Implementing Jastrow--Gutzwiller operators on a quantum computer using the cascaded variational quantum eigensolver algorithm

Este artículo presenta un método novedoso para implementar operadores Jastrow--Gutzwiller no unitarios en computadoras cuánticas utilizando el algoritmo de eigensolver cuántico variacional en cascada, el cual se demuestra experimentalmente en un dispositivo IBM Q Lagos para un modelo de Hubbard.

Lo esencial

Imagina que estás intentando encontrar la receta perfecta para un plato complejo, como un soufflé. Conoces los ingredientes básicos (los átomos), pero el secreto de un buen soufflé radica en cómo interactúan esos ingredientes entre sí mientras se hornean. Si ignoras esas interacciones, tu plato quedará plano y sin sabor.

En el mundo de la física cuántica, los científicos están intentando encontrar la "receta perfecta" para el estado de energía más bajo de un sistema (como los electrones en un material). Esto se llama "estado fundamental".

Aquí tienes una explicación sencilla de lo que hace este artículo, utilizando analogías cotidianas:

1. El Problema: El Chef "No Unitario"

Las computadoras cuánticas son como chefs increíblemente rápidos, pero muy frágiles. Pueden explorar una cantidad masiva de posibilidades (espacios de Hilbert) que las computadoras clásicas no pueden manejar. Sin embargo, hay un inconveniente.

Para obtener la mejor receta, los científicos quieren usar una herramienta especial llamada operador Jastrow–Gutzwiller. Imagina esta herramienta como un "potenciador de sabor" que añade interacciones complejas de múltiples ingredientes a la mezcla.

• El Problema: Este potenciador de sabor es "no unitario". En el lenguaje cuántico, esto significa que es como un paso de la receta que rompe las reglas de la cocina. No puedes simplemente presionar un botón en una computadora cuántica estándar para hacerlo; es como intentar hornear un pastel deshorneándolo primero. Es matemáticamente difícil de implementar directamente.

2. La Solución: La Línea de Ensamblaje "Cascada"

Los autores proponen una nueva forma de usar esta herramienta llamada Eigensolver Cuántico Variacional en Cascada (CVQE).

En lugar de intentar forzar a la computadora cuántica a realizar el paso "no unitario" imposible de una sola vez, dividen el proceso en dos partes, como una línea de ensamblaje:

• Parte A (El Chef Unitario): La computadora cuántica realiza la cocción estándar que respeta las reglas. Reorganiza los ingredientes en una buena forma inicial (usando algo llamado "operador de Thouless").
• Parte B (El Potenciador de Sabor): El potenciador de sabor "no unitario" (el operador Jastrow–Gutzwiller) se maneja de manera diferente. En lugar de intentar hornearlo dentro del circuito cuántico, los autores trasladan el trabajo pesado de esta parte específica a una computadora clásica (una computadora portátil normal).

La Analogía: Imagina que estás construyendo una casa. La computadora cuántica es el brazo robótico que coloca los ladrillos perfectamente. El "potenciador de sabor" es la pintura y el papel tapiz. En lugar de intentar hacer que el brazo robótico pinte mientras coloca los ladrillos (algo que no puede hacer bien), el robot coloca los ladrillos y luego un pintor humano (la computadora clásica) entra para aplicar la pintura basándose en las mediciones que tomó el robot. Trabajan juntos en un bucle para obtener la casa perfecta.

3. La Prueba: El "Modelo Hubbard"

Para demostrar que esto funciona, el equipo probó su método en un famoso rompecabezas de física llamado el modelo Hubbard.

• ¿Qué es? Imagínalo como una cuadrícula de pequeñas islas (sitios) donde los electrones (los invitados) pueden saltar de un lado a otro. A veces, dos invitados intentan sentarse en la misma isla, lo que causa un problema de "aglomeración" (interacción).
• La Configuración: Lo probaron en dos formas: un cuadrado y un triángulo, cada uno con cuatro puntos.
• El Objetivo: Querían encontrar el estado de energía más bajo para estos electrones, específicamente cuando la cuadrícula está "medio llena" (dos invitados en cuatro puntos).

4. Los Resultados: Hardware Real vs. Simulación

Realizaron su experimento en una computadora cuántica real llamada IBM Q Lagos (que tiene 7 qubits, o "bits cuánticos").

• El Desafío: Las computadoras cuánticas reales son ruidosas. Es como intentar escuchar un susurro en una habitación ventosa. Los datos que obtuvieron fueron "ruidosos", lo que significa que los resultados no eran perfectamente nítidos.
• El Truco: Para hacer los resultados más claros, utilizaron un atajo inteligente. Dado que los electrones tienen "espín" (arriba o abajo), ejecutaron la computadora cuántica solo para los electrones de "espín hacia arriba" y simularon los de "espín hacia abajo" en una computadora clásica. Esto redujo a la mitad el número de bits cuánticos requeridos, disminuyendo el ruido significativamente.
• El Resultado:
  • Su método (las líneas verde y naranja en sus gráficos) se acercó mucho a la respuesta "exacta" (la línea punteada roja), que es lo que obtendrías si pudieras resolver las matemáticas perfectamente en una supercomputadora.
  • Incluso con el ruido de la máquina real, su enfoque funcionó mejor que simplemente adivinar.
  • Demostraron que al trasladar la parte compleja del "potenciador de sabor" a la computadora clásica, podían obtener resultados precisos sin necesidad de hardware cuántico adicional y complicado.

Resumen

El artículo demuestra una nueva forma de enseñar a una computadora cuántica a manejar interacciones complejas entre partículas. En lugar de forzar a la computadora cuántica a realizar un movimiento matemáticamente prohibido, dividen el trabajo: la computadora cuántica realiza la reorganización física, y una computadora normal maneja las matemáticas complejas de correlación. Demostraron que esto funciona en una máquina real y ruidosa resolviendo un rompecabezas sobre electrones en una pequeña cuadrícula, obteniendo resultados sorprendentemente cercanos a la respuesta teórica perfecta.

Resumen técnico

Resumen Técnico: Implementación de Operadores Jastrow–Gutzwiller en una Computadora Cuántica mediante el Eigensolver Cuántico Variacional en Cascada

Enunciado del Problema
Las computadoras cuánticas ofrecen la posibilidad de acceder a espacios de Hilbert exponencialmente grandes para determinar los estados fundamentales de sistemas cuánticos, una tarea a menudo intratable para las computadoras clásicas. Si bien los algoritmos variacionales como el Eigensolver Cuántico Variacional (VQE) son prometedores para dispositivos a corto plazo debido a su profundidad de circuito reducida, dependen en gran medida de la elección de un ansatz. Un enfoque poderoso para mejorar los estados variacionales es el uso de operadores Jastrow–Gutzwiller, que añaden correlaciones de muchos cuerpos (específicamente correlaciones densidad-densidad y restricciones en orbitales doblemente ocupados) a un estado de prueba. Sin embargo, el operador Jastrow–Gutzwiller es no unitario. Esta no unitariedad presenta un desafío significativo para su implementación directa en computadoras cuánticas, las cuales operan inherentemente mediante evolución unitaria. Los métodos existentes a menudo requieren qubits auxiliares o aproximaciones para manejar esta no unitariedad, lo que puede aumentar la profundidad y complejidad del circuito más allá de las capacidades del hardware actual.

Metodología
Los autores proponen una implementación novedosa del operador Jastrow–Gutzwiller utilizando el algoritmo Eigensolver Cuántico Variacional en Cascada (CVQE). El núcleo de su método es un ansatz de la forma $\hat{A}(\theta) = \hat{G}(\theta)\hat{U}$, donde:

• $\hat{U}$ es un operador unitario de Thouless que realiza un cambio de base en el espacio de Hilbert de un cuerpo (por ejemplo, transformando un estado de Fock en un mar de Fermi).
• $\hat{G}(\theta)$ es el operador no unitario Jastrow–Gutzwiller, definido como $\hat{G}(\theta) = \exp(-\sum_{qq'} \theta_{qq'} \hat{n}_q \hat{n}_{q'})$, donde $\hat{n}_q$ son operadores de número y $\theta_{qq'}$ son parámetros variacionales.

La innovación clave radica en cómo se calcula el valor esperado de la energía, $E(\theta) = \frac{\langle \Psi_n | \hat{G}(\theta) \hat{H} \hat{G}(\theta) | \Psi_n \rangle}{\langle \Psi_n | \hat{G}^2(\theta) | \Psi_n \rangle}$. Dado que $\hat{G}(\theta)$ es diagonal en la base de números de ocupación, los autores demuestran que los términos exponenciales en el producto de operadores pueden evaluarse clásicamente basándose en los resultados de la medición, en lugar de requerir la expansión de la exponencial en una suma de cadenas de Pauli en la computadora cuántica.

El procedimiento implica:

1. Preparación del Estado: Preparar un estado inicial $|\Psi_n\rangle = \hat{U}|\Phi_n\rangle$ utilizando un circuito cuántico compuesto por puertas elementales de uno y dos qubits derivadas de la descomposición del operador unitario $\hat{f}$.
2. Medición: Medir el sistema en la base computacional (o en una base rotada para términos cinéticos) para obtener los números de ocupación.
3. Procesamiento Post-Clásico: Utilizar los números de ocupación medidos para evaluar los factores exponenciales diagonales de $\hat{G}(\theta)$ y $\hat{G}^2(\theta)$ clásicamente. Esto evita la necesidad de qubits adicionales o circuitos profundos para simular el operador no unitario.
4. Optimización: Variar los parámetros $\theta$ clásicamente para minimizar el valor esperado de la energía.

Contribuciones Clave

• Implementación de Operador No Unitario: El artículo presenta un método para implementar operadores Jastrow–Gutzwiller no unitarios en hardware cuántico sin añadir qubits auxiliares ni aproximar el operador, aprovechando el marco CVQE.
• Esquema de Medición Eficiente: Al mapear el problema de tal manera que los operadores de número permanezcan diagonales, los autores muestran que los términos exponenciales pueden insertarse directamente en el cálculo de la energía basándose en los resultados de la medición, reduciendo significativamente la sobrecarga de medición en comparación con expandir el operador en cadenas de Pauli.
• Desacoplamiento de Especies de Espín: El método permite la evaluación del circuito solo para una sola especie de espín en la computadora cuántica, mientras que la otra especie se maneja clásicamente. Esto reduce efectivamente a la mitad el número de qubits requeridos para la demostración.
• Demostración Experimental: El método se demuestra en el procesador cuántico IBM Q Lagos (un dispositivo de 7 qubits) para un modelo de Hubbard de cuatro sitios en redes cuadradas y triangulares con condiciones de frontera periódicas a medio llenado.

Resultados
Los autores aplicaron su método al modelo de Hubbard con parámetro de energía cinética $k$ y fuerza de interacción $d$.

• Minimización de Energía: Minimizaron con éxito el valor esperado de la energía $E(\theta)$ con respecto al parámetro de Gutzwiller $\theta$.
• Comparación: Los resultados se compararon contra la diagonalización exacta (la energía del estado fundamental exacta) y simulaciones clásicas libres de ruido de su método.
• Análisis de Ruido:
  • Al ejecutar el cálculo completo (electrones de espín arriba y espín abajo) en el dispositivo cuántico, el ruido introdujo errores en los valores esperados de la energía.
  • Al ejecutar solo una especie de espín en el dispositivo cuántico (con la otra simulada clásicamente), el error se redujo significativamente.
  • El error en el valor esperado de la energía permaneció relativamente constante en función de la fuerza de interacción $d$, y en algunos casos disminuyó ligeramente a medida que $d$ se acercaba a $k$.
• Optimización: El parámetro óptimo $\theta^*$ se encontró localizando el mínimo de la curva de energía, y las energías optimizadas resultantes rastrearon de cerca la energía del estado fundamental exacta, particularmente en la configuración de una sola especie de espín.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma que este enfoque permite la implementación del ansatz Jastrow–Gutzwiller en hardware cuántico a corto plazo sin la sobrecarga de recursos de qubits auxiliares ni los errores de aproximación asociados con otras implementaciones no unitarias. Al trasladar la evaluación de los factores exponenciales no unitarios a la computadora clásica, el método desacopla la optimización de los parámetros variacionales de la necesidad de volver a ejecutar circuitos cuánticos para cada actualización de parámetros. Además, la capacidad de simular solo una especie de espín en el dispositivo cuántico mientras se maneja la otra clásicamente reduce el requisito de conteo de qubits a la mitad, haciendo que el enfoque sea más viable para dispositivos actuales con conectividad y tiempos de coherencia limitados. La demostración en el dispositivo IBM Q Lagos valida la viabilidad de este enfoque "en cascada" para sistemas fermiónicos, específicamente el modelo de Hubbard, proporcionando una vía para incorporar efectos de correlación fuerte en algoritmos cuánticos variacionales.