Estimation and inference in models with multiple behavioural equilibria

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Imagina que la economía es como un gran partido de fútbol donde todos los jugadores (las personas, las empresas, los bancos) tienen que tomar decisiones basadas en lo que creen que pasará en el futuro.

Este artículo, escrito por Alexander Mayer y Davide Raggi, trata sobre cómo entender y predecir el comportamiento de estos jugadores cuando no son genios matemáticos perfectos, sino que aprenden a medida que juegan, cometiendo errores y ajustando sus estrategias.

Aquí tienes la explicación desglosada en conceptos sencillos:

1. El problema: No todos son "adivinos perfectos"

En la teoría económica clásica, se asume que todos los jugadores son "adivinos perfectos" (Racionalidad Perfecta). Saben exactamente cómo funciona el sistema y no se equivocan.

La realidad: La gente no es perfecta. A veces se equivocan, a veces solo miran los resultados recientes y a veces usan reglas simples para adivinar el futuro.
El modelo: Los autores crean un modelo donde los agentes dicen: "Voy a predecir la inflación basándome en una regla simple: si ayer subió, hoy subirá un poco más". Pero esa regla es una simplificación de la realidad.

2. El concepto clave: "Equilibrios de comportamiento"

Aquí viene la parte más interesante. Como la gente usa reglas simples y no perfectas, el sistema puede estancarse en diferentes "estados de ánimo" o equilibrios.

La analogía de la montaña: Imagina que la economía es una pelota rodando por un paisaje de colinas y valles.
- En la teoría perfecta, la pelota siempre termina en el mismo valle (el único equilibrio).
- En este modelo, como la gente aprende de forma imperfecta, la pelota puede quedarse atrapada en diferentes valles.
- Valle A (Equilibrio de baja persistencia): La gente cree que la inflación es volátil y cambia rápido.
- Valle B (Equilibrio de alta persistencia): La gente cree que la inflación es lenta y se mantiene mucho tiempo.
- El problema: No sabemos en cuál de estos valles estamos, y la economía puede saltar de uno a otro si ocurre un shock (como una crisis o un cambio de política).

3. La solución de los autores: Un "GPS" estadístico

El gran desafío de este modelo es que es muy complicado de calcular. Es como intentar predecir el clima sabiendo que los propios meteorólogos cambian sus fórmulas cada día.

Los autores desarrollan una nueva herramienta matemática (un método de estimación) que funciona como un GPS muy avanzado:

Estabilidad: Primero demuestran que, aunque el sistema es caótico, no se descontrola infinitamente (es "ergódico"). La pelota siempre se queda en algún valle, no se va volando al espacio.
Cálculo de la ruta: Crean un método para estimar qué tan rápido aprenden los jugadores (la "tasa de aprendizaje") y qué tan sensible es la economía a sus errores.
Detección de múltiples caminos: Su herramienta es capaz de decirnos: "Oye, hay tres posibles valles donde la economía podría estar atrapada". Y lo más importante, les permite calcular cuánta incertidumbre tenemos sobre en cuál de ellos estamos.

4. ¿Qué pasa cuando hay "caminos dobles"?

A veces, la matemática del modelo se vuelve extraña. Imagina que dos valles se tocan en un punto muy plano.

Si la pelota está justo en ese punto plano, es muy difícil saber hacia dónde rodará.
Los autores descubrieron que en estos casos, las reglas normales de estadística fallan. Necesitan usar reglas especiales (como medir la velocidad de la pelota de forma diferente) para no confundirse. Es como si tu GPS te dijera: "Estás en una encrucijada, no puedo decirte con certeza a dónde vas, pero te daré un rango de probabilidades".

5. La prueba de fuego: Datos reales de EE. UU.

Para ver si su "GPS" funciona, lo probaron con datos reales de la inflación en Estados Unidos (desde 1960 hasta 2019).

El hallazgo: El modelo detectó que la economía de EE. UU. tiene dos estados de ánimo principales:
1. Un estado donde la gente cree que la inflación es muy persistente (se queda mucho tiempo).
2. Un estado donde la gente cree que la inflación es menos persistente.
La utilidad: Esto ayuda a los bancos centrales a entender que no hay una sola "verdad" sobre la inflación. Dependiendo de qué "valle" (equilibrio) esté ocupando la economía, las políticas para controlar la inflación deben ser diferentes.

En resumen

Este paper es como un manual de instrucciones para navegar en un mar donde el mapa cambia constantemente porque los propios marineros (los agentes económicos) están aprendiendo a leer el mapa mientras navegan.

Los autores nos dicen:

No asumas que todos son perfectos.
Puede haber múltiples futuros posibles (múltiples equilibrios) y es normal que la economía salte entre ellos.
Tenemos las herramientas matemáticas para estimar estos futuros y medir la incertidumbre, incluso cuando las cosas se ponen complicadas y hay "caminos dobles" en la estadística.

Es una guía para tomar decisiones más inteligentes en un mundo donde nadie tiene todas las respuestas, pero todos están aprendiendo.

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Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "Estimation and inference in models with multiple behavioural equilibria" (Estimación e inferencia en modelos con múltiples equilibrios conductuales) de Alexander Mayer y Davide Raggi.

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda la estimación y la inferencia estadística en un modelo macroeconómico estilizado, específicamente una Curva de Phillips Nueva Keynesiana (NKPC), donde los agentes forman expectativas utilizando reglas de aprendizaje adaptativo con ganancia constante (constant-gain learning).

El problema central surge de la interacción entre dos características:

Racionalidad Limitada y Aprendizaje: Los agentes no poseen expectativas racionales completas. En su lugar, actúan como estadísticos que estiman recursivamente los parámetros de un modelo percibido (PLM) que es una regresión autorregresiva de primer orden (AR(1)) para la inflación, ignorando incorrectamente la dinámica real que incluye el "output gap" (brecha del producto).
Múltiples Equilibrios Conductuales: Debido a la no linealidad del sistema y al hecho de que los agentes actualizan sus creencias basándose en datos pasados, pueden coexistir múltiples equilibrios conductuales (puntos fijos de la ley de movimiento percibida que coinciden con la ley de movimiento real bajo esas creencias).

La literatura existente ha demostrado la utilidad empírica de estos modelos, pero carecía de una teoría econométrica rigurosa (frecuentista) para:

Establecer las propiedades de los estimadores de los parámetros estructurales.
Realizar inferencia válida cuando existen múltiples equilibria, especialmente cuando estos se repiten (raíces múltiples), lo que rompe la teoría asintótica estándar.

2. Metodología

Los autores desarrollan un marco teórico completo basado en la teoría de series temporales no lineales y procesos estocásticos.

A. Propiedades Probabilísticas del Proceso Generador de Datos (DGP)

Antes de la estimación, los autores establecen que el sistema dinámico resultante (que incluye la inflación, las expectativas de los agentes y los parámetros estimados recursivamente) puede modelarse como una cadena de Markov no lineal.

Ergodicidad Geométrica: Demuestran que, bajo condiciones de regularidad (distribuciones de errores con densidad semicontinua inferior y soporte completo, y parámetros de estabilidad), la cadena es geométricamente ergódica. Esto garantiza que el sistema olvida las condiciones iniciales exponencialmente rápido y converge a una distribución estacionaria única, independientemente de la inicialización.
Esto es crucial para justificar el uso de la Ley de los Grandes Números (LLN) y el Teorema del Límite Central (CLT) en el análisis posterior.

B. Estimación por Mínimos Cuadrados No Lineales (NLS)

Proponen un estimador de Mínimos Cuadrados No Lineales (NLS) para el vector de parámetros estructurales $\theta = (\gamma, \delta, \psi)'$ , donde:

$\gamma$ : Parámetro de ganancia de aprendizaje.
$\delta$ : Factor de descuento de expectativas futuras.
$\psi$ : Pendiente de la curva de Phillips.

El estimador minimiza la suma de cuadrados de los residuos entre la inflación observada y la predicha por el modelo de aprendizaje.

C. Análisis de Identificación y Convergencia

Consistencia Fuerte: Demuestran que el estimador NLS es consistentemente fuerte ( $\theta_n \xrightarrow{a.s.} \theta_0$ ) utilizando argumentos de separación de trayectorias y la ergodicidad del sistema.
Normalidad Asintótica: Establecen la distribución normal asintótica del estimador $\sqrt{n}(\theta_n - \theta_0) \xrightarrow{d} N(0, \Sigma)$ .
Caso de Identificación Débil: Analizan el caso donde $\delta = 0$ . En este escenario, el parámetro de ganancia $\gamma$ no está identificado conjuntamente con los demás, pero demuestran que los parámetros restantes ( $\delta, \psi$ ) mantienen una tasa de convergencia de $\sqrt{n}$ , siguiendo la literatura de parámetros de molestia no identificados (Hansen, 1996a; Saikkonen, 1995).

D. Inferencia sobre los Equilibrios

El artículo aborda el desafío de inferir la ubicación y el número de equilibrios conductuales ( $\beta$ ), que son las raíces de una función polinómica no lineal $G(\beta; \lambda) = 0$ .

Raíces Simples: Si el equilibrio es único o hay múltiples raíces simples, la convergencia es estándar ( $\sqrt{n}$ ).
Raíces Repetidas (Múltiples): Cuando el sistema tiene una raíz doble (ej. dos equilibrios que colisionan), la identificación es de segundo orden. Esto genera:
- Tasas de convergencia más lentas ( $n^{1/4}$ ) para las raíces repetidas.
- Distribuciones límite no estándar (mezcla de distribuciones).
- Inconsistencia en la estimación del número de raíces (el estimador oscila entre 1 y 3 raíces con probabilidad 0.5, incluso cuando el verdadero número es 2).
Bandas de Confianza Uniformes: Proponen el uso de bandas de confianza uniformes para la función $G(\beta)$ en lugar de intervalos puntuales, utilizando un bootstrap de multiplicadores gaussianos para manejar la distribución no pivotal y las posibles raíces múltiples.

3. Contribuciones Clave

Fundamentos Teóricos Rigurosos: Proporcionan la primera demostración completa de ergodicidad geométrica y propiedades asintóticas para un modelo NKPC con aprendizaje de ganancia constante y múltiples equilibrios.
Manejo de Múltiples Equilibrios: Desarrollan una teoría asintótica específica para el caso de raíces repetidas, mostrando cómo la inferencia cambia (tasas de convergencia lentas, distribuciones mixtas) y cómo construir procedimientos de prueba válidos.
Procedimientos de Inferencia Prácticos:
- Pruebas de Wald para parámetros estructurales.
- Prueba de tipo supF para el caso de parámetros no identificados ( $\delta=0$ ).
- Bandas de confianza uniformes para el mapa de equilibrios, robustas frente a la multiplicidad de raíces.
Aplicación Empírica: Demuestran la utilidad del método aplicándolo a datos de inflación de EE. UU., revelando la existencia de múltiples regímenes de persistencia de expectativas.

4. Resultados Principales

Resultados Teóricos

Proposición 1: Bajo supuestos de momentos finitos y parámetros estables, el proceso es ergódico geométricamente.
Proposición 2: El estimador NLS es consistentemente fuerte.
Proposición 3: El estimador es asintóticamente normal con una matriz de covarianza que puede estimarse numéricamente.
Corolario 3: Cuando hay una raíz doble ( $r_0=2$ ), el número estimado de raíces $r_n$ no converge en probabilidad a 2, sino que converge en distribución a una variable Bernoulli (oscilando entre 1 y 3). Sin embargo, el promedio de las dos raíces estimadas cerca de la raíz doble converge a la raíz verdadera a una tasa de $n^{-1/4}$ .

Resultados Empíricos (Datos de EE. UU., 1960-2019)

Se estimó el modelo utilizando dos medidas de "slack" (brecha del producto y cambio en costos laborales unitarios reales).
Caso A (Brecha del Producto): Se encontraron tres equilibrios conductuales ( $\beta_1 \approx 0.19$ , $\beta_2 \approx 0.83$ , $\beta_3 \approx 1.0$ ). Esto sugiere la existencia de múltiples regímenes de persistencia de inflación: uno de baja persistencia (expectativas ancladas) y uno de alta persistencia (expectativas aceleracionistas).
Caso B (Costos Laborales): Se encontró un único equilibrio de baja persistencia.
Interpretación: La persistencia del factor impulsor (output gap vs. costos laborales) es determinante. Una alta persistencia en el output gap permite la coexistencia de múltiples equilibrios, mientras que una baja persistencia en los costos laborales conduce a un único equilibrio estable.
Las bandas de confianza uniformes permitieron visualizar la incertidumbre sobre la ubicación de estos equilibrios, mostrando que el equilibrio intermedio ( $\beta_2$ ) es inestable bajo el criterio de aprendizaje de Hommes y Zhu (2014).

5. Significado e Impacto

Este trabajo es fundamental para la macroeconomía moderna y la econometría de series temporales por varias razones:

Puente entre Teoría y Práctica: Cierra la brecha entre los modelos teóricos de aprendizaje adaptativo (que a menudo asumen múltiples equilibrios) y la capacidad de los economistas para estimarlos e inferir sobre ellos con rigor estadístico.
Nuevas Herramientas para la Política: Al demostrar que pueden coexistir múltiples regímenes de expectativas (ancladas vs. no ancladas), el estudio sugiere que las políticas económicas pueden tener efectos no lineales, moviendo la economía de un equilibrio a otro.
Avance Metodológico: La solución propuesta para la inferencia en presencia de raíces múltiples (usando promedios de raíces y bandas uniformes) es aplicable a una amplia gama de modelos econométricos no lineales donde la identificación de primer orden falla.
Validación Empírica: La aplicación a datos reales confirma que los modelos de aprendizaje conductual no son solo curiosidades teóricas, sino que capturan dinámicas reales de la inflación, incluyendo la persistencia y la posible existencia de "trampas" de expectativas.

En resumen, Mayer y Raggi proporcionan el "kit de herramientas" estadístico necesario para trabajar con modelos macroeconómicos donde los agentes aprenden y donde el sistema puede tener múltiples estados estables, transformando un problema de identificación difícil en un procedimiento de inferencia manejable y robusto.