Dynamic scaling and Family-Vicsek universality in the Hubbard model at infinite temperature

Este artículo investiga el escalamiento de Family-Vicsek de las fluctuaciones de carga, espín y energía en el modelo de Hubbard unidimensional a temperatura infinita, revelando que mientras los sistemas integrables exhiben regímenes de transporte balístico o KPZ y la ruptura de la integrabilidad conduce a la difusión, todos los casos muestran un crecimiento balístico universal de corto tiempo antes de entrar en sus respectivas ventanas de escalamiento hidrodinámico.

Lo esencial

Imagina un pasillo largo y concurrido lleno de personas (electrones) que pueden moverse hacia la izquierda o hacia la derecha. Este pasillo representa una cadena de átomos unidimensional en un material llamado modelo de Hubbard. El artículo investiga cómo la "desorden" o las "fluctuaciones" se propagan a través de este pasillo cuando todos se mueven caóticamente a la máxima velocidad (temperatura infinita).

Los investigadores intentan responder una pregunta simple: ¿Cómo crece el "desorden" en una sección específica de este pasillo a lo largo del tiempo?

Para visualizar esto, piensa en el "desorden" como la altura de un montón de arena o la rugosidad de una pared que está siendo pintada. En física, esto se llama escalamiento de Family-Vicsek. Es un manual de reglas que predice qué tan rugosa se vuelve una superficie basándose en dos cosas: qué tan grande es la sección que estás observando y cuánto tiempo ha pasado.

Aquí está lo que el artículo descubrió, desglosado en conceptos cotidianos:

1. Los tres tipos de "tráfico"

Los investigadores observaron tres cosas diferentes moviéndose a través del pasillo:

• Carga: El movimiento de las personas mismas (electrones).
• Espín: La dirección en la que las personas están orientadas (arriba o abajo).
• Energía: La actividad total o el "bullicio" de la multitud.

Descubrieron que cómo se propagan estas tres cosas depende enteramente de las "reglas del juego" (las interacciones entre las personas).

2. Los tres escenarios

Escenario A: La multitud de flujo libre (Sin interacciones)
Imagina que las personas en el pasillo no chocan entre sí en absoluto. Simplemente caminan en línea recta.

• Resultado: Todo se mueve en una línea recta a una velocidad constante. Esto se llama transporte Balístico.
• Analogía: Como coches en una autopista vacía sin semáforos. Si miras una sección de la carretera, el "desorden" (fluctuaciones) crece de manera constante y predecible.
• ¿Quién se comporta así? La carga, el espín y la energía hacen esto cuando no hay interacciones.

Escenario B: La multitud "Integrable" (Reglas estrictas, pero con interacciones)
Ahora, imagina que las personas chocan entre sí, pero siguen un conjunto de reglas muy estrictas y mágicas (integrabilidad matemática) que evita el caos total. No pueden hacer lo que quieran; sus movimientos están altamente coordinados.

• Carga y Espín: Estos dos se quedan atrapados en un estado superdifusivo extraño llamado escalamiento KPZ.
  • Analogía: Imagina una multitud intentando formar una fila, pero siguen chocando entre sí de una manera que crea un "atasco de tráfico" que crece más rápido que lo normal, pero más lento que un flujo libre. Es como una ola de personas moviéndose a través de un recinto de conciertos donde todos intentan bailar al unísono pero se estorban unos a otros. La "rugosidad" crece con un patrón específico y curvo.
• Energía: Sorprendentemente, la energía sigue moviéndose como la multitud de flujo libre (Balística).
  • Analogía: Aunque las personas estén chocando entre sí, el "bullicio" o el "calor" de la sala sigue atravesando el lugar instantáneamente, sin verse afectado por el atasco de tráfico de las personas mismas.

Escenario C: La multitud caótica (Reglas rotas)
Finalmente, los investigadores rompieron las reglas mágicas añadiendo una nueva interacción desordenada (personas chocando con los vecinos de sus vecinos). Esto destruye la "integrabilidad".

• Resultado: Todo se vuelve Difusivo.
• Analogía: Esto es como una fiesta concurrida donde todos chocan con todos de forma aleatoria. Si dejas caer una gota de tinte en el agua, se extiende lentamente y se propaga de manera uniforme. El "desorden" crece mucho más lento que en los escenarios anteriores.
• ¿Quién se comporta así? La carga, el espín y la energía se ralentizan y se vuelven difusivos cuando las reglas se rompen.

3. La sorpresa "microscópica"

Antes de que estos patrones a largo plazo (la autopista, el atasco de tráfico o la fiesta) se establezcan por completo, los investigadores encontraron un momento inicial muy corto donde todo se comporta de la misma manera: crece muy rápido, como una pelota siendo lanzada.

• Analogía: No importa cuáles sean las reglas después, si miras el primer instante de un segundo, el "desorden" se dispara rápidamente antes de asentarse en su ritmo a largo plazo. Este es un "régimen microscópico" universal que ocurre antes de que emerja el panorama general.

Resumen de los hallazgos

El artículo concluye que la Integrabilidad (la existencia de esas reglas estrictas y mágicas) es la jefa.

• Si las reglas son perfectas (Integrable): La carga y el espín se quedan atrapados en un "atasco de tráfico" (KPZ), pero la energía atraviesa el sistema velozmente (Balística).
• Si las reglas se rompen (No Integrable): Todo se ralentiza hacia una propagación lenta y aleatoria (Difusiva).
• Si no hay personas chocando entre sí (Libre): Todo atraviesa el sistema velozmente (Balística).

Los investigadores utilizaron una herramienta matemática ingeniosa (Función Generadora Cuántica) para contar estas fluctuaciones sin tener que rastrear a cada persona individualmente en el pasillo, lo que les permitió ver estos patrones con claridad. Confirmaron que la "rugosidad" del sistema sigue una ley matemática universal, pero la velocidad a la que crece depende enteramente de si el sistema está siguiendo esas reglas estrictas o no.

Resumen técnico

Resumen Técnico: Escalamiento Dinámico y Universalidad de la Familia–Vicsek en el Modelo de Hubbard a Temperatura Infinita

Planteamiento del Problema
Este trabajo investiga las propiedades de transporte y la dinámica de fluctuaciones del modelo de Fermi–Hubbard unidimensional a temperatura infinita. Específicamente, los autores buscan caracterizar el comportamiento de escalamiento de las fluctuaciones de carga, espín y energía dentro de subsistemas. El estudio se centra en cómo estas fluctuaciones evolucionan desde regímenes microscópicos de corto tiempo hacia ventanas hidrodinámicas de largo tiempo, y cómo estos comportamientos dependen de la integrabilidad del sistema. La cuestión central es si el marco de escalamiento de la Familia–Vicsek (FV), desarrollado originalmente para el crecimiento de interfaces clásicas, es aplicable a sistemas cuánticos de muchos cuerpos y cómo las clases de universalidad de los sectores de carga, espín y energía difieren bajo diversas intensidades de interacción y condiciones de integrabilidad.

Metodología
Los autores emplean un enfoque de Función Generatriz Cuántica (QGF) para computar los cumulantes dependientes del tiempo de las cantidades conservadas transferidas sin necesidad de reconstruir la distribución de probabilidad completa.

• Modelo: El estudio utiliza el Hamiltoniano de Hubbard 1D ($H_{\text{Hubb}}$) con salto de vecino más cercano ($J$) e interacción en el sitio ($U$). Para sondear los efectos de la ruptura de la integrabilidad, se añade una interacción de densidad de vecino más cercano al siguiente ($V$) ($H = H_{\text{Hubb}} + H_{\text{NNN}}$).
• Estado Inicial: Las simulaciones se realizan a temperatura infinita, representada por una matriz de densidad completamente mezclada $\rho_\infty = 1/4^L$, correspondiente al llenado de medio y magnetización cero.
• Técnica Numérica: La QGF se evalúa utilizando representaciones de Operadores de Producto de Matrices (MPO) y la Decimación de Bloques Evolutiva en el Tiempo (TEBD) en el espacio de Liouville. El método consiste en aplicar un operador de "giro" (twist) $R(\lambda) = e^{i\lambda Q_\ell}$ a un segmento de la cadena, evolucionar el estado y extraer los cumulantes de la función característica.
• Análisis de Escalamiento: Los autores analizan la "rugosidad" $W(\ell, t)$, definida como la raíz cuadrada del segundo cumulante de la cantidad transferida en un subsistema de tamaño $\ell$. Evalúan el ansatz de escalamiento de FV $W(\ell, t) \sim \ell^\alpha f(t/\ell^z)$ para extraer el exponente de rugosidad ($\alpha$), el exponente de crecimiento ($\beta$) y el exponente dinámico ($z$).

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo establece un mapeo exhaustivo de los regímenes de transporte en el modelo de Hubbard mediante el análisis de tres sectores distintos: carga, espín y energía.

1. Régimen Microscópico Universal de Corto Tiempo:
   A través de todos los sectores y regímenes de parámetros (libre, interactuante integrable y no integrable), los autores observan un régimen de corto tiempo donde las fluctuaciones crecen de forma balística ($W \sim t$). Esto precede la emergencia de la ventana de escalamiento hidrodinámico.

2. Sectores de Carga y Espín:

• Límite Libre ($U=0, V=0$): Tanto la carga como el espín exhiben transporte balístico con un exponente dinámico $z=1$ (exponente de crecimiento $\beta=1/2$).
• Límite Interactuante Integrable ($U \neq 0, V=0$): El sistema transiciona a la clase de universalidad de Kardar–Parisi–Zhang (KPZ). El exponente dinámico se convierte en $z=3/2$ ($\beta=1/3$), indicando un transporte superdifusivo.
• Límite No Integrable ($V \neq 0$): La ruptura de la integrabilidad impulsa al sistema hacia un régimen difusivo con $z=2$ ($\beta=1/4$).

3. Sector de Energía:

• Régimen Integrable ($V=0$): A diferencia de los sectores de carga y espín, el sector de energía permanece balístico ($z=1$) incluso en presencia de interacciones finitas en el sitio ($U \neq 0$). Los autores atribuyen esto al hecho de que la corriente de energía no se acopla a las cargas no abelianas responsables de la anomalía KPZ en los otros sectores.
• Régimen No Integrable ($V \neq 0$): De manera similar a los otros sectores, la ruptura de la integrabilidad vuelve el transporte de energía difusivo ($z=2$).

4. Universalidad de la Rugosidad:
   Se encuentra que el exponente de rugosidad $\alpha$ es universal ($\alpha = 1/2$) en todos los sectores y regímenes, lo cual es consistente con las expectativas para sistemas unidimensionales.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo sostiene que el marco de escalamiento de la Familia–Vicsek proporciona un método compacto y unificado para organizar y distinguir el transporte balístico, anómalo (KPZ) y difusivo dentro del modelo de Hubbard. La principal significancia radica en demostrar que la integrabilidad es el factor de control para la dinámica de largo tiempo, pero su efecto depende del sector:

• En la cadena de Hubbard integrable, la carga y el espín exhiben escalamiento KPZ, mientras que la energía permanece balística.
• La ruptura de la integrabilidad (vía $V$) restaura universalmente el comportamiento difusivo en todos los sectores.

Los autores enfatizan que sus resultados conectan las leyes de conservación microscópicas y la integrabilidad con la hidrodinámica emergente. Observan que, mientras trabajos previos se centraron en sistemas no interactuantes o límites específicos, este estudio compara sistemáticamente carga, espín y energía en igualdad de condiciones tanto en regímenes integrables como no integrables. Los hallazgos sugieren que el transporte de energía sigue una ruta distinta a la de la carga y el espín a lo largo de la línea integrable, un matiz capturado eficazmente por el análisis de escalamiento de FV. El trabajo está motivado por la disponibilidad de simuladores cuánticos de átomos fríos capaces de sondear esta dinámica de alta temperatura y lejos del equilibrio.