Using Physics Informed Neural Network (PINN) and Neural Network (NN) to Improve a $k-ω$ Turbulence Model

Die vorliegende Arbeit verbessert das Wilcox k-ω-Turbulenzmodell durch die Kombination von Physics-Informed Neural Networks (PINN) und neuronalen Netzen, um die unzureichende Modellierung der turbulenten Diffusion zu korrigieren und damit präzise Vorhersagen für Strömungen in Kanälen, an ebenen Platten sowie über periodische Hügel zu ermöglichen.

Das Wesentliche

🌊 Die Geschichte vom „verirrten" Wasserstrudel

Stellen Sie sich vor, Sie wollen vorhersagen, wie Wasser durch ein Rohr fließt oder wie Luft über ein Flugzeugflügel strömt. In der Physik nennen wir das Strömungsmechanik. Um das zu berechnen, nutzen Ingenieure Computerprogramme (CFD), die versuchen, das Verhalten von Millionen kleiner Wasser- oder Luftteilchen zu simulieren.

Das Problem ist: Wasser und Luft sind oft turbulent. Das bedeutet, sie wirbeln wild durcheinander, wie ein chaotischer Haufen tanzender Menschen. Diese Wirbel sind schwer zu berechnen.

Das alte Problem: Der „faule" Mathematiker

Bisher gab es eine beliebte Methode, die k-ω-Modell genannt wird. Man kann sich das wie einen erfahrenen, aber etwas faulen Mathematiker vorstellen, der versucht, das Chaos vorherzusagen.

• Was er gut macht: Er sagt sehr genau voraus, wie schnell das Wasser im Durchschnitt fließt (die Geschwindigkeit). Das ist wie die Hauptstraße, auf der alle Autos fahren.
• Was er schlecht macht: Er unterschätzt völlig, wie viel Energie in den kleinen Wirbeln steckt (die turbulente kinetische Energie). Er denkt, die Wirbel sind harmlos, dabei sind sie es nicht. Es ist, als würde er sagen: „Der Sturm ist nur ein leichter Windhauch", obwohl draußen ein Orkan tobt.

In der Wissenschaft heißt das: Das Modell sagt die Geschwindigkeit gut voraus, aber die Energie der Wirbel ist viel zu klein berechnet.

Die neue Lösung: Ein KI-Team aus zwei Experten

Lars Davidson hat eine geniale Idee gehabt, um diesen „faulen Mathematiker" zu verbessern. Er hat ihm zwei neue Assistenten an die Seite gestellt, die auf Künstlicher Intelligenz (KI) basieren.

Stellen Sie sich das so vor:

1. Der Detektiv (PINN – Physics Informed Neural Network):
   Dieser Assistent ist ein super-scharfer Detektiv. Er hat einen perfekten Bericht von einem echten Experiment (einem „DNS"-Datensatz) in der Hand, der genau zeigt, wie das Wasser wirklich fließt.

   • Der Detektiv schaut sich an, wo der alte Mathematiker falsch lag (nämlich bei der „turbulenten Diffusion", also wie die Wirbel Energie verteilen).
   • Er berechnet eine neue, korrekte Formel für die Wirbel-Energie. Er sagt: „Hey, hier muss die Energie viel höher sein!"
   • Das Ergebnis: Der Detektiv erstellt eine neue Regel, die die Wirbel-Energie perfekt beschreibt.

2. Der Übersetzer (NN – Neural Network):
   Der Detektiv ist brillant, aber seine Formeln sind sehr kompliziert und hängen von spezifischen Orten ab (z. B. „genau in der Mitte des Rohrs"). Das ist für den Computer schwer zu nutzen, wenn er das Wasser in einem anderen Rohr oder über einem Berg berechnen soll.

   • Hier kommt der Übersetzer ins Spiel. Er lernt vom Detektiv. Er schaut sich an, was der Detektiv berechnet hat, und lernt daraus eine einfache, universelle Regel.
   • Der Übersetzer sagt: „Ich habe verstanden! Egal ob Rohr oder Fluss, wenn die Strömung so aussieht, dann muss die Energie so hoch sein." Er wandelt die komplizierten Detektiv-Formeln in einfache, anwendbare Regeln um.

Das große Experiment: Der neue „k-ω-PINN-NN"-Modell

Lars hat diese beiden Assistenten in das alte Computermodell eingebaut. Das Ergebnis ist ein neues Modell, das k-ω-PINN-NN heißt.

• Im Rohr (Kanalfströmung): Das alte Modell war wie ein Auto, das auf der Autobahn gut fährt, aber in Kurven schleudert. Das neue Modell fährt perfekt. Es sagt nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Energie der Wirbel genau richtig voraus.
• Über dem Berg (Periodic Hill): Das ist wie ein Flugzeug, das über eine wellige Landschaft fliegt. Hier gab es bisher große Probleme. Das neue Modell hat hier ebenfalls hervorragende Ergebnisse geliefert und passt sich viel besser an die Realität an als das alte.

Warum ist das so wichtig?

