Dynamic slippage control and rejection feedback in spot FX market making

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Imagina que el mercado de divisas (FX) es como un mercado de frutas muy rápido y caótico, donde los precios cambian cada milisegundo. Tú eres el frutero (el "Market Maker" o creador de mercado) que tiene un puesto y ofrece vender o comprar manzanas a un precio fijo que gritas a la multitud.

El problema es que hay un retraso (latencia). Cuando un cliente te grita "¡Quiero comprar!", tu voz tarda un poco en llegar a sus oídos, y su respuesta tarda un poco en llegar a ti. Para cuando aceptas el trato, el precio de las manzanas en el mercado global ya puede haber cambiado. Si el precio subió y tú vendiste barato, pierdes dinero. Si bajó y compraste caro, también pierdes.

Este artículo de Alexander Barzykin (de HSBC) es como un manual de estrategia para un frutero inteligente que quiere evitar estas pérdidas sin espantar a sus clientes. Aquí te explico los conceptos clave con analogías sencillas:

1. El Problema: "La Ventana de Oportunidad" (Latencia)

Imagina que gritas: "¡Manzanas a 1 euro!". Un cliente te oye y corre a comprártelas. Pero en el tiempo que tarda en llegar a tu mostrador, el precio real de las manzanas ha subido a 1.10 euros.

El riesgo: Si aceptas la venta a 1 euro, pierdes 10 centavos.
La solución tradicional: Gritar precios más altos (ampliar el "spread") para cubrir el riesgo. Pero si los precios son muy altos, los clientes se van a otro puesto.

2. La Herramienta: "El Último Mirada" (Last Look / Rejection)

En lugar de aceptar ciegamente, el frutero tiene un botón de "Rechazar".

Cuando el cliente llega, el frutero mira el precio actual. Si la manzana ha subido mucho (es un mal trato para el frutero), rechaza la venta.
El dilema: Si rechazas demasiado, los clientes se enfadan y dejan de venir. Si aceptas demasiado, pierdes dinero.
La innovación del papel: El autor dice que el frutero no debe usar un botón fijo, sino un botón inteligente que cambia según el estado de ánimo del cliente y el inventario del frutero.

3. La Innovación Clave: "La Reputación" (Feedback de Reputación)

Aquí está la parte más genial. El autor introduce un concepto llamado "Puntuación de Reputación".

Imagina que cada vez que rechazas a un cliente, su "puntuación de confianza" baja un poco.
Si tu puntuación de rechazo es muy alta (rechazas a mucha gente), los clientes inteligentes dejan de venir a tu puesto o te envían menos pedidos.
La estrategia óptima: El frutero debe ser muy cuidadoso. A veces, aunque pierda un poco de dinero en una venta mala, es mejor aceptarla para no dañar su reputación y mantener a los clientes felices a largo plazo. Es como un padre que a veces deja que su hijo gane una partida de ajedrez para mantenerlo motivado, aunque él sepa que podía ganar.

4. El "Truco Matemático" (Aproximación Adiabática)

Resolver todas estas decisiones en tiempo real es como intentar calcular la trayectoria de miles de bolas de billar al mismo tiempo. Es demasiado difícil.

El autor propone un atajo inteligente: Asume que la reputación del frutero cambia lentamente (como un reloj de arena), mientras que el inventario de frutas cambia muy rápido (como el tráfico).
Al separar estos dos tiempos, puede crear una fórmula simple (como una receta de cocina) que le dice al frutero: "Si tienes muchas manzanas y tu reputación es buena, rechaza si el precio sube más de X. Si tu reputación está baja, acepta casi todo para recuperar clientes".

5. El Protocolo "Justo" (Fair Execution)

El artículo también compara dos formas de rechazar:

El "Rechazo Descontrolado": El frutero rechaza cualquier cosa que le haga perder dinero. Esto es rentable a corto plazo, pero la gente se enfada y se va.
El "Protocolo Simétrico Justo": El frutero dice: "Si el precio sube mucho, rechazo. Pero si el precio baja mucho (me favorece), te doy un descuento al cliente".
- Resultado: Esto es más justo. El cliente sabe que no le están estafando. El autor demuestra matemáticamente que, aunque el frutero gana un poco menos por operación, gana más dinero a largo plazo porque mantiene a los clientes contentos y evita que se vayan.

En Resumen

El papel nos enseña que en el mundo de las finanzas rápidas, ser un "buen vecino" (tener buena reputación) es tan importante como ser un buen calculista.

La mejor estrategia no es rechazar todas las malas ofertas, sino equilibrar la protección de tu bolsillo con el cuidado de tus relaciones con los clientes. Si rechazas demasiado, te quedas solo en el puesto. Si aceptas demasiado, te arruinas. El autor nos da las matemáticas exactas para encontrar ese punto dulce donde ganas dinero y mantienes a tus clientes felices.

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1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda el problema de la creación de mercado (market making) en divisas (FX) al contado en un entorno de negociación de cliente a dealer (D2C) fuera de bolsa (OTC). El desafío central es gestionar el riesgo de latencia: cuando un cliente envía una solicitud para ejecutar una cotización, el precio de mercado puede haber cambiado (movimiento adverso) antes de que el dealer pueda procesar la orden.

En la práctica, los dealers utilizan protocolos de "última mirada" (Last Look) o validación de precios, donde tienen la opción de aceptar o rechazar una orden tras observar el movimiento de precios durante una ventana de latencia. Sin embargo, la literatura académica y la práctica industrial presentan dos brechas importantes que este trabajo intenta cerrar:

Política de rechazo endógena: La mayoría de los modelos tratan los umbrales de rechazo como parámetros fijos o protocolos estáticos, en lugar de optimizarlos dinámicamente junto con las cotizaciones.
Retroalimentación reputacional: Los modelos existentes suelen ignorar que las decisiones de rechazo afectan la reputación del dealer, lo que a su vez reduce el flujo de órdenes futuro (los clientes evitan dealers que rechazan con frecuencia).

El objetivo es desarrollar un marco de control estocástico que optimice simultáneamente las cotizaciones (spreads) y la política de rechazo, incorporando un mecanismo de retroalimentación donde la tasa de rechazo afecta la intensidad futura de las órdenes.

2. Metodología

El autor construye un modelo basado en la tradición de Avellaneda-Stoikov, extendido para incluir la decisión de rechazo y la dinámica de reputación.

A. Dinámica del Modelo

Precio de referencia ( $S_t$ ): Sigue un movimiento browniano con volatilidad constante $\sigma$ .
Cotizaciones: El dealer ofrece una escalera discreta de tamaños de operación con offsets $\delta_{n,i}^t$ (bid/ask).
Llegada de órdenes: Las solicitudes llegan según procesos de Poisson con intensidad $\lambda$ , que depende exponencialmente del spread y de una variable de reputación ( $R_t$ ).
Riesgo de latencia: Se modela como un "marco" (mark) gaussiano $Y$ sobre la ventana de latencia. La media de este movimiento puede depender de la cotización (selección adversa).
Decisión binaria: Al recibir una orden, el dealer decide $\ell \in \{0, 1\}$ (rechazar/aceptar) instantáneamente (tiempo de retención cero).
Dinámica de Reputación: La variable $R_t$ se actualiza como una Media Móvil Exponencial (EMA) de los rechazos pasados. Un rechazo aumenta $R_t$ , lo que reduce la intensidad futura de las órdenes a través de una función $g(R_t)$ decreciente.

B. Formulación de Control Óptimo

El dealer maximiza la riqueza terminal esperada penalizada por el riesgo de inventario.

Se define una función de valor $U(t, x, q, R, S)$ , donde $x$ es el efectivo, $q$ el inventario y $R$ la puntuación de rechazo.
Se utiliza un ansatz afín para separar la dependencia del precio de mercado, reduciendo el problema a una función de valor $V(t, q, R)$ .
La ecuación Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) resultante incluye un término de maximización sobre el spread $\delta$ y la decisión de rechazo $\ell$ . La decisión óptima de rechazo se compara con el valor de la opción incrustada: se acepta si el beneficio esperado supera la pérdida de valor reputacional ( $J$ ).

C. Aproximación Adiabática-Cuadrática

Dado que la reputación cambia lentamente (escala de tiempo de días) comparada con el control de inventario (escala de segundos), el autor propone una aproximación eficiente:

Congelar la reputación: Tratar $R$ como un parámetro fijo en la escala de tiempo del control de inventario.
Expansión de segundo orden: Expandir los Hamiltonianos alrededor de un precio sombra, siguiendo el enfoque de Bergault et al.
Ansatz cuadrático: Asumir que la función de valor es cuadrática en el inventario ( $V \approx -A(t)q^2 - C(t)$ ).
Esto conduce a una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de tipo Riccati para el coeficiente de riesgo $A(t)$ y permite obtener expresiones cerradas para las cotizaciones óptimas y los umbrales de rechazo.

D. Protocolos de Ejecución Justa

El paper también analiza protocolos de "ejecución justa" (inspirados en Oomen, 2017b) donde el dealer no solo rechaza, sino que ofrece rebates (descuentos) si el movimiento es favorable excesivo, manteniendo una simetría estadística. Esto se modela mediante un umbral de tolerancia simétrica $\epsilon$ .

3. Contribuciones Clave

Control de Rechazo como Variable de Estado: Por primera vez en este contexto, la decisión de rechazo se trata como un control óptimo dinámico dependiente del estado (inventario y reputación), en lugar de un parámetro fijo.
Mecanismo de Retroalimentación de Reputación: Introduce explícitamente cómo los rechazos pasados degradan la reputación ( $R$ ) y reducen el flujo de órdenes futuro, creando un incentivo económico para que el dealer sea más selectivo y menos propenso a rechazar órdenes para proteger su negocio a largo plazo.
Solución Analítica Aproximada: Desarrolla una aproximación adiabática-cuadrática que proporciona fórmulas cerradas para las cotizaciones y umbrales de rechazo, permitiendo una calibración rápida y autoconsistente sin necesidad de resolver numéricamente la HJB completa en tiempo real.
Análisis de Protocolos Justos: Compara cuantitativamente los protocolos de rechazo ilimitado (unconstrained) frente a protocolos simétricos con rebates, demostrando cómo la reputación afecta la viabilidad de cada uno.

4. Resultados Principales

Comportamiento del Dealer:
- En ausencia de retroalimentación de reputación, el dealer tiende a rechazar órdenes adversas agresivamente, lo que puede llevar a una tasa de rechazo alta pero mejora la utilidad inmediata.
- Con retroalimentación de reputación: El dealer se vuelve más conservador. A medida que la puntuación de rechazo ( $R$ ) aumenta, el dealer estrecha los spreads (para atraer más flujo y diluir la mala reputación) y reduce la tasa de rechazo, incluso si eso implica aceptar algunas órdenes tóxicas. Esto se describe como un incentivo de "reparación-explotación".
Efecto de la Latencia:
- A medida que aumenta la latencia, el dealer comienza a rechazar más órdenes. Sin embargo, con retroalimentación de reputación, el dealer prefiere mantener un spread más amplio y rechazar menos para evitar dañar la relación con el cliente.
Comparación de Protocolos:
- Los resultados numéricos muestran que los protocolos de rechazo simétrico con rebates (fair protocols) logran una tasa de rechazo significativamente menor que los protocolos de rechazo ilimitado, aunque con una mejora de utilidad ligeramente menor debido a los pagos de rebates.
- La retroalimentación de reputación reduce drásticamente las tasas de rechazo en ambos escenarios, empujando al dealer hacia un comportamiento más "justo" de forma endógena.
Validación Numérica:
- Las simulaciones de Montecarlo confirman que la aproximación adiabática es precisa para inventarios pequeños y que el sistema converge a un estado estacionario donde la tasa de rechazo promedio coincide con el nivel de reputación objetivo.

5. Significado e Implicaciones

Este trabajo es significativo tanto para la academia como para la industria financiera por varias razones:

Puente entre Teoría y Práctica: Proporciona un marco matemático riguroso que explica por qué los dealers en el mundo real a veces aceptan órdenes tóxicas o ajustan sus spreads dinámicamente, no solo por riesgo de inventario, sino por gestión de relaciones y reputación.
Diseño de Protocolos: Ofrece una justificación cuantitativa para el uso de protocolos de "última mirada" justos (simétricos). Demuestra que la transparencia y la equidad no son solo requisitos regulatorios, sino que pueden ser óptimos desde el punto de vista económico si se consideran los efectos a largo plazo en el flujo de órdenes.
Herramienta de Calibración: La aproximación adiabática-cuadrática ofrece una herramienta práctica para que los desks de trading puedan calibrar sus algoritmos de creación de mercado en tiempo real, equilibrando el riesgo de latencia, la toxicidad del flujo y la salud de la cartera de clientes.
Gestión de Riesgo de Latencia: Cambia la perspectiva de ver el rechazo como una herramienta puramente defensiva para evitar pérdidas, mostrándolo como una variable estratégica que debe equilibrarse con la necesidad de mantener el volumen de negocio.

En resumen, el paper demuestra que en un mercado de FX moderno, la reputación es un activo financiero que debe ser gestionado dinámicamente, y que la optimización conjunta de cotizaciones y decisiones de rechazo, considerando la retroalimentación del cliente, conduce a estrategias más robustas y sostenibles.