Stochastic compressible Navier-Stokes equations under location uncertainty and their approximations for ocean modelling

Este artículo presenta un estudio teórico y numérico conjunto de las ecuaciones de Navier-Stokes compresibles estocásticas bajo incertidumbre de ubicación, demostrando su aplicación en la modelización oceánica mediante aproximaciones de Boussinesq que revelan efectos significativos de compresión en la energía potencial y ofrecen una consistencia energética mejorada para los modelos de mezcla vertical a escala subgrid.

Lo esencial

Imagine el océano como una olla gigante y agitada de sopa. Durante mucho tiempo, los científicos han intentado escribir la "receta" de cómo se mueve esta sopa utilizando reglas perfectas y deterministas. Asumieron que si conocías la posición exacta y la velocidad de cada molécula de agua, podrías predecir exactamente hacia dónde iría la sopa a continuación.

Sin embargo, el océano es demasiado complejo para eso. Está lleno de remolinos caóticos diminutos (turbulencia) que son demasiado pequeños para verlos o medirlos directamente. Intentar simular cada remolino individual es como intentar contar cada grano de arena en una playa para predecir la marea: es imposible y computacionalmente demasiado costoso.

Este artículo propone una nueva forma de escribir la receta. En lugar de intentar rastrear cada grano de arena, los autores sugieren añadir un "factor de ajuste" basado en la incertidumbre. A esto lo llaman el marco de Incertidumbre de Posición (IP).

Aquí está la idea central desglosada en conceptos simples:

1. La analogía del "Paseo del Borracho"

Imagina que caminas por un mercado abarrotado. Tienes un destino claro (el flujo de "gran escala"), pero las personas que chocan contigo te empujan ligeramente fuera de curso en direcciones aleatorias.

• La vieja forma: Intentas calcular la trayectoria exacta de cada persona que choca contigo.
• La nueva forma (IP): Aceptas que te empujarán. Modelas tu movimiento como un paseo suave más un movimiento aleatorio y tembloroso de "movimiento browniano" (como el paseo de un borracho). No sabes exactamente hacia dónde te empujarán los choques, pero conoces las estadísticas de los choques (qué tan fuertes son y cómo se correlacionan).

2. La sopa "compresible"

La mayoría de los modelos oceánicos asumen que el agua es "incompresible", lo que significa que es como un bloque sólido de gelatina que no se puede aplastar. Pero en realidad, el agua puede comprimirse ligeramente, especialmente cuando cambian la presión o la temperatura.

• Los autores comienzan con la física completa y compleja del agua compresible (agua que se puede aplastar).
• Luego aplican sus matemáticas de "golpe aleatorio" a este sistema complejo.
• El resultado: Derivan un nuevo conjunto de ecuaciones que se parecen a las antiguas pero incluyen términos adicionales. Estos términos adicionales representan el "trabajo" realizado por los golpes aleatorios. Piénsalo como la energía transferida cuando la multitud te empuja; no es solo un empujón aleatorio, realmente cambia tu velocidad y el calor de tu cuerpo.

3. El "calor oculto" en la mezcla

El artículo se centra intensamente en la temperatura y la convección (el agua caliente sube, el agua fría se hunde).

• El problema: En los modelos estándar, cuando el agua fría se hunde, a menudo se detiene abruptamente en la parte inferior de la capa mixta (la parte superior del océano). En realidad, estos "penachos" de agua fría a menudo atraviesan, como una lanza, el agua más cálida y profunda. Esto se llama convección penetrante.
• El descubrimiento: Cuando los autores ejecutaron su nuevo modelo estocástico, descubrieron que los términos de "golpe aleatorio" recreaban naturalmente este efecto de atravesar.
• La metáfora: Imagina una multitud de personas (el océano) tratando de mover una caja pesada (un penacho de agua fría). Los modelos estándar actúan como un muro rígido que detiene la caja. El nuevo modelo actúa como una multitud caótica; el empujón aleatorio le da a la caja suficiente impulso extra para deslizarse a través del muro y llegar más profundo de lo esperado.

4. Dos formas de medir la energía

Los autores encontraron algo interesante sobre cómo medían la energía del sistema:

• Energía interna (La "calidez"): Cuando miraron solo el calor, los efectos de "aplastamiento" (compresión) eran diminutos y no importaban mucho. Esto coincidía con los modelos antiguos y más simples.
• Energía potencial (La "altura"): Pero cuando miraron la energía relacionada con la altura (qué tan alta está el agua en el campo gravitatorio), los efectos de "aplastamiento" se volvieron muy importantes.
• La conclusión: Es como medir una pelota que rebota. Si solo mides cuánto se calienta la pelota al golpear el suelo, el rebote no parece importar. Pero si mides qué tan alto rebota, el impacto es enorme. Los autores descubrieron que los términos de presión aleatoria en su modelo actúan como un resorte oculto, afectando qué tan alto "rebota" el agua en el presupuesto energético.

5. La "Deriva" y la "Difusión"

Las matemáticas producen dos términos nuevos específicos que actúan como los "factores de ajuste":

• La Deriva (Deriva Itô-Stokes): Este es un empuje sistemático causado por el hecho de que los golpes aleatorios no son perfectamente uniformes. Es como una corriente de río que fluye ligeramente diferente porque las rocas (turbulencia) están dispuestas en un patrón específico.
• La Difusión: Este es el efecto de dispersión causado por los golpes aleatorios.

Resumen del logro

Los autores construyeron con éxito un puente entre la realidad desordenada y caótica del océano y los modelos matemáticos limpios que usamos para predecirlo.

• Comenzaron con la física más compleja posible (compresible, aleatoria, termodinámica).
• Mostraron que cuando se simplifica hasta la visión oceánica "estándar" (aproximación de Boussinesq), tus nuevas ecuaciones aún funcionan y en realidad mejoran la predicción de qué tan profundo se hunde el agua fría.
• Demostraron que no necesitas simular cada remolino diminuto para obtener la respuesta correcta; solo necesitas contabilizar matemáticamente la incertidumbre de hacia dónde va el agua.

En resumen, reemplazaron la tarea imposible de "contar cada grano de arena" con una estrategia más inteligente: "contabilizar la tendencia de la arena a dispersarse", y descubrieron que este enfoque captura las corrientes profundas y penetrantes del océano mucho mejor que los métodos anteriores.

Resumen técnico

Resumen Técnico: Ecuaciones de Navier-Stokes Compresibles Estocásticas y sus Aproximaciones para la Modelización Oceánica

Enunciado del Problema
La modelización oceánica enfrenta desafíos significativos en la representación de procesos de subescala, particularmente la mezcla vertical y la convección penetrativa, que son críticos para las simulaciones climáticas (por ejemplo, la Circulación Meridional de Retorno del Atlántico). Los enfoques tradicionales suelen depender de la aproximación de Boussinesq, que asume la incompresibilidad y descarta los efectos de compresibilidad. Aunque razonable en muchos contextos, esta aproximación puede oscurecer la consistencia energética entre los flujos de temperatura y momento, y falla en capturar la propagación de ondas acústicas o términos de trabajo termodinámico específicos asociados con la compresión y la dilatación. Además, los modelos estocásticos existentes para la dinámica oceánica se han derivado en gran medida para flujos incompresibles, dejando una brecha en el marco teórico para fluidos compresibles y termodinámicamente activos. Los autores tienen como objetivo desarrollar una formulación estocástica rigurosa que tenga en cuenta la incertidumbre de ubicación (LU) en flujos compresibles, derivando explícitamente los términos termodinámicos necesarios para mejorar la consistencia energética de los modelos verticales de subescala.

Metodología
El artículo emplea el marco de Incertidumbre de Ubicación (LU), que descompone el desplazamiento de las partículas fluidas en una velocidad resuelta diferenciable en el tiempo y un componente altamente fluctuante, decorrelacionado en el tiempo, modelado como un movimiento browniano.

1. Derivación Teórica:

   • Los autores parten de las leyes fundamentales de conservación de masa, masa de especies, momento y energía total.
   • Aplican el Teorema de Transporte de Reynolds Estocástico (SRTT) extendido para incluir términos fuente estocásticos. Esto conduce a un sistema general de ecuaciones de Navier-Stokes compresibles estocásticas en formas tanto conservativas como no conservativas (variables primitivas).
   • Crucialmente, la derivación tiene en cuenta explícitamente el trabajo de las fuerzas (presión y tensiones viscosas) y los flujos de calor que actúan sobre el desplazamiento estocástico. Esto da lugar a la aparición de términos estocásticos específicos, incluida la difusión inducida por ruido, la deriva de Itô-Stokes y los términos de covariación cuadrática (que surgen del producto de diferenciales estocásticas).
   • El sistema se somete luego a las aproximaciones de Boussinesq e hidrostática. Los autores rastrean cuidadosamente el orden de magnitud de los términos para derivar un sistema estocástico de Boussinesq que retiene efectos termodinámicos, específicamente el trabajo de compresión expresado a través de la energía potencial.

2. Aplicación Numérica:

   • Para validar el marco teórico, los autores realizan una Simulación de Grandes Remolinos (LES) de un evento de convección libre impulsada por temperatura en un océano estratificado utilizando el modelo CROCO (capacidades no hidrostáticas y no Boussinesq).
   • Aplican una técnica de filtrado temporal a los datos de la LES (utilizando una escala de tiempo de decorrelación de 3 horas) para separar las escalas resueltas de las fluctuaciones de subescala.
   • Los residuos de subescala se utilizan para construir el ruido estocástico (movimiento browniano) y su tensor de varianza.
   • Un modelo estocástico 1D fuera de línea se fuerza entonces con estas estadísticas diagnosticadas para simular la evolución del perfil de temperatura promediado horizontalmente. Esto permite una comparación directa entre la salida del modelo estocástico y los resultados de referencia de la LES.

Contribuciones Clave

• Formulación Estocástica Compresible General: El artículo proporciona una derivación completa de las ecuaciones de Navier-Stokes compresibles estocásticas, incluido el transporte de especies y el presupuesto completo de energía. Esto extiende el trabajo anterior de LU, que estaba principalmente limitado a flujos incompresibles.
• Consistencia Termodinámica: La derivación incluye explícitamente el trabajo de compresión y dilatación. Los autores demuestran que, aunque estos términos son despreciables cuando se expresan en términos de energía interna (consistente con la aproximación de Boussinesq), se vuelven significativos cuando se expresan en términos de energía potencial. Esto revela nuevos términos de presión estocástica dentro de la capa mixta que acoplan la energía cinética y la potencial.
• Modelo Estocástico de Boussinesq con Termodinámica: Los autores derivan un modelo estocástico de Boussinesq que incorpora estos efectos termodinámicos, ofreciendo un marco más físicamente consistente que los modelos isocóricos estocásticos anteriores.
• Diagnóstico de Convección Penetrativa: El estudio identifica que los términos estocásticos, particularmente la deriva de Itô-Stokes y la difusión estocástica, son capaces de reproducir los flujos verticales de temperatura en la base de la capa mixta. Esta es una región donde las parametrizaciones estándar a menudo fallan en capturar los efectos de la convección penetrativa (calentamiento en la base de la capa mixta).

Resultados

• Presupuesto de Energía: En el experimento numérico, el equilibrio de orden dominante para los cambios de temperatura está gobernado por el transporte de energía interna, consistente con la aproximación de Boussinesq. Sin embargo, al analizar la energía potencial, los términos estocásticos (específicamente la covariación cuadrática $A_u$ y el trabajo de deriva $D_\sigma$ asociados con la presión estocástica) muestran contribuciones significativas.
• Dinámica de la Capa Mixta: El modelo estocástico reproduce con éxito el calentamiento en la base de la capa mixta asociado con la convección penetrativa. Esto se atribuye a la capacidad del modelo para capturar dinámicas verticales no locales impulsadas por la variabilidad horizontal y procesos inerciales, sin depender de suposiciones explícitas de cierre difusivo.
• Limitaciones: Dentro de la propia capa mixta, el modelo estocástico muestra habilidades limitadas en comparación con la LES de referencia. Los autores señalan que la variabilidad relativamente baja del campo turbulento en esta región conduce a contribuciones despreciables de los términos estocásticos en su configuración diagnóstica actual. El modelo también tiene dificultades cerca de la superficie, probablemente debido a la incapacidad de la representación estocástica para capturar las fluctuaciones a pequeña escala específicas resueltas por la LES.

Significado y Afirmaciones
Los autores afirman que este trabajo proporciona un marco de modelado estructurado que abre nuevas perspectivas para la dinámica oceánica dentro de un entorno estocástico.

• Justificación Física: A diferencia de los enfoques fenomenológicos, los términos adicionales en las ecuaciones estocásticas se derivan rigurosamente de las leyes de conservación y el cálculo estocástico, proporcionando una justificación física clara para su forma y función (por ejemplo, análogos al trabajo baropical en LES compresibles).
• Consistencia Energética: El marco ofrece un camino para mejorar la consistencia energética de los modelos verticales de subescala utilizados en Modelos de Circulación General Oceánica (OGCM) al tener en cuenta explícitamente las incertidumbres físicas y las aproximaciones, particularmente en lo que respecta al acoplamiento entre la dinámica y la termodinámica.
• Convección Penetrativa: La capacidad de los términos estocásticos para reproducir cualitativamente los esfuerzos de Reynolds faltantes en la base de la capa mixta sugiere un potencial para representar efectos de convección penetrativa sin el costo computacional de solucionadores no hidrostáticos completos.
• Direcciones Futuras: El artículo sugiere modestamente que, aunque el enfoque diagnóstico actual es prometedor, el trabajo futuro debería centrarse en el modelado pronóstico de las características del ruido (por ejemplo, mediante modelos basados en TKE) y la inclusión de forzamiento de presión superficial aleatorio para capturar mejor la dinámica dentro de la capa mixta y cerca de la superficie.