Relativistic magnetohydrodynamics in the early Universe

Resumen Técnico: Magnetohidrodinámica Relativista en el Universo Temprano

Planteamiento del Problema
El estudio de los campos magnéticos primordiales, las perturbaciones de fluidos y la producción de ondas gravitacionales en el universo temprano suele depender de simulaciones de magnetohidrodinámica (MHD). Históricamente, estas simulaciones han operado bajo el supuesto de un movimiento de fluido macroscópico subrelativista ($u^2 \ll 1$) y frecuentemente han asumido el límite donde el factor de Lorentz $\gamma^2 \approx 1$. Si bien esta aproximación es válida para fluidos dominados por materia, introduce errores no examinados en épocas dominadas por la radiación o cuando el parámetro de la ecuación de estado $c_s^2$ es del orden de la unidad (por ejemplo, $c_s^2 = 1/3$). Las formulaciones previas a menudo omitieron las derivadas temporales del factor de Lorentz ($\partial_\tau \gamma^2$), lo que conlleva la pérdida de términos no lineales de orden $U^2/\ell$ (donde $U$ y $\ell$ son escalas características de velocidad y longitud). Estas omisiones afectan la conservación de la energía y el momento, la generación de vorticidad y las velocidades de propagación de las ondas MHD, pudiendo conducir a velocidades de Alfvén superlumínicas si no se corrigen.

Metodología
Los autores derivan las leyes de conservación para la MHD en un fondo de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) homogéneo, isotrópico y en expansión. El trabajo procede a través de varios pasos teóricos:

1. Marco Geométrico: Se establece la métrica FLRW utilizando el tiempo conforme $\tau$ y coordenadas comóviles, permitiendo una definición genérica de $\alpha$-tiempo para explorar diferentes propiedades de escala de las variables del fluido.
2. Dinámica de Fluido Perfecto: Los autores derivan las ecuaciones de movimiento para un fluido perfecto con una ecuación de estado constante $p = c_s^2 \rho$. Presentan estas ecuaciones en dos formas:
   • Forma de Conservación: Evolucionando los componentes del tensor de energía-momento $\tilde{T}^{0\mu}$.
   • Forma de No Conservación: Evolucionando las variables primitivas (densidad de energía comóvil $\tilde{\rho}$ y velocidad peculiar $u$).
     Crucialmente, la derivación retiene términos que involucran $\partial_\tau \gamma^2$ y $\partial_\tau u^2$, los cuales suelen descartarse en el límite subrelativista.
3. Fluidos Imperfectos: El marco se extiende para incluir efectos de fluido imperfecto de primer orden (viscosidad y conducción de calor) utilizando el enfoque de la Termodinámica Irreversible Clásica (CIT), proporcionando expresiones covariantes para la viscosidad de Navier-Stokes y la conductividad térmica de Fourier.
4. Electromagnetismo: Se revisan las ecuaciones de Maxwell en el fondo en expansión, introduciendo campos electromagnéticos comóviles ($\tilde{E}, \tilde{B}$) y una ley de Ohm generalizada covariante. Se analiza la corriente de desplazamiento para justificar el límite de MHD ideal en el régimen de alta conductividad del universo temprano.
5. Acoplamiento MHD: Las ecuaciones del fluido se acoplan con las ecuaciones de Maxwell mediante la fuerza de Lorentz. Los autores analizan las perturbaciones lineales para estudiar ondas de sonido, de Alfvén y magnetosónicas.
6. Correcciones: Se adapta una "corrección de Boris" al contexto de la MHD relativista para asegurar que las velocidades de Alfvén permanezcan sublumínicas incluso cuando se desprecia la corriente de desplazamiento.

Contribuciones Clave y Resultados

• Ecuaciones Subrelativistas Corregidas: El artículo demuestra que las ecuaciones de MHD subrelativistas previas (por ejemplo, las utilizadas en el Pencil Code) contienen errores en los coeficientes de los términos convectivos $(u \cdot \nabla) \ln \tilde{\rho}$ y en los términos de velocidad. Específicamente, la derivada temporal de $\gamma^2$ introduce un factor de corrección de $1/2$ en ciertos términos para fluidos dominados por radiación ($c_s^2 = 1/3$) y modifica los coeficientes para un $c_s^2$ genérico. Las ecuaciones de la forma de no conservación corregidas se presentan en las Eqs. (1.2) y (6.31).
• Producción de Vorticidad: Los autores muestran que la vorticidad ($\omega = \nabla \times u$) ya no es un invariante topológico en el universo temprano. Incluso en ausencia de forzamiento externo y términos baroclínicos, la vorticidad puede generarse a partir de un campo de velocidad inicialmente libre de rotación debido a las correcciones relativistas que involucran $c_s^2 \neq 0$ y la expansión del Universo.
• Escalamiento e Invariancia Conforme: El artículo revisa varios escalamientos de las variables del fluido (comóviles, super-comóviles) para minimizar los términos de fricción de Hubble. Identifica que para flujos subrelativistas con $c_s^2 \neq 1/3$, un escalamiento específico ($\beta = 3(1+c_s^2)$) permite que la ecuación de energía sea conformemente plana, mientras que la ecuación de momento retiene un término de fricción de Hubble.
• Velocidad de Alfvén Relativista y Corrección de Boris: El análisis revela que despreciar la corriente de desplazamiento en la MHD ideal puede conducir a velocidades de Alfvén superlumínicas ($v_A > 1$) cuando $B_0^2/\rho_0$ es grande. Los autores adaptan la corrección de Boris a las ecuaciones de MHD relativista, modificando la ecuación de momento para asegurar que $v_A \to v_A \gamma_A \leq 1$, donde $\gamma_A = (1+v_A^2)^{-1}$.
• Coeficientes de Transporte: Se revisan las estimaciones de viscosidad de corte, viscosidad volumétrica y conductividad térmica en el plasma primordial, confirmando que el plasma es efectivamente un fluido perfecto a grandes escalas, aunque los efectos disipativos son necesarios para un modelado realista de la turbulencia.

Significancia
Este trabajo proporciona la primera descripción plenamente relativista de las ecuaciones de MHD en un fondo en expansión que incluye correcciones al límite subrelativista previamente pasadas por alto. Los autores sostienen que estas correcciones no son meramente efectos relativistas de orden superior, sino que son del mismo orden que las derivadas convectivas en la dinámica de fluidos no lineales. Por consiguiente, el artículo argumenta que las futuras simulaciones de la magnetohidrodinámica del universo temprano, particularmente aquellas que involucran fluidos dominados por radiación o fases de alta energía, deben incorporar estos términos corregidos para modelar con precisión la dinámica no lineal, la turbulencia y la generación de vorticidad. Las ecuaciones derivadas sirven como base teórica para los desarrollos futuros en códigos numéricos como Pencil Code y CosmoLattice.