On the stability of the steady-state of a general model of endogenous growth with two $CES$ production functions

Este artículo demuestra que en un modelo general de crecimiento endógeno tipo Bond con dos funciones de producción CES distintas, no se puede garantizar la estabilidad por camino de silla del estado estacionario.

Lo esencial

Imagina que la economía de un país es como una gran cocina de restaurante que nunca cierra. En esta cocina hay dos chefs principales trabajando todo el tiempo:

1. El Chef de la Comida (Sector de Bienes): Se encarga de cocinar platos deliciosos que la gente puede comer hoy (consumo) y de guardar ingredientes para cocinar más mañana (inversión).
2. El Chef de la Formación (Sector de Educación): No cocina comida, sino que "entrena" a los ayudantes de cocina. Hace que los cocineros sean más rápidos, más inteligentes y mejores (capital humano).

El artículo que nos ocupa es como un informe de un inspector de cocina llamado Constantin Chilarescu. Este inspector quiere saber si esta cocina funciona de manera estable o si, de repente, podría volverse un caos.

¿Qué descubrió el inspector? (El problema)

Antes de este artículo, otros investigadores famosos (como Bond y sus colegas) habían dicho: "¡Tranquilos! Si mezclamos bien los ingredientes, esta cocina siempre encontrará un equilibrio perfecto y estable. Si algo sale mal, la cocina se corregirá sola y volverá al camino correcto". A esto en economía le llaman "estabilidad de camino de silla". Imagina que es como un caballo en una silla de montar: si te caes a un lado, caes al suelo (crisis), pero si te quedas en la línea central, puedes galopar hacia el futuro.

Sin embargo, el inspector Chilarescu dice: "¡Espera un momento! Eso no es cierto para todas las recetas".

La receta especial: Las funciones CES

Para probar su punto, el inspector no usó una receta simple (como la clásica "Cobb-Douglas", que es como una receta de pizza estándar donde la masa y el queso se mezclan siempre de la misma forma). En su lugar, usó una receta mucho más complicada y flexible llamada CES.

Piensa en la receta CES como una cocina de alta tecnología donde los ingredientes (capital y trabajo) se pueden sustituir entre sí de formas muy extrañas y variables. A veces, un robot puede reemplazar a un chef, y otras veces no. La flexibilidad es el punto clave.

El hallazgo sorprendente

Chilarescu demostró que cuando usas estas recetas flexibles (CES) en ambos departamentos (comida y educación), la cocina pierde su "equilibrio mágico".

Aquí está la analogía simple:
Imagina que intentas equilibrar una varilla sobre tu dedo.

• En el modelo antiguo (Bond), la varilla tenía un imán en el centro que siempre la empujaba de vuelta al equilibrio si se movía un poco. Era fácil de mantener.
• En el modelo nuevo de Chilarescu (con dos funciones CES), el imán desaparece. La varilla puede quedarse quieta un momento, pero si la tocas, no sabes si caerá al suelo o se disparará al cielo. No hay un "camino seguro" garantizado.

Matemáticamente, esto significa que el sistema tiene un determinante cero (un término técnico que, en nuestra analogía, significa que las reglas del juego se vuelven ambiguas). No podemos asegurar que la economía volverá a su estado estable por sí sola.

¿Qué pasa si usamos recetas simples?

El artículo también hace una excepción interesante. Si usamos recetas simples y rígidas (Cobb-Douglas), ¡entonces sí funciona! El equilibrio se mantiene y es estable. Pero el mundo real es más complejo, y las recetas flexibles (CES) son más realistas.

Conclusión en lenguaje cotidiano

El mensaje principal de este artículo es una advertencia de precaución:

"No asumas que la economía siempre se arreglará sola y volverá a un camino de crecimiento estable, especialmente si los trabajadores y las máquinas pueden sustituirse entre sí de formas muy flexibles. Bajo ciertas condiciones realistas, el sistema puede volverse inestable y perder su 'brújula' de equilibrio."

Es como decir: "Si tu cocina es muy flexible y puedes cambiar los ingredientes a tu antojo, ten cuidado. Podrías terminar cocinando un pastel delicioso o quemando la casa, y no hay una regla automática que te diga cuál será el resultado final".

El autor nos invita a ser más humildes con nuestras predicciones económicas y a entender que la estabilidad no es un derecho garantizado, sino una condición frágil que depende de cómo estén estructuradas las "recetas" de producción de la economía.

Resumen técnico

Resumen Técnico: Estabilidad del Estado Estacionario en un Modelo de Crecimiento Endógeno con Funciones CES

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda un problema fundamental en la teoría del crecimiento endógeno: la validez de la estabilidad por camino de silla (saddle-path stability) en modelos de dos sectores (bienes y educación) cuando se utilizan funciones de producción CES (Elasticidad de Sustitución Constante) distintas para cada sector.

• Contexto: El trabajo se basa en el modelo de referencia de Bond et al. (1996), quienes afirmaron que su modelo general de crecimiento endógeno garantiza la existencia, unicidad y estabilidad por camino de silla del equilibrio de crecimiento balanceado.
• La Hipótesis Contradictoria: Chilarescu cuestiona la afirmación de Bond et al. sobre la estabilidad. El autor sostiene que, al considerar dos funciones de producción CES distintas (con elasticidades de sustitución diferentes, $\sigma_1 \neq \sigma_2$), la afirmación de estabilidad por camino de silla no es cierta para cualquier elección de parámetros.
• Objetivo: Demostrar matemáticamente que, bajo estas condiciones generales, el sistema dinámico resultante tiene un determinante de la matriz Jacobiana igual a cero, lo que impide concluir la estabilidad por camino de silla mediante el análisis estándar de autovalores.

2. Metodología

El autor emplea un enfoque de optimización dinámica intertemporal utilizando el Hamiltoniano y el principio del máximo de Pontryagin.

• Estructura del Modelo:
  • Sectores: Un sector de bienes (produce consumo e inversión física) y un sector de educación (produce capital humano). Ambos operan bajo rendimientos constantes a escala.
  • Funciones de Producción: Se utilizan dos funciones CES distintas:
    • Sector 1: $Y_1 = A_1 [\alpha_1 (kv)^{\psi_1} + (1-\alpha_1)(hu)^{\psi_1}]^{1/\psi_1}$
    • Sector 2: $Y_2 = A_2 [\alpha_2 (k(1-v))^{\psi_2} + (1-\alpha_2)(h(1-u))^{\psi_2}]^{1/\psi_2}$
    • Donde $\psi_i = (\sigma_i - 1)/\sigma_i$ son los parámetros de sustitución y $\sigma_1 \neq \sigma_2$.
  • Variables:
    • Estados: Capital físico ($k$) y capital humano ($h$).
    • Control: Consumo ($c$), fracción de capital físico en bienes ($v$) y fracción de capital humano en bienes ($u$).
• Procedimiento Analítico:
  1. Se define el Hamiltoniano actualizado y se derivan las condiciones de primer orden (CPO) respecto a las variables de control y estado.
  2. Se derivan las ecuaciones diferenciales para las variables duales (precios sombra $\lambda$ y $\mu$).
  3. Se transforma el sistema original de 5 ecuaciones diferenciales (con tasas de crecimiento no nulas) en un sistema de variables estacionarias para facilitar el análisis de estabilidad. Las nuevas variables son:
     • $z = k/h$ (relación de capital).
     • $q = c/k$ (relación consumo-capital).
     • $u$ y $v$ (asignaciones de recursos).
  4. Se analiza la matriz Jacobiana del sistema linealizado alrededor del estado estacionario.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

A. Existencia y Unicidad del Equilibrio (Proposición 1)
El autor demuestra que, bajo ciertas condiciones paramétricas (relacionadas con la tasa de preferencia temporal $\rho$, la elasticidad de intertemporalidad $\varepsilon$ y las tasas de depreciación), existe un único equilibrio de crecimiento balanceado.

• En este equilibrio, todas las variables crecen a la misma tasa $r^*$.
• Se prueban las condiciones de transversalidad, asegurando que la solución óptima es única.

B. El Resultado Central: Falta de Estabilidad por Camino de Silla
Este es el hallazgo más crítico del artículo:

• Al transformar el sistema a variables estacionarias ($z, q, u, v$), el autor observa que la variable $z$ depende explícitamente de las variables de control $u$ y $v$ a través de la relación definida en la ecuación (8) del texto.
• Consecuencia Matemática: Esta dependencia funcional implica que el determinante de la matriz Jacobiana evaluada en el estado estacionario es igual a cero.
• Implicación: Un determinante cero significa que el sistema no es hiperbólico en el sentido estándar. Por lo tanto, no se puede afirmar la estabilidad por camino de silla (que requiere un número específico de autovalores positivos y negativos). El sistema podría exhibir comportamientos complejos, bifurcaciones o indeterminación, dependiendo de los autovalores restantes.
• El autor concluye que la afirmación de Bond et al. (1996) sobre la estabilidad general es falsa cuando se utilizan funciones CES distintas.

C. Caso Especial: Funciones Cobb-Douglas
El autor analiza el caso límite donde las funciones CES se reducen a Cobb-Douglas ($\psi_1 = \psi_2 = 0$ en términos de parámetros, o elasticidad unitaria).

• En este caso específico, la relación entre $u$ y $v$ se simplifica, y el sistema dinámico resultante (reducido a 3 variables estacionarias) sí permite un análisis de estabilidad.
• Simulaciones Numéricas: Las simulaciones realizadas para el caso Cobb-Douglas muestran que, al menos uno de los autovalores es negativo, lo que sugiere que, solo en este caso específico, podría existir un equilibrio estable por camino de silla. Sin embargo, esto no se generaliza al caso CES distinto.

D. Caso de Elasticidades Iguales
Se menciona que si las elasticidades de sustitución son iguales ($\sigma_1 = \sigma_2$), los resultados de Bond et al. se mantienen (citando trabajo previo del autor, Chilarescu 2025). El problema de la estabilidad surge específicamente cuando $\sigma_1 \neq \sigma_2$.

4. Significado e Implicaciones

• Corrección Teórica: El artículo corrige una afirmación generalizada en la literatura de crecimiento endógeno. Demuestra que la estabilidad por camino de silla no es una propiedad intrínseca de todos los modelos de dos sectores, sino que depende críticamente de la forma funcional de las tecnologías de producción.
• Advertencia Metodológica: El trabajo advierte a los economistas sobre el peligro de asumir estabilidad sin verificar la estructura del Jacobiano, especialmente cuando se introducen funciones de producción no lineales o con diferentes elasticidades de sustitución.
• Complejidad Dinámica: Sugiere que los modelos de crecimiento con heterogeneidad tecnológica (diferentes elasticidades de sustitución entre sectores) pueden ser más complejos de lo que se pensaba, pudiendo presentar múltiples equilibrios o trayectorias no convergentes bajo ciertas condiciones, lo que requiere un análisis de bifurcación más profundo en lugar de un simple análisis de estabilidad local.

En resumen, Chilarescu demuestra que la generalización de Bond et al. (1996) falla cuando se relajan las suposiciones sobre la forma funcional, revelando que la estabilidad por camino de silla no está garantizada en un modelo general con dos funciones CES distintas, debido a la singularidad (determinante cero) de la matriz Jacobiana del sistema dinámico resultante.