Quantum theory based on real numbers cannot be experimentally falsified

Die Studie zeigt, dass die reale Quantentheorie experimentell nicht von der komplexen Quantentheorie unterscheidbar ist, da die Annahmen, die eine Unterscheidung in Netzwerkexperimenten suggerierten, operational nicht überprüfbar sind und alle erreichbaren Korrelationen in beiden Theorien äquivalent sind.

Das Wesentliche

Titel: Warum die Welt auch ohne „imaginäre" Zahlen funktioniert – Eine Entdeckungsreise

Stell dir vor, du hast zwei verschiedene Kochbücher, um dasselbe Gericht zuzubereiten: das „Komplexe Kochbuch" (Standard-Quantentheorie) und das „Reale Kochbuch" (Reale Quantentheorie).

Das komplexe Kochbuch ist das, was wir heute in der Schule und im Labor verwenden. Es benutzt eine spezielle Zutat namens „imaginäre Zahlen" (die mit dem Buchstaben $i$ arbeiten). Das reale Kochbuch ist eine vereinfachte Version, die nur mit gewöhnlichen, „echten" Zahlen arbeitet.

Seit Jahrzehnten haben Physiker sich gefragt: Können wir im Labor beweisen, dass wir zwingend das komplexe Kochbuch brauchen? Oder könnte das reale Kochbuch genauso gut funktionieren?

Ein Team von Wissenschaftlern (Hoffreumon und Woods) hat jetzt eine überraschende Antwort gefunden: Solange die Welt so funktioniert, wie wir sie beobachten, können wir das reale Kochbuch nicht ausschließen.

Hier ist die Erklärung, wie sie darauf gekommen sind, mit ein paar einfachen Bildern:

1. Das Problem mit den „unabhängigen Quellen"

Stell dir ein Experiment vor, bei dem zwei unabhängige Quellen (z. B. zwei verschiedene Fabriken) Pakete an zwei verschiedene Personen (Alice und Bob) schicken.

• Die alte Annahme: Die Forscher dachten: „Wenn die Fabriken unabhängig sind, müssen die Pakete völlig getrennt sein. Wie zwei getrennte Briefe." In der Mathematik nennt man das Produkt-Zustand.
• Die neue Erkenntnis: Die Autoren sagen: „Moment mal! Was wir wirklich sehen können, ist nur, dass die Pakete keine messbaren Korrelationen zeigen. Alice und Bob schauen sich ihre Pakete an und sagen: ‚Hey, meine Ergebnisse hängen nicht von deinen ab.' Das nennen wir operative Unabhängigkeit."

Die Analogie:
Stell dir vor, zwei Köche bereiten unabhängig voneinander Suppe zu.

• Produkt-Zustand: Sie verwenden komplett verschiedene Zutaten und Töpfe.
• Operative Unabhängigkeit: Wir schmecken die Suppen. Wenn beide Suppen genau gleich schmecken und keine Geschmacksnoten übereinstimmen, die auf einen gemeinsamen Ursprung hindeuten, dann sind sie für uns operativ unabhängig.

Das Tolle ist: Im „Realen Kochbuch" gibt es eine geheime Zutat. Es gibt Suppen, die zwar aus demselben Topf kommen (mathematisch verflochten), aber beim Probieren (Messung) genau so schmecken wie zwei völlig getrennte Suppen.

2. Der große Durchbruch: Der „Tarnkappen-Effekt"

Früher dachten die Forscher, dass man im „Realen Kochbuch" nur die „getrennten Töpfe" (Produkt-Zustände) verwenden dürfe, wenn die Quellen unabhängig sind. Wenn man das tat, gab es einen Unterschied: Das komplexe Kochbuch konnte bestimmte Muster (in einem Netzwerk von Quellen) besser erklären als das reale.

Aber hier kommt der Clou:
Die Autoren zeigen, dass diese Einschränkung falsch war. Man darf im realen Kochbuch auch die „getarnten" Zustände verwenden. Diese Zustände sehen mathematisch kompliziert aus (sie sind „verflochten"), aber sie haben einen Tarnkappen-Effekt:

• Wenn Alice und Bob nur ihre eigenen Pakete prüfen (lokale Messungen), können sie den Unterschied zwischen „wirklich getrennt" und „verflochten, aber getarnt" nicht erkennen.
• Das reale Kochbuch ist einfach nicht scharfsichtig genug, um diese versteckte Verbindung zu sehen.

Das Ergebnis:
Jedes Experiment, das mit dem komplexen Kochbuch funktioniert, kann auch mit dem realen Kochbuch erklärt werden – man muss nur die „getarnten" Pakete verwenden. Die Vorhersagen sind identisch.

3. Was bedeutet das für uns?

Bis vor kurzem dachten viele, ein Experiment (das sogenannte „bilokale Netzwerk-Experiment") hätte bewiesen, dass die Welt unbedingt komplexe Zahlen braucht. Die Autoren sagen nun: Nein, das Experiment hat nur bewiesen, dass die Quellen nicht in der strengen mathematischen Form „getrennt" waren, aber sie waren trotzdem operativ unabhängig.

Solange wir keine Beobachtung machen, die gegen die Standard-Quantentheorie verstößt, können wir das reale Modell nicht widerlegen.

Die philosophische Konsequenz:
Stell dir die Welt wie ein Gemälde vor.

• Die Standard-Quantentheorie sagt: „Die Farben sind dünn aufgetragen, die Verbindungen zwischen den Objekten sind spärlich."
• Die Reale Quantentheorie sagt: „Eigentlich sind die Farben viel dicker und die Verbindungen überall, aber unsere Augen (die Messgeräte) sind zu schwach, um diese dichten Verbindungen zu sehen."

Beide Theorien beschreiben dasselbe sichtbare Universum. Aber die reale Theorie sagt uns, dass die Welt „verflochtener" sein könnte, als wir denken – wir sehen es nur nicht.

Zusammenfassung in einem Satz

Die Welt könnte aus reinen, „realen" Zahlen bestehen, ohne dass wir es merken, weil unsere Messgeräte nicht scharf genug sind, um die versteckten, mathematischen Verflechtungen zu sehen, die in dieser Theorie existieren. Solange wir keine neuen, seltsamen Phänomene entdecken, die die Standard-Physik nicht erklären kann, bleibt die Frage offen: Brauchen wir wirklich die „imaginären" Zahlen, oder ist das nur eine mathematische Eleganz?

Kurz gesagt: Wir können das reale Kochbuch nicht beweisen, aber wir können es auch nicht ausschließen. Es bleibt ein gleichberechtigter Kandidat für die Beschreibung unserer Realität.

Technische Zusammenfassung

1. Problemstellung und Hintergrund

Die Frage, ob komplexe Zahlen in der Quantentheorie (QT) experimentell unverzichtbar sind, ist seit Jahrzehnten offen. Die Reale Quantentheorie (RQT) ist eine Variante der QT, bei der komplexe Amplituden durch reelle Zahlen ersetzt werden, während die Born-Regel, die Lüderson-Update-Regel und die Zusammensetzung von Systemen mittels des Kronecker-Produkts ($\otimes_K$) unverändert bleiben.

Ein bekanntes strukturelles Merkmal der RQT ist der Verlust der lokalen Tomographie: Der Zustand eines multipartiten Systems kann im Allgemeinen nicht allein aus lokalen Messstatistiken rekonstruiert werden. Dies führte zu der Annahme, dass QT und RQT in komplexeren Szenarien (insbesondere in Netzwerken mit mehreren Quellen) experimentell unterscheidbar sein müssten.

Ein entscheidender Wendepunkt war die Arbeit von Renou et al. [1] (Nature 2021), die argumentierten, dass ein bilokales Netzwerk-Experiment (z. B. Verschränkungsaustausch) die RQT widerlegen könnte, ohne die QT zu widerlegen. Sie leiteten eine Bell-artige Ungleichung her, deren maximaler Wert in der RQT (unter der Annahme von Produktzuständen für unabhängige Quellen) strikt kleiner sein sollte als in der QT. Experimente zeigten Verletzungen dieser Schranke, was zunächst als Falsifizierung der RQT interpretiert wurde.

Das Kernproblem: Die Autoren dieses Papers zeigen, dass die Schlussfolgerung von Renou et al. auf einer experimentell nicht überprüfbaren Annahme beruht. Es wird zwischen zwei Konzepten der Unabhängigkeit von Quellen unterschieden, die in der QT äquivalent, in der RQT jedoch fundamental verschieden sind:

1. Produktzustands-Unabhängigkeit (Product-State Independence): Eine mathematische Annahme, dass der gemeinsame Zustand eines Systems aus unabhängigen Quellen ein Produktzustand ($\rho_X \otimes_K \rho_Y$) ist.
2. Operative Unabhängigkeit (Operational Independence): Eine empirische Bedingung, dass Messergebnisse an Systemen aus verschiedenen Quellen keine Korrelationen zeigen (die Wahrscheinlichkeitsverteilungen faktorisieren).

In der QT impliziert operative Unabhängigkeit automatisch Produktzustands-Unabhängigkeit. In der RQT gilt dies nicht: Es gibt reelle Zustände, die keine Produktzustände sind, aber unter lokalen Messungen keine Korrelationen erzeugen (sie sind „lokal ununterscheidbar" von Produktzuständen). Renou et al. nahmen fälschlicherweise an, dass unabhängige Quellen in der RQT zwingend durch Produktzustände dargestellt werden müssen.

2. Methodik

Die Autoren verwenden eine mathematische Konstruktion, die auf ihrer vorherigen Arbeit über die Real-Number Quantum Theory (RNQT) aufbaut. Die Methode besteht aus folgenden Schritten:

• Isomorphie-Abbildung: Sie nutzen eine standardisierte Abbildung (den „Standard-Mapping" $\Gamma$), die komplexe Matrizen (QT) auf reelle Matrizen (RQT) abbildet. Eine komplexe Dimension $d$ wird dabei auf eine reelle Dimension $2d$ erweitert.
• Unterscheidung der Tensor-Produkte: Sie führen das R-Produkt ($\otimes_R$) ein, eine spezielle Zusammensetzungsregel für RQT, die die Struktur komplexer Phasen in einem reellen Rahmen erhält. Das R-Produkt ist isomorph zum Kronecker-Produkt der QT, wenn man auf den Bildraum der komplexen Struktur (QT-Image) eingeschränkt ist.
• Analyse der Quellen-Unabhängigkeit: Sie beweisen, dass Zustände, die im R-Produkt-Format vorliegen ($\rho_X \otimes_R \rho_Y$), zwar im RQT-Rahmen verschränkt (nicht separabel bezüglich $\otimes_K$) sind, aber operativ unabhängig sind. Das bedeutet, sie verhalten sich für alle lokalen Messungen exakt wie Produktzustände.
• Netzwerk- und Protokoll-Erweiterung: Die Beweise werden von einfachen Bell-Szenarien auf allgemeine Netzwerke mit beliebigen Quellen und auf sequenzielle Protokolle mit Kanälen und adaptiven Messungen erweitert.

3. Schlüsselbeiträge und Ergebnisse

Das Paper liefert zwei Haupttheoreme, die die experimentelle Ununterscheidbarkeit von QT und RQT wiederherstellen:

Theorem 1 (Netzwerk-Szenarien):
Für jedes endliche Netzwerk von unabhängigen Quellen und lokal messenden Parteien gilt: Wenn die Quellen nur operativ unabhängig sein müssen (d. h. keine beobachtbaren Korrelationen zwischen den Quellen), dann kann jede Ergebnisverteilung, die durch ein QT-Modell vorhergesagt wird, auch durch ein äquivalentes RQT-Modell vorhergesagt werden.

• Bedeutung: Die in Renou et al. gefundene Diskrepanz verschwindet, sobald man die stärkere Annahme der Produktzustands-Unabhängigkeit zugunsten der operativen Unabhängigkeit aufgibt. Die RQT kann die „versteckten" Korrelationen nutzen, um die QT-Vorhersagen zu replizieren, ohne die lokalen Messstatistiken zu verändern.

Theorem 2 (Sequenzielle Protokolle):
Die Äquivalenz gilt auch für beliebige endliche sequenzielle multipartite Protokolle, die eine Anfangszustandsvorbereitung, eine Folge von Quantenkanälen und POVM-Messungen mit vorgegebener Lokalitätsstruktur beinhalten.

• Bedeutung: Selbst in dynamischen Szenarien mit adaptiven Messungen und Kanälen, die auf Teilsysteme wirken, bleibt die RQT in der Lage, jede QT-Statistik zu reproduzieren, solange die Lokalitätsstruktur der Operationen erhalten bleibt.

Technische Details der Konstruktion:

• Die Autoren zeigen, dass das Bild eines QT-Modells unter der Abbildung $\Gamma$ eine Teilmenge der RQT-Zustände bildet, die isomorph zu QT ist.
• In Netzwerken mit mehreren Quellen werden die unabhängigen Quellen in der RQT durch Zustände dargestellt, die im R-Produkt-Format vorliegen. Diese Zustände sind zwar bezüglich des Kronecker-Produkts ($\otimes_K$) verschränkt, aber operativ ununterscheidbar von Produktzuständen.
• Durch die Eigenschaft des R-Produkts („Contamination"), dass es Kronecker-Produkte in Messoperatoren „kontaminiert" und in R-Produkte umwandelt, können die Born-Regel-Statistiken exakt erhalten bleiben.

4. Signifikanz und Implikationen

• Widerlegung der experimentellen Falsifizierbarkeit: Das Paper widerlegt die Behauptung, dass RQT experimentell widerlegt werden könne. Solange keine Verletzung der Vorhersagen der Standard-Quantentheorie (QT) beobachtet wird, ist die RQT empirisch von der QT nicht zu unterscheiden.
• Interpretative Konsequenzen: Obwohl die Vorhersagen identisch sind, unterscheiden sich die ontologischen Bilder der beiden Theorien drastisch:
  • In der QT sind unabhängige Systeme typischerweise unkorreliert.
  • In der RQT können „unabhängige" Systeme (operativ gesehen) starke Korrelationen aufweisen, die jedoch für lokale Messungen unsichtbar bleiben („Entanglement of Representation"). Die RQT beschreibt ein Universum mit einer dichteren Korrelationsstruktur, die jedoch aufgrund der fehlenden lokalen Tomographie oft experimentell verborgen bleibt.
• Sicherheitsimplikationen: Da die RQT nicht ausgeschlossen werden kann, könnten kryptografische Protokolle, die auf der Annahme basieren, dass RQT falsch ist, theoretisch anfällig für Angriffe durch nicht-quantenmechanische (aber reelle) Korrelationen sein, die in der RQT erlaubt, aber in der QT nicht sichtbar sind.
• Methodologische Lehre: Das Paper unterstreicht die Notwendigkeit, bei der Prüfung von „Foil-Theorien" (Alternativtheorien) sicherzustellen, dass alle Annahmen (wie Unabhängigkeit von Quellen) denselben operativen Sinn haben wie in der Standardtheorie. Ohne diese operativ geteilte Bedeutung bleiben solche Theorien reine mathematische Spielereien ohne experimentelle Relevanz.

Fazit:
Die Autoren stellen fest, dass die Unterscheidung zwischen QT und RQT, die in der Literatur als experimentell zugänglich galt, auf einer theoretischen, nicht überprüfbaren Einschränkung (Produktzustands-Unabhängigkeit) beruhte. Sobald man eine rein operative Definition von Unabhängigkeit verwendet, erweisen sich beide Theorien als empirisch äquivalent. Die RQT ist somit keine widerlegbare Alternative, sondern eine interpretativ andere Beschreibung derselben beobachtbaren Welt.