Characterizations of voting rules based on majority margins

Este artículo demuestra que una regla de votación basada en márgenes se caracteriza normativamente si y solo si satisface el principio de Igualdad Preferencial, el cual establece que el cambio de preferencia entre dos candidatos por parte de cualquier votante debe tener el mismo efecto en el resultado electoral.

Lo esencial

Imagina que las elecciones son como una gran batalla de "piedra, papel o tijera" entre muchos candidatos, pero en lugar de lanzar piedras, los votantes escriben listas de quién les gusta más.

Este artículo de investigación, escrito por Yifeng Ding, Wesley H. Holliday y Eric Pacuit, se hace una pregunta muy interesante: ¿Es justo que el resultado de una elección dependa únicamente de quién gana en las comparaciones cara a cara?

Por ejemplo, si el candidato A le gana al B, y el B le gana al C, ¿debería importarnos cuántos votos de diferencia hubo en esas peleas, o solo quién ganó?

Aquí te explico las ideas clave del paper usando analogías sencillas:

1. La Regla de la "Balanza de Diferencias" (Reglas Basadas en el Margen)

El paper habla de un tipo de reglas de votación llamadas "basadas en el margen".

• La analogía: Imagina que tienes una balanza gigante. Lo único que importa es la diferencia de peso entre dos objetos. Si pones una manzana (candidato A) y una pera (candidato B), y la manzana pesa 5 gramos más que la pera, eso es lo único que cuenta. No importa si la manzana pesa 100g y la pera 95g, o si la manzana pesa 1000g y la pera 995g. Mientras la diferencia sea la misma, el resultado es el mismo.
• En la vida real: Reglas como el "Método de Condorcet" o el "Borda" funcionan así. Pero reglas como el "Voto Instantáneo" (IRV, usado en Australia y algunas elecciones de EE. UU.) no funcionan así. En el Voto Instantáneo, no solo importa la diferencia, sino cuánta gente votó en total y cómo se eliminan los candidatos paso a paso.

El paper pregunta: ¿Es esto un principio de justicia? ¿Deberíamos tratar a todos los votantes de la misma manera, independientemente de si su voto "cuenta" más o menos según la regla?

2. El Principio de "Igualdad Preferencial" (El Truco de los Gemelos)

Para responder a la pregunta anterior, los autores proponen una regla de oro llamada Igualdad Preferencial.

• La analogía: Imagina que tienes dos gemelos, Juan y Pedro, que votan exactamente igual. Ambos ponen al candidato "X" justo encima del candidato "Y".
  • Si Juan decide cambiar su voto y poner a "Y" encima de "X", ¿debería cambiar el resultado de la elección? Sí.
  • Pero, ¿debería cambiar el resultado exactamente igual si fuera Pedro quien hiciera el cambio en lugar de Juan?
  • La respuesta de los autores: ¡Sí! Si el sistema es justo, no debería importar quién hace el cambio, solo qué cambio se hizo. Si Juan y Pedro son idénticos en sus preferencias, sus votos deben tener el mismo "peso" en la balanza.
• El problema: El paper muestra que el Voto Instantáneo (IRV) falla en esto. En ciertas situaciones, si un grupo pequeño de votantes cambia su preferencia entre dos candidatos, puede ganar la elección. Pero si otro grupo del mismo tamaño hace el mismo cambio, la elección podría perderse o ganar un candidato diferente. Es como si los gemelos tuvieran poderes mágicos diferentes solo por el momento en que votan.

3. La "Reversión Neutral" (El Efecto de los Especuladores)

Otra regla importante es la Reversión Neutral.

• La analogía: Imagina que en una fiesta hay dos personas que tienen opiniones totalmente opuestas. Uno dice "Me encanta el rock, odio el jazz", y el otro dice "Odio el rock, me encanta el jazz".
  • Si invitas a esta pareja a la fiesta, ¿debería cambiar la música que se escucha?
  • La regla dice: No. Sus opiniones se cancelan mutuamente. Son como un "cero" en la ecuación. Si sumas un par de opiniones opuestas, el resultado total no debería moverse ni un milímetro.
• Por qué importa: Las reglas basadas en el margen (como Condorcet) respetan esto. Si sumas un par de votos opuestos, las diferencias se cancelan y el ganador sigue siendo el mismo. Pero reglas como el Voto Instantáneo a veces fallan aquí; a veces, añadir esos dos votantes "cancelados" cambia quién gana porque altera el orden de eliminación de los candidatos.

4. ¿Qué descubrieron los autores?

El paper demuestra un teorema matemático muy elegante:

Una regla de votación es "justa" (basada en el margen) SI Y SOLO SI cumple con dos condiciones:

1. Igualdad Preferencial: Tratar a todos los votantes por igual (si cambian su voto, el efecto es el mismo).
2. Reversión Neutral: Si sumas dos votantes con opiniones opuestas, el resultado no cambia.

Si una regla cumple estas dos cosas, entonces es una regla basada en el margen. Si no cumple, entonces depende de detalles "tontos" (como el número total de votantes o el orden de eliminación) que no deberían importar para la justicia.