Früher mussten Ingenieure die Modelle manuell „feinjustieren" (wie einen alten Radio-Empfang). Das war mühsam und funktionierte nicht immer.
Mit diesem neuen Ansatz:

1. Lernen aus der Realität: Die KI lernt direkt aus den perfekten Daten (DNS), wo die alten Modelle versagen.
2. Universalität: Der „Übersetzer" (das NN) macht die Regeln so, dass sie nicht nur für ein Rohr, sondern für viele verschiedene Situationen funktionieren.
3. Zukunft: Am Ende des Papers zeigt Lars sogar, wie man diese KI-Regeln in eine ganz einfache mathematische Formel umwandeln kann (Symbolic Regression). Das ist wie ein Zaubertrick: Man nimmt die komplexe KI und verwandelt sie in eine einfache Gleichung, die jeder Computer in der Industrie sofort verstehen und nutzen kann, ohne dass man riesige KI-Programme installieren muss.

Zusammenfassung in einem Satz

Lars Davidson hat ein altes, fehlerhaftes Wetter-Modell für Wasser und Luft genommen, ihm einen KI-Detektiv gegeben, der die Fehler findet, und einen KI-Übersetzer, der diese Korrekturen in einfache Regeln verwandelt – damit Ingenieure in Zukunft viel genauere Vorhersagen über Strömungen treffen können.

Technische Zusammenfassung

Technische Zusammenfassung: Verbesserung des $k-\omega$-Turbulenzmodells mittels PINN und NN

Titel: Using Physics Informed Neural Network (PINN) and Neural Network (NN) to Improve a $k-\omega$ Turbulence Model
Autor: Lars Davidson (Chalmers University of Technology, Schweden)

1. Problemstellung

Das Wilcox $k-\omega$-Turbulenzmodell (ein RANS-Modell) liefert zwar gute Vorhersagen für das mittlere Geschwindigkeitsfeld in vollentwickelten Kanalströmungen und Grenzschichten an ebenen Platten, sagt jedoch die turbulente kinetische Energie ($k$) systematisch zu niedrig voraus. Dies ist ein bekanntes Problem bei den meisten Zwei-Gleichungs-Turbulenzmodellen.
Eine Analyse der Terme in der $k$-Gleichung im Vergleich zu DNS-Daten (Direct Numerical Simulation) zeigt, dass zwar die Produktion ($P^k$) und die Dissipation ($\varepsilon$) gut vorhergesagt werden, der Term für die turbulente Diffusion ($D_k$) jedoch stark fehlerhaft ist. Da die turbulente Viskosität $\nu_t = k/\omega$ korrekt vorhergesagt wird (da das Geschwindigkeitsfeld stimmt), muss die Vorhersage von $k$ verbessert werden, ohne dabei das bereits korrekte $\nu_t$ zu zerstören.

2. Methodik

Der Autor entwickelt einen hybriden Ansatz, der Physics Informed Neural Networks (PINN) und herkömmliche Neural Networks (NN) kombiniert, um ein neues Modell namens $k-\omega$-PINN-NN zu erstellen. Der Prozess gliedert sich in folgende Schritte:

• Schritt 1: Optimierung der turbulenten Diffusion mittels PINN

  • Die $k$-Gleichung für eine vollentwickelte Kanalströmung wird als gewöhnliche Differentialgleichung (ODE) für die turbulente Viskosität $\nu_{t,PINN}$ umformuliert.
  • Dabei werden die Terme $k$, $P^k$ und $\varepsilon$ aus DNS-Daten entnommen.
  • Ein PINN löst diese ODE, um ein $\nu_{t,PINN}$ zu finden, das die turbulente Diffusion so genau wie möglich an die DNS-Werte anpasst.
  • Daraus wird ein neuer, ortsabhängiger turbulenter Prandtl-Zahl-Wert berechnet: $\sigma_{k,PINN} = \nu_t / \nu_{t,PINN}$.

• Schritt 2: Kompensation zur Erhaltung der turbulenten Viskosität

  • Eine Änderung von $k$ würde automatisch auch $\nu_t = k/\omega$ ändern, was das bereits korrekte Geschwindigkeitsfeld verschlechtern würde.
  • Um $\nu_t$ konstant zu halten (d.h. $\nu_{t,neu} = \nu_{t,alt}$), müssen die Quellen- und Senkenterme in den Gleichungen für $k$ und $\omega$ angepasst werden.
  • Es werden zwei neue Dämpfungsfunktionen eingeführt:
    • $C_{k,PINN}$: Multiplikator vor dem Dissipationsterm in der $k$-Gleichung.
    • $C_{\omega2,PINN}$: Multiplikator vor dem Zerstörungsterm in der $\omega$-Gleichung.
  • Diese Funktionen werden analytisch so abgeleitet, dass sie die DNS-Werte für $k$ und $\omega$ reproduzieren, während $\nu_t$ unverändert bleibt.

• Schritt 3: Generalisierung mittels Neural Networks (NN)

  • Die oben genannten Größen ($\sigma_{k,PINN}$, $C_{k,PINN}$, $C_{\omega2,PINN}$) hängen in der ersten Phase nur von der normierten Wandentfernung $y/\delta$ ab, was sie für komplexe Strömungen (z.B. mit Ablösung) unbrauchbar macht.
  • Um dies zu überwinden, werden drei separate NN-Modelle trainiert, um diese Größen als Funktion von zwei dimensionslosen Eingangsparametern vorherzusagen:
    1. $\tau_{tot} / u_\tau^2$ (Gesamtspannung)
    2. $\nu_t / (y u_\tau)$ (Verhältnis von turbulenter zu viskoser Skala)
  • Die NN-Modelle lernen die Beziehung zwischen diesen Eingangsparametern und den Zielen ($\sigma_{k,PINN}$ etc.), die zuvor mit PINN und DNS berechnet wurden.

3. Wichtige Beiträge

• Hybride Architektur: Die Kombination aus PINN (zur physikalisch fundierten Ableitung der Korrekturterme basierend auf DNS) und NN (zur Generalisierung dieser Terme auf komplexe Strömungen).
• Erhaltung der Basisphysik: Das Modell wurde so konstruiert, dass es die korrekte turbulente Viskosität und damit das mittlere Geschwindigkeitsfeld des Standard-$k-\omega$-Modells beibehält, während es gleichzeitig die Fehler in der turbulenten kinetischen Energie korrigiert.
• Symbolische Regression als Alternative: Der Autor demonstriert am Ende, dass die NN-Modelle durch symbolische Regression (mit dem Tool pySR) durch algebraische Gleichungen ersetzt werden können. Dies ermöglicht eine einfache Integration in kommerzielle CFD-Codes, die oft keine PyTorch-Modelle unterstützen.
• Open Source: Alle verwendeten Python-Skripte (PINN, NN, CFD-Code) sind verfügbar.

4. Ergebnisse

Das neue $k-\omega$-PINN-NN-Modell wurde an drei Testfällen validiert:

1. Vollentwickelte Kanalströmung ($Re_\tau = 550, 2000, 5200, 10000$):

   • Das Modell liefert hervorragende Ergebnisse für Geschwindigkeitsprofile, Hautreibung und turbulente kinetische Energie ($k$).
   • Die Vorhersage von $k$ ist deutlich besser als beim Standard-$k-\omega$-Modell.
   • Die NN-Parameter ($\sigma_{k,NN}$, etc.) zeigen ein ähnliches Verhalten über verschiedene Reynolds-Zahlen hinweg, was auf eine gute Generalisierung hindeutet.

2. Grenzschichtströmung an einer ebenen Platte ($Re_\theta = 4500$):

   • Hautreibung und Geschwindigkeitsprofil werden sehr gut vorhergesagt.
   • Das Maximum der turbulenten kinetischen Energie wird zwar etwas zu hoch vorhergesagt, aber die Form der Verteilung ist deutlich besser als beim Standardmodell.

3. Strömung über periodische Hügel (Periodic Hill, $Re = 10.600$):

   • Dies ist ein komplexer Fall mit Ablösung und Wiederanlegung.
   • Die Übereinstimmung mit DNS-Daten für Geschwindigkeit und Scherspannungen ist sehr gut und deutlich besser als beim Standardmodell.
   • Die Vorhersage von $k$ ist im Allgemeinen etwas zu hoch, was jedoch typisch für Zwei-Gleichungs-Modelle in solchen Strömungen ist.
   • Interessanterweise nehmen die NN-Koeffizienten in diesem Fall fast konstante Werte an ($\sigma_{k,NN} \approx 1.21$, $C_{k,NN} \approx 0.41$, $C_{\omega2,NN} \approx 0.043$) im Großteil des Strömungsfeldes, da die Eingangsparameter die Trainingsgrenzen nicht überschreiten.

5. Bedeutung und Ausblick

Die Arbeit zeigt einen vielversprechenden Weg auf, wie maschinelle Lernverfahren genutzt werden können, um physikalische Turbulenzmodelle zu verbessern, ohne deren strukturelle Integrität zu verlieren.

• Praktische Anwendbarkeit: Der Ansatz ist nicht auf akademische Beispiele beschränkt, sondern wurde in einem vollwertigen RANS- und LES-Löser (pyCALC) implementiert.
• Brücke zur Industrie: Durch den Vorschlag, die NN-Modelle durch symbolische Regression (algebraische Gleichungen) zu ersetzen, wird das größte Hindernis für den Einsatz von ML in der industriellen CFD (Integration in kommerzielle Codes) adressiert.
• Methodische Weiterentwicklung: Die Studie verdeutlicht, dass PINN hervorragend geeignet ist, um "Ground Truth"-Korrekturen aus DNS-Daten zu extrahieren, während NN diese Korrekturen für den Einsatz in unbekannten Strömungsfeldern generalisieren.

Zusammenfassend stellt das $k-\omega$-PINN-NN-Modell einen signifikanten Fortschritt dar, der die Genauigkeit von RANS-Simulationen für turbulente kinetische Energie und damit verbundene Größen erheblich steigert, während die Stabilität und Robustheit des klassischen Ansatzes gewahrt bleibt.