A Model-Based Restricted Shapley Value to Measure the Players' Contribution to Shot Actions in Football

Este artículo propone un nuevo marco basado en el Valor de Shapley Restringido de Jugador (PRS) y el concepto de Acción Esperada de Gol (xGA) para cuantificar de manera más precisa y cooperativa la contribución individual de los jugadores en las acciones de tiro del fútbol, integrando las interacciones del equipo y las redes de pases en el análisis de rendimiento.

Lo esencial

Imagina que el fútbol no es solo un juego de 11 personas corriendo detrás de un balón, sino una orquesta gigante. En una orquesta, si un violinista toca una nota perfecta, es genial. Pero si esa nota es parte de una sinfonía increíble donde el director, los otros violines y los metales trabajaron juntos para crear una melodía hermosa, el valor de esa nota es mucho mayor.

El problema es que, hasta ahora, los analistas de fútbol solo miraban al violinista que tocó la nota final (el gol) y decían: "¡Qué gran violinista!". Se olvidaban de todo el trabajo previo.

Este artículo propone una nueva forma de medir a los jugadores, como si fuera un sistema de justicia para el trabajo en equipo. Aquí te explico cómo funciona, paso a paso, con analogías sencillas:

1. El problema: El "Goleador" vs. El "Equipo"

Tradicionalmente, medimos a los jugadores por goles o asistencias. Es como si en una empresa solo pagáramos al vendedor que firmó el contrato, ignorando a quien hizo el diseño, al que negoció el precio y al que arregló el coche de la empresa.

Existe una métrica llamada xG (Goles Esperados) que intenta predecir la probabilidad de que un tiro sea gol. Pero el xG solo mira el último segundo: "¿Estaba cerca del arco? ¿Qué ángulo tenía?". Ignora cómo llegó el balón ahí. ¿Fue un pase largo de 50 metros? ¿Fue una combinación de 10 pases? El xG no lo sabe.

2. La solución: El "xGA" (La Calidad de la Acción)

Los autores crearon una nueva métrica llamada xGA (Goles Esperados de la Acción).

• La analogía: Imagina que el gol es el pastel final. El xG solo mide qué tan bueno es el pastel. El xGA mide toda la receta: la calidad de los ingredientes (los jugadores), la habilidad del chef (el pase inicial) y la coordinación del equipo para hornearlo.
• El xGA no solo mira el tiro, sino todo el camino: cuántos jugadores participaron, cuántos pases hubo y cómo se movieron. Si un equipo hace una jugada compleja de 10 pases antes de tirar, el xGA le da más valor a esa jugada que a un tiro desordenado.

3. La magia matemática: El "Shapley Restringido" (El Reparto Justo)

Aquí es donde entra la parte más interesante. Una vez que sabemos que la jugada valía mucho (gracias al xGA), ¿cómo repartimos ese valor entre los 10 o 11 jugadores que participaron?

Usan una idea de la teoría de juegos llamada Valor de Shapley, pero adaptada al fútbol.

• La analogía del equipo de construcción: Imagina que construyes una casa.
  • Si el arquitecto trabaja solo, no construye nada.
  • Si el albañil trabaja solo, tampoco.
  • Pero si trabajan juntos, construyen una casa.
  • El Valor de Shapley pregunta: "¿Cuánto aporta cada persona extra cuando se une al grupo?".
• El problema en el fútbol: En un partido real, no todos los 11 jugadores pueden estar en todas las jugadas. A veces son 3, a veces 5. No es posible que todos los equipos posibles se formen al azar.
• La solución (Restringido): Los autores dicen: "No vamos a imaginar equipos que nunca existen. Vamos a mirar solo los equipos que realmente se formaron en el campo". Llamamos a esto Valor de Shapley Restringido (PRS). Es como decir: "Mira, en esta jugada específica, estos 5 jugadores trabajaron juntos. ¿Cuánto añadió cada uno a la calidad de esa jugada?".

4. ¿Qué nos dice esto? (Los Resultados)

Aplicaron esto a la liga italiana (Serie A) de la temporada 2022/23, analizando miles de jugadas. Descubrieron cosas fascinantes:

• No todos los que tocan el balón son iguales: Algunos jugadores tienen un "PRS" muy alto. Esto significa que, aunque no siempre marquen gol, su participación hace que la jugada sea mucho más peligrosa y probable de terminar en gol. Son los "maestros de la orquesta".
• El caso de Osimhen (Napoli): Fue el jugador con el valor más alto. No solo marcaba muchos goles, sino que su presencia y movimiento hacían que todo el ataque de su equipo fuera de alta calidad.
• Los "Invisibles": Hubo jugadores con valores negativos. No es que fueran malos, sino que cuando ellos participaban en una jugada, la calidad de esa jugada bajaba un poco respecto al promedio.
• La paradoja del delantero: En el gráfico final, vieron jugadores que eran excelentes terminando goles (eficientes) pero que no ayudaban a construir la jugada (bajo PRS). Y viceversa: jugadores que construían jugadas increíbles pero fallaban al final.

En resumen

Este paper nos dice que para entender realmente a un jugador de fútbol, no basta con contar goles. Necesitamos entender cómo contribuye al trabajo en equipo.

Es como si en una empresa de software, en lugar de solo premiar al programador que arregló el error final, premiáramos también a quien diseñó la arquitectura, al que escribió el código base y al que ayudó a depurar. Gracias a esta nueva fórmula, los entrenadores y los clubes pueden encontrar a los jugadores que realmente hacen que el equipo funcione mejor, incluso si no son los que firman el gol en el último minuto.

La lección clave: En el fútbol, como en la vida, el éxito rara vez es un acto solitario; es el resultado de una cadena de cooperación, y ahora tenemos una herramienta matemática para valorar a cada eslabón de esa cadena.

Resumen técnico

Aquí tienes un resumen técnico detallado del artículo en español, estructurado según los puntos solicitados:

Título: Un Valor de Shapley Restringido Basado en Modelos para Medir la Contribución de los Jugadores a las Acciones de Tiro en el Fútbol

1. Problema y Motivación

El fútbol es un deporte inherentemente colectivo donde el resultado de una acción ofensiva depende de la participación coordinada de múltiples jugadores. Sin embargo, las métricas tradicionales de evaluación de rendimiento (como goles, asistencias o el Expected Goals o xG estándar) presentan limitaciones significativas:

• Falta de contexto: El xG tradicional evalúa solo la calidad de la finalización (tiro), ignorando la fase de construcción, los pases previos, el posicionamiento y la cooperación del equipo.
• Visión fragmentada: Métricas avanzadas como xGChain (contribución total de la cadena) o xGThreat (amenaza espacial) a menudo sobreestiman la influencia en secuencias largas o carecen de un marco unificado para cuantificar la contribución marginal individual dentro de una estructura cooperativa específica.
• Inadecuación del Valor de Shapley Clásico: La aplicación directa del Valor de Shapley en deportes de equipo falla porque asume que todas las coaliciones posibles son admissibles y observables. En la realidad del fútbol, las coaliciones están restringidas por tácticas, formaciones y roles específicos; no todos los subconjuntos de jugadores interactúan en cada acción.

El objetivo del artículo es desarrollar un marco metodológico que cuantifique la contribución marginal de cada jugador a la creación de oportunidades de gol, considerando explícitamente la naturaleza cooperativa y las restricciones tácticas de las acciones ofensivas.

2. Metodología Propuesta

Los autores proponen un enfoque en dos etapas principales:

A. Modelo de Expected Goal Action (xGA):
Se introduce una nueva métrica, el xGA, que extiende el modelo clásico de xG.

• Diferencia clave: Mientras que el xG solo utiliza características del tiro (coordenadas, ángulo), el xGA incorpora características de toda la acción ofensiva previa al tiro.
• Variables de entrada: Incluye el número de pases, número de jugadores involucrados, distancia promedio de los pases, coordenadas del primer pase, situación del juego (juego abierto, falta, etc.) y un índice de rendimiento ofensivo de los compañeros.
• Algoritmos: Se comparan dos modelos para estimar la probabilidad de gol: una Regresión Binaria con enlace complementary log-log (BR cloglog) y el algoritmo de XGBoost. El modelo XGBoost se seleccionó como función de valor (worth function) debido a su mejor sensibilidad y precisión en la predicción de eventos raros (goles).

B. Estadística del Valor de Shapley Restringido de Jugadores (PRS):
Se adapta la teoría de juegos cooperativos al contexto del fútbol mediante el Valor de Shapley Restringido (Restricted Shapley Value).

• Restricción de Coaliciones: A diferencia del Shapley clásico, que considera todas las subconjuntos posibles, el PRS solo considera coaliciones que son tácticamente admisibles y empíricamente observables a través de las redes de pase de las acciones de tiro.
• Cálculo: La "riqueza" o valor de una coalición ($\upsilon(S)$) se calcula sumando los valores xGA de todas las acciones observadas donde participó esa coalición.
• Estimación y Robustez: Dado que el valor de la función se estima mediante un modelo estadístico, se utiliza un procedimiento de Bootstrap (1,000 repeticiones) para calcular el error estándar de la estimación del Shapley restringido.
• Estadístico PRS: Se define como el cociente entre la estimación del valor de Shapley restringido y su error estándar ($PRS_i = \hat{\phi}^R_i / SE(\hat{\phi}^R_i)$). Esto convierte la métrica en una medida adimensional (similar a una relación señal-ruido), permitiendo comparar la magnitud de la contribución de los jugadores ajustada por la incertidumbre de la estimación.

3. Contribuciones Clave

1. Nueva Métrica Contextual (xGA): Un modelo que integra la calidad de la construcción del juego con la probabilidad de gol, superando las limitaciones del xG tradicional.
2. Marco Teórico Adaptado (PRS): La primera aplicación del Valor de Shapley restringido a redes de pase en fútbol, reconociendo que no todas las coaliciones son posibles y que la contribución debe evaluarse dentro de estructuras cooperativas observadas.
3. Inferencia Estadística: Introducción de un marco de inferencia basado en Bootstrap para cuantificar la incertidumbre de las contribuciones de los jugadores, permitiendo pruebas de dominancia y comparaciones más robustas.
4. Desacoplamiento de Roles: Capacidad para distinguir entre jugadores que son excelentes finalizadores pero con baja participación en la construcción, y jugadores que son fundamentales en la creación de oportunidades pero con menor eficiencia de finalización.

4. Resultados Empíricos

El marco se aplicó a un conjunto de datos de 8,421 acciones de tiro de la temporada 2022/23 de la Serie A italiana, con estudios de caso en AC Milan y SSC Napoli.

• Rendimiento del Modelo xGA: El modelo xGA (específicamente con XGBoost) superó consistentemente al modelo xG tradicional en métricas clave como el Coeficiente de Correlación de Matthews (MCC +10.5%), Precisión (+7.1%) y F1 (+5.7%), demostrando su capacidad para capturar mejor la complejidad de las acciones de tiro.
• Heterogeneidad de Contribuciones:
  • SSC Napoli: Victor Osimhen obtuvo el PRS más alto, reflejando su papel central no solo como finalizador, sino como eje de la estructura ofensiva. Otros jugadores como Kvaratskhelia y Anguissa mostraron contribuciones positivas significativas.
  • AC Milan: Olivier Giroud y Rafael Leão lideraron las contribuciones. Destacó también la alta contribución de defensores como Fikayo Tomori y Theo Hernández, lo que sugiere un rol activo de la defensa en la generación de tiros.
• Análisis de Discrepancias (Gráfico de Dispersión PRS vs. Eficiencia de Gol):
  • Se identificaron cuatro cuadrantes al cruzar el PRS (contribución cooperativa) con la eficiencia de gol ($G90 - xG90$).
  • Alto PRS / Baja Eficiencia: Jugadores como Giroud y De Ketelaere (Milan) contribuyen masivamente a crear oportunidades de alta calidad, aunque su finalización individual sea inferior a la esperada.
  • Bajo PRS / Alta Eficiencia: Jugadores que finalizan bien pero tienen una participación limitada en la construcción colectiva.
  • Negativo PRS: Jugadores asociados a coaliciones que generan tiros de menor calidad que el promedio.

5. Significado e Implicaciones

• Para el Análisis Táctico: El PRS permite a los entrenadores entender cómo se construyen las jugadas y qué jugadores son esenciales en la fase de "build-up", más allá de quién marca el gol.
• Para el Scouting y Gestión de Recursos: La métrica ayuda a identificar jugadores cuyo impacto colectivo está subvalorado por las estadísticas tradicionales (ej. mediocampistas o defensores que inician jugadas), facilitando contrataciones más eficientes y sostenibles económicamente.
• Avance Académico: Proporciona un nuevo paradigma para la evaluación de rendimiento en deportes de equipo, moviéndose de métricas individuales estáticas a medidas de contribución marginal dinámica y contextualizada dentro de la teoría de juegos cooperativos.

En conclusión, el artículo demuestra que la integración de modelos de aprendizaje automático (xGA) con la teoría de juegos restringida (PRS) ofrece una herramienta poderosa y matizada para desentrañar la complejidad de la cooperación en el fútbol moderno.