Order parameters and ground-state phase diagram of the interacting topological Su-Schrieffer-Heeger model with extended-range hoppings

Este artículo investiga el modelo Su-Schrieffer-Heeger con interacciones y saltos de rango extendido, revelando un rico diagrama de fases del estado fundamental que comprende fases topológicas, de tipo superconductor y de onda de densidad de carga, y deriva parámetros de orden que demuestran cómo las interacciones permiten saltos no unidireccionales distintos del caso no interactuante.

Lo esencial

Imagina un pasillo largo y estrecho alineado con pares de casilleros. En este pasillo, tenemos partículas diminutas e invisibles (llamémoslas "bailarines") que pueden saltar entre los casilleros. Esta configuración es conocida en la física como el modelo de Su-Schrieffer-Heeger (SSH).

Durante años, los científicos han estudiado cómo se mueven estos bailarines cuando están solos o cuando solo saltan al casillero inmediatamente siguiente. Descubrieron que los bailarines pueden formar patrones "topológicos": arreglos especiales que son robustos y difíciles de romper, algo así como un nudo que permanece atado incluso si sacudes la cuerda.

Sin embargo, este nuevo artículo plantea una pregunta más complicada: ¿Qué sucede si los bailarines pueden saltar más lejos (a dos o tres casilleros de distancia en el pasillo) Y ADEMÁS si comienzan a interactuar entre sí (empujándose o tirando unos de otros)?

Aquí está lo que los investigadores descubrieron, explicado de forma sencilla:

1. Las reglas de la "pista de baile"

En la versión original de este modelo, los bailarines solo saltaban al vecino inmediato y no les importaba realmente los unos de los otros. Los investigadores añadieron dos nuevas reglas:

• Salto extendido: Los bailarines ahora pueden saltar más lejos por el pasillo.
• Interacciones: Los bailarines tienen sentimientos. A veces odian estar cerca unos de otros (repulsión) y otras veces se aman (atracción). Crucialmente, el "amor" o el "odio" entre bailarines en un mismo par de casilleros puede ser diferente del "amor" o "odio" entre pares de casilleros vecinos.

2. Un nuevo mapa de "estados de la materia"

Cuando los investigadores subieron el volumen de estas interacciones y los saltos largos, no solo encontraron los viejos patrones. Descubrieron un rico "diagrama de fases" (un mapa de todos los estados posibles) que contiene 10 fases distintas.

Piensa en estas fases como diferentes formas en que los bailarines pueden organizarse en la pista:

• Los bailarines topológicos: Algunos grupos todavía forman esos patrones especiales (llamados números de enroscamiento o winding numbers). Curiosamente, los investigadores descubrieron que incluso con los bailarines empujