldverlusten zu schützen, falls der Hauspreis fällt, versuchen Sie normalerweise, sich abzusichern („hedge"). In der perfekten, reibungsfreien Welt mathematischer Lehrbücher würden Sie das Haus selbst ständig kaufen und verkaufen, um Ihr Risiko auszugleichen. Doch in der realen Welt sind der Kauf und Verkauf von Häusern teuer. Es fallen Maklergebühren, Steuern und der Aufwand des Umzugs an (diese sind Transaktionskosten). Wenn Sie versuchen, Ihr Portfolio jedes Mal neu zu balancieren, wenn sich der Preis um einen Cent bewegt, werden die Gebühren all Ihre Gewinne auffressen.

Dieser Artikel stellt eine clevere Frage: Was wäre, wenn Sie sich mit einem anderen Haus absichern, das günstiger zu handeln ist, sich aber sehr ähnlich entwickelt?

Das Setup: Das „richtige" Haus vs. das „falsche" Haus

Die Autoren haben eine Simulation mit zwei Häusern aufgebaut:

1. Das „richtige" Haus (Vermögenswert 1): Dies ist das tatsächliche Haus, auf dem Ihr Ticket basiert. Es ist die perfekte Übereinstimmung, aber stellen Sie sich vor, es liegt in einer abgelegenen Gegend, wo es jedes Mal viel Geld kostet, wenn Sie versuchen, einen Anteil davon zu kaufen oder zu verkaufen (hohe Transaktionskosten).
2. Das „falsche" Haus (Vermögenswert 2): Dies ist ein anderes Haus in einer Nachbargemeinde. Es ist nicht das exakte Haus, für das Ihr Ticket ausgegeben wurde, aber es bewegt sich in seinem Preis fast genau so wie das „richtige" Haus. Entscheidend ist, dass es sich in einer belebten Stadt befindet, wo der Handel billig und einfach ist (niedrige Transaktionskosten).

Die Forscher stellten die Frage: Ist es besser, hohe Gebühren für den Handel mit dem „richtigen" Haus zu zahlen oder niedrige Gebühren für den Handel mit dem „falschen" Haus?

Das Experiment: Simulation des Marktes

Sie nutzten einen Computer, um 10.000 verschiedene „Was-wäre-wenn"-Szenarien (Simulationen) durchzuführen. Sie spielten mit drei Hauptreglern:

• Korrelation ($\rho$): Wie eng die beiden Häuser miteinander schwanken. Wenn $\rho$ 0,99 beträgt, sind sie praktisch Zwillinge. Wenn es 0,2 ist, bewegen sie sich kaum gemeinsam.
• Transaktionskosten: Wie viel es kostet, jedes Haus zu handeln (von 0 % bis zu 10 %).
• Risikotoleranz ($\lambda$): Wie sehr sich der Anleger um Risiken sorgt. Eine hohe Zahl bedeutet, dass sie sehr nervös sind und Risiken um jeden Preis vermeiden wollen. Eine niedrige Zahl bedeutet, dass sie bereit sind, Risiken für potenziellen Gewinn einzugehen.

Sie maßen den Erfolg mit einer Kennzahl namens Risikoadjustierter Wert (RAV). Denken Sie daran als eine „Punktzahl", die Ihnen sagt: „Ist das Geld, das ich verdiene, den Stress und das Risiko wert, das ich eingehe?"

Die Erkenntnisse: Wann man das „falsche" Haus handeln sollte

Hier ist das, was sie entdeckten, übersetzt in alltägliche Logik:

1. Das „perfekte Match" ist nicht immer der Gewinner
Wenn das „richtige" Haus sehr teuer zu handeln ist und das „falsche" Haus billig zu handeln ist, könnten Sie besser damit fahren, das „falsche" Haus zu handeln – aber nur, wenn sich die beiden Häuser in ihrer Bewegung praktisch identisch verhalten.

• Die Analogie: Stellen Sie sich vor, Sie müssen einen Fluss überqueren. Die „richtige" Brücke ist der direkte Weg, aber die Mautgebühr beträgt 100 $. Die „falsche" Brücke liegt eine Meile aus Ihrem Weg, aber die Mautgebühr beträgt nur 1 $. Wenn die „falsche" Brücke zu 99 % parallel zur „richtigen" Brücke verläuft, spart die Umleitung Ihnen Geld. Aber wenn die „falsche" Brücke in eine völlig andere Richtung führt (niedrige Korrelation), werden Sie am Ende verloren sein, und die billige Mautgebühr wird nicht helfen.

2. Die „hohe Kosten"-Falle
Wenn die Gebühren für den Handel mit einem beliebigen Haus riesig sind (wie 10 %), ist die beste Strategie oft gar nichts zu tun.

• Die Analogie: Wenn die Mautgebühr für die Überquerung jeder Brücke 1.000 $ beträgt und Ihr Ticket nur 500 $ wert ist, sollten Sie gar nicht überqueren. Sie sind besser dran, Ihr Ticket zu behalten und das Risiko zu akzeptieren, als die Mautgebühr zu zahlen und Geld zu verlieren. Der Artikel stellt fest, dass dies oft auf sehr teure Vermögenswerte wie Immobilien oder Kryptowährungen zutrifft, wo Handelsgebühren enorm sind.

3. Der Faktor „Risikovermeidung"
Ihre Entscheidung hängt davon ab, wie sehr Sie Angst vor Geldverlust haben.

• Wenn Sie sehr risikoscheu sind (hohes $\lambda$), bevorzugen Sie das „richtige" Haus, auch wenn es teuer ist, weil es die perfekte Absicherung ist.
• Wenn Sie sich weniger um Risiken sorgen (niedriges $\lambda$) und das „falsche" Haus sehr billig und dem „richtigen" sehr ähnlich ist, könnten Sie das „falsche" Haus wählen, um Gebühren zu sparen.

4. Die „Schritt-für-Schritt"-Anforderung
Der Artikel stellte fest, dass für einen erfolgreichen Handel mit dem „falschen" Haus die Korrelation ($\rho$) extrem hoch sein muss (etwa 0,99).

• Die Analogie: Selbst wenn sich zwei Häuser in derselben Nachbarschaft befinden, wenn eines um 1 % steigt und das andere um 0,5 %, bewegen sie sich nicht im „Schritt". Um das billige „falsche" Haus als Schild zu nutzen, müssen sie sich fast genau gleich bewegen. Wenn sie auch nur ein wenig auseinanderdriften, versagt die billige Absicherung Ihren Schutz.

Das Fazit

Der Artikel kommt zu dem Schluss, dass Absicherung nicht nur darum geht, den „richtigen" Vermögenswert auszuwählen; es geht um die Kosten des Handels.

• Wenn die Handelskosten niedrig sind: Bleiben Sie beim „richtigen" Vermögenswert (dem, auf dem Ihre Option tatsächlich basiert). Es ist die sicherste Wette.
• Wenn die Handelskosten hoch sind: Sie haben zwei Möglichkeiten. Entweder gar nicht absichern (wenn die Kosten astronomisch sind) oder mit dem „falschen" Vermögenswert absichern (wenn er billig zu handeln ist und sich fast genau wie das echte Ding bewegt).
• Der Haken: Sie können den „falschen" Vermögenswert nur verwenden, wenn die beiden Vermögenswerte praktisch Zwillinge sind (sehr hohe Korrelation). Wenn dies nicht der Fall ist, gleichen die Einsparungen bei den Gebühren das Risiko eines Scheiterns der Absicherung nicht aus.

Kurz gesagt: Manchmal ist das „falsche" Werkzeug tatsächlich das beste Werkzeug, vorausgesetzt, es ist billig zu verwenden und erledigt die Arbeit fast genauso gut wie das „richtige" Werkzeug. Aber wenn die Arbeit zu teuer ist, um sie zu erledigen, ist es manchmal besser, sie einfach in Ruhe zu lassen.

Technische Zusammenfassung

Technische Zusammenfassung: Absicherung von Optionen auf Vermögensportfolios gegen nur einen Basiswert bei Vorhandensein von Transaktionskosten

Problemstellung
Der Beitrag behandelt eine praktische Einschränkung in der Standardtheorie der Optionsabsicherung: die Annahme, dass der Basiswert einer Option kontinuierlich und ohne Reibungsverluste gehandelt werden kann. In der Realität machen Transaktionskosten (bestehend aus festen Gebühren und proportionalen Slippage-Kosten) eine kontinuierliche Delta-Absicherung unerschwinglich teuer, was in kontinuierlichen Zeitmodellen wie Black-Scholes oft zu unendlichen Kosten führt. Darüber hinaus untersucht der Beitrag ein spezifisches Szenario, in dem ein Investor eine Portfolio-Option hält, die auf einer Mischung aus zwei korrelierten Vermögenswerten ($S_{t1}$ und $S_{t2}$) basiert, jedoch gezwungen ist, nur einen dieser Vermögenswerte zur Absicherung zu verwenden. Die zentrale Forschungsfrage besteht darin, die optimale Absicherungsstrategie unter diesen Einschränkungen zu bestimmen: Sollte der Investor den „richtigen" Vermögenswert (den, der direkt der Portfolio-Komponente zugrunde liegt), den „falschen" Vermögenswert (den anderen korrelierten Vermögenswert, der möglicherweise günstiger zu handeln ist) verwenden oder ganz auf eine Absicherung verzichten (eine ungesicherte Position halten)?

Methodik
Die Autoren verwenden einen Monte-Carlo-Simulationsrahmen, um Delta-Absicherungsstrategien für Aktienoptionen auf Vermögenswerte zu analysieren, die einer geometrischen Brownschen Bewegung (gBm) folgen.

• Portfolio-Konstruktion: Das zugrunde liegende Portfolio ist definiert als $S_t = \alpha S_{t1} + (1-\alpha)S_{t2}$, wobei $\alpha$ den Anteil des ersten Vermögenswerts darstellt. Die Studie konzentriert sich auf Fälle, in denen $\alpha=0$ oder $\alpha=1$ (das Portfolio besteht vollständig aus einem Vermögenswert), und betrachtet die Absicherung entweder von $S_{t1}$ oder $S_{t2}$.
• Absicherungsmechanismus: Die Studie nutzt eine diskrete Delta-Absicherung. Das Delta wird basierend auf der Black-Scholes-Formel berechnet, angepasst an den gehandelten spezifischen Vermögenswert. Das Portfolio wird in festen Intervallen ($\delta t$) neu gewichtet.
• Transaktionskosten: Proportionale Transaktionskosten ($k$) werden auf den gehandelten Vermögenswert angewendet. Die Kostenstruktur umfasst eine feste Komponente und eine proportionale Komponente, die als Slippage modelliert wird.
• Risikoadjustierter Wert (RAV): Zur Bewertung der Leistung führen die Autoren den Risikoadjustierten Wert (RAV) als primäre Entscheidungsgröße ein. RAV ist definiert als:
  $$RAV = \text{Durchschnittlicher simulierter Wert} - \lambda(\text{Standardabweichung des simulierten Wertes})$$
  wobei $\lambda$ den Marktpreis des Risikos darstellt. Diese Metrik balanciert die erwartete Rendite gegen die Volatilität aus.
• Simulationsparameter: Die Studie führt 10.000 Simulationen mit variierenden Parametern durch: Korrelationskoeffizienten ($\rho$) im Bereich von 0,2 bis 0,99, Transaktionskosten ($k$) von 0 % bis 20 %, Neuweightungsintervalle (2 bis 252 Schritte) und Marktpreise des Risikos ($\lambda$) von 0,2 bis 2,0.
• Leland-Zahl: Die Studie bezieht sich auf die Leland-Zahl ($A$), um die Durchführbarkeit modifizierter Black-Scholes-Strategien zu bestimmen. Wenn $A > 1$, stellt die Studie fest, dass bei hohen Transaktionskosten das Nicht-Absichern theoretisch der Absicherung überlegen ist.

Hauptergebnisse
Die Simulationsergebnisse, analysiert durch RAV, ergeben folgende Erkenntnisse:

1. Auswirkung der Transaktionskosten: Bei Vorhandensein von Transaktionskosten führt eine häufige Neuweightung zu erheblichen Verlusten im Vergleich zu ungesicherten Positionen oder weniger häufigem Handel. Wenn die Transaktionskosten extrem hoch sind (z. B. 10 % oder 20 %), ist die optimale Strategie konsistent darin, überhaupt nicht zu absichern, unabhängig von der Korrelation zwischen den Vermögenswerten.
2. Handel mit dem „falschen" Vermögenswert: Die Studie identifiziert spezifische Bedingungen, unter denen die Absicherung mit dem „falschen" Vermögenswert (dem Vermögenswert, der nicht die primäre Exposition des Portfolios darstellt) der Absicherung mit dem „richtigen" Vermögenswert oder dem Verzicht auf Absicherung überlegen ist. Dies tritt auf, wenn:
   • Die Korrelation ($\rho$) zwischen den beiden Vermögenswerten sehr hoch ist (nahe 0,99).
   • Die Transaktionskosten für den „falschen" Vermögenswert deutlich niedriger sind als für den „richtigen" Vermögenswert.
   • Der Marktpreis des Risikos ($\lambda$) niedrig ist (was eine geringere Risikoaversion anzeigt).
   • Spezifisch: Bei Kosten von 1 % für den richtigen Vermögenswert und 0 % für den falschen Vermögenswert wird der Handel mit dem falschen Vermögenswert bei $\rho=0,99$ und hohen Neuweightungsfrequenzen optimal.
3. Rolle von $\lambda$: Der Marktpreis des Risikos ($\lambda$) ist ein entscheidender Bestimmungsfaktor. Hohe $\lambda$-Werte (hohe Risikoaversion) begünstigen allgemein den Handel mit dem „richtigen" Vermögenswert oder den Verzicht auf Absicherung, während niedrigere $\lambda$-Werte die Strategie mit dem „falschen" Vermögenswert bei hohen Korrelationen machbarer machen.
4. Gemischte Portfolios: Für Zwischenwerte von $\alpha$ (gemischte Portfolios) sind die simulierten Portfolio-Preise im Allgemeinen niedriger als für reine Portfolios ($\alpha=0$ oder $1$), und das Risiko (Standardabweichung) ist höher, wenn der Anteil des gehandelten Vermögenswerts gering ist.

Bedeutung und Behauptungen
Der Beitrag beansprucht, einen quantitativen Rahmen für Finanzmanager bereitzustellen, um zu entscheiden, ob sie ein Portfolio unter Berücksichtigung von Transaktionskosten mit einem günstigeren, korrelierten Vermögenswert statt mit dem exakten Basiswert absichern sollen.

• Managerische Einsicht: Die Autoren behaupten, dass ein Portfolio-Manager potenziell höhere Renditen erzielen kann, indem er einen „falschen", aber günstigeren korrelierten Vermögenswert handelt, vorausgesetzt, die Korrelation ist ausreichend hoch und die Transaktionskosten für den „richtigen" Vermögenswert sind prohibitiv.
• Entscheidungsschwellen: Die Studie liefert eine Entscheidungsmatrix (zusammengefasst in Tabelle 3.6), die angibt, wann der falsche Vermögenswert, der richtige Vermögenswert oder keiner von beiden gehandelt werden sollte, basierend auf dem Zusammenspiel von $\rho$, $\lambda$ und Transaktionskosten.
• Einschränkungen: Die Autoren vermerken bescheiden, dass ihre Schlussfolgerungen auf simulierten Daten unter Verwendung von gBm und spezifischen Transaktionskostenmodellen basieren. Sie schlagen vor, dass die Wirksamkeit der Strategie stark von der Annahme abhängt, dass der „falsche" Vermögenswert günstiger zu handeln ist und hoch korreliert ist. Der Beitrag beansprucht nicht, das Risiko zu eliminieren, sondern es in Märkten mit Reibungsverlusten kosteneffektiver zu managen.

Zusammenfassend zeigt die Studie, dass in Märkten mit Transaktionskosten die starre Einhaltung der Absicherung des exakten Basiswerts nicht immer optimal ist. Unter Bedingungen hoher Korrelation und unterschiedlicher Transaktionskosten kann der Ersatz des Absicherungsinstruments durch einen günstigeren, korrelierten Vermögenswert eine rationale, risikoadjustierte Strategie sein.