5. ¿Por qué nos importa esto? (El caso del "Minimax")

El paper usa un ejemplo real para mostrar que esto no es solo teoría. Hay dos formas de calcular el ganador en ciertas elecciones (llamadas reglas "Minimax"):

1. Versión A (Basada en el margen): Mira la diferencia de votos.
2. Versión B (Basada en "votos ganadores"): Mira cuántos votos totales recibió el candidato perdedor.

En elecciones reales (como las del Consejo Municipal de Glasgow o Minneapolis), estas dos versiones a veces eligen a ganadores diferentes.

• La Versión A elige al candidato que tiene la "mejor defensa" en las peleas cara a cara.
• La Versión B puede elegir a alguien que ganó por un margen pequeño pero con muchos votos totales.

El paper argumenta que, si creemos en la Igualdad Preferencial (que todos los votantes son iguales), deberíamos usar la Versión A. La Versión B es injusta porque trata a los votantes de manera desigual dependiendo de cómo se agrupen sus votos.

En resumen

Este paper nos dice que para tener un sistema de votación verdaderamente justo y consistente, no deberíamos mirar "quién ganó por más votos" de forma absoluta, sino cuánta diferencia hay entre los candidatos.

Si dos votantes cambian su preferencia de "A sobre B" a "B sobre A", el sistema debe reaccionar de la misma manera, sin importar quiénes sean esos votantes. Si el sistema falla en esto (como hace el Voto Instantáneo en algunos casos), entonces está violando un principio básico de igualdad democrática.

La moraleja: En una democracia justa, la "fuerza" de tu voto no debería depender de si eres el votante número 10 o el número 1000, ni de si tu voto se suma a un grupo que se elimina primero o segundo. Tu voto debe contar exactamente lo mismo que el de tu vecino, y el sistema debe reflejar esa igualdad matemáticamente.

Resumen técnico

Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "Characterizations of voting rules based on majority margins" (Caracterizaciones de las reglas de votación basadas en márgenes mayoritarios) de Ding, Holliday y Pacuit.

1. Planteamiento del Problema

En el contexto de las elecciones con boletas de ordenamiento (ranked ballots), existe una clase importante de reglas de votación conocidas como reglas basadas en márgenes (o reglas pairwise). Una regla es basada en márgenes si, siempre que dos elecciones generen los mismos márgenes de victoria/derrota cara a cara entre los candidatos, la regla produce el mismo resultado. Formalmente, si $M_P = M_Q$ (donde $M_P(x,y)$ es el número de votantes que prefieren $x$ a $y$ menos los que prefieren $y$ a $x$), entonces $F(P) = F(Q)$.

El problema central que abordan los autores es epistemológico y normativo:

• Matemáticamente, la propiedad de ser basada en márgenes es una invariancia natural.
• Normativamente, no está claro si esta propiedad debería ser un axioma fundamental de justicia o equidad. ¿Por qué deberíamos ignorar la información sobre el número total de votantes o la intensidad de las preferencias más allá del margen neto?

El objetivo del artículo es responder a esta pregunta demostrando que una regla de votación es basada en márgenes si y solo si satisface un conjunto de axiomas con un contenido normativo más claro y justificable (como la igualdad de trato entre votantes y el equilibrio de preferencias opuestas).

2. Metodología

Los autores utilizan un enfoque de caracterización axiomática. En lugar de simplemente definir reglas basadas en márgenes, buscan identificar los principios normativos subyacentes que las definen.

• Dominios de estudio: Analizan diferentes dominios de perfiles de votación:
  1. Perfiles lineales (ordenamientos estrictos sin empates).
  2. Perfiles de "orden lineal con indiferencia en la parte inferior" (LOBI), que modelan elecciones reales donde los votantes no necesariamente ordenan a todos los candidatos.
  3. El dominio de todos los perfiles (incluyendo empates y no comparabilidad).
• Herramientas técnicas:
  • Uso de la construcción de McGarvey-Debord para realizar matrices de márgenes abstractas mediante perfiles de votación.
  • Definición de perfiles "normales" ($D_{v,m}$) que sirven como formas canónicas para transformar cualquier perfil en otro con el mismo margen mediante operaciones permitidas por los axiomas.
  • Distinción entre reglas basadas en márgenes, reglas head-to-head (que dependen del conteo bruto de preferencias $\#_P$ y el número total de votantes) y reglas $C_2$ (Fishburn).

3. Axiomas Clave Introducidos

El artículo introduce y formaliza varios axiomas que capturan la intuición de equidad y balance:

1. Igualdad Preferencial (Preferential Equality): Si dos votantes $i$ y $j$ tienen ambos al candidato $x$ inmediatamente por encima de $y$, entonces el cambio de uno de ellos para poner $y$ sobre $x$ debe tener el mismo efecto en el resultado que si el otro hiciera el cambio. Esto asegura que la preferencia de un votante por $y$ sobre $x$ se trata con la misma "fuerza" que la del otro.

   • Versión compensatoria: Si un votante invierte $x \succ y$ a $y \succ x$ y otro hace lo inverso ($y \succ x$ a $x \succ y$), el resultado no cambia.

2. Reversión Neutral (Neutral Reversal): Añadir a cualquier perfil un par de votantes con órdenes lineales completamente opuestos (reversos) no debe cambiar el resultado de la elección. Esto refleja la idea de que dos votantes con preferencias totalmente opuestas se cancelan mutuamente.

3. Compensación por Desempate (Tiebreaking Compensation): Si dos votantes tienen un empate (indiferencia) entre un conjunto de candidatos $Y$, y uno rompe el empate en un orden $L$ mientras el otro lo rompe en el orden inverso $L^{-1}$, el resultado no debe cambiar.

4. Indiferencia Neutral (Neutral Indifference): Añadir un votante con un ordenamiento completamente indiferente (todos los candidatos empatados) no debe cambiar el resultado. Este axioma es crucial para distinguir entre reglas basadas en márgenes y reglas que dependen del número total de votantes.

5. Invariancia de Bloque (Block Invariance): Si se añade un bloque completo de votantes, uno por cada posible ordenamiento lineal de los candidatos, el resultado no cambia.

4. Resultados Principales (Teoremas de Caracterización)

Los autores demuestran teoremas de "si y solo si" bajo diferentes supuestos:

A. Para perfiles lineales (Teorema 2.9)

Una regla de votación en el dominio de perfiles lineales es basada en márgenes si y solo si satisface:

1. Igualdad Preferencial.
2. Reversión Neutral.

Nota: Si se asume la propiedad de Homogeneidad (la regla no cambia si se duplica el número de votantes), la Reversión Neutral puede debilitarse a Invariancia de Bloque (Teorema 2.21).

B. Para todos los perfiles (con Homogeneidad) (Teorema 3.8)

Cuando se permiten empates (dominio LOBI o general), la caracterización requiere:

1. Homogeneidad.
2. Compensación por Desempate (o Preferencial, dependiendo del dominio).
3. Indiferencia Neutral.

La Indiferencia Neutral es la clave que elimina la dependencia del número total de votantes, asegurando que la regla dependa solo de los márgenes y no de la magnitud absoluta de los conteos.

C. Caracterización relativa a reglas head-to-head (Teorema 4.4)

Para reglas que ya son head-to-head (dependen de $\#_P$ y $|V|$), una regla es basada en márgenes si y solo si satisface:

1. Reversión Neutral No Lineal (una versión fuerte que aplica a órdenes con empates).
2. Indiferencia Neutral.

Esto demuestra que la diferencia entre ser una regla head-to-head y una basada en márgenes reside en cómo la regla trata la información de los empates y el número total de votantes.

5. Significado y Contribuciones

1. Justificación Normativa de las Reglas de Márgenes: El artículo proporciona una base ética para el uso de reglas como Minimax (versión de márgenes), Schulze o Ranked Pairs. Muestra que estas reglas no son arbitrarias, sino que son las únicas que respetan principios de igualdad entre votantes (Igualdad Preferencial) y neutralidad ante preferencias opuestas (Reversión Neutral).
2. Crítica a Reglas No Basadas en Márgenes: Ilustra cómo reglas populares como el Voto Instantáneo (IRV) o el Plurality violan estos principios.
   • Ejemplo: El IRV viola la Igualdad Preferencial. Un grupo pequeño de votantes que cambian su preferencia entre dos candidatos puede alterar el resultado de manera diferente a otro grupo del mismo tamaño que hace el cambio inverso, dependiendo de la estructura de eliminación de rondas.
3. Distinción entre Versiones de Reglas: El paper aclara la diferencia entre versiones de reglas como Minimax. La versión basada en "márgenes" (minimizar el margen máximo de derrota) es basada en márgenes, mientras que la versión basada en "votos ganadores" (minimizar el número de votos en contra) no lo es, y esta última viola la Indiferencia Neutral o la Compensación por Desempate.
4. Aplicabilidad en Elecciones Reales: Los autores analizan dominios LOBI (comunes en elecciones políticas reales donde los votantes no ordenan a todos los candidatos) y demuestran que las caracterizaciones axiomáticas deben ajustarse (necesitando axiomas de desempate) para ser válidas en estos contextos.
5. Mapa de Relaciones: Proporciona un diagrama claro de las inclusiones entre clases de reglas:
   • Reglas Basadas en Márgenes $\subset$ Reglas $C_2$ $\subset$ Reglas Head-to-Head.
   • Cada paso de inclusión se caracteriza por la adición o eliminación de axiomas específicos (como la Indiferencia Neutral).

En conclusión, el artículo establece que la propiedad de ser "basada en márgenes" no es solo una simplificación matemática, sino una consecuencia lógica de principios de equidad democrática fundamentales: el trato igualitario a las preferencias individuales y la neutralidad ante preferencias opuestas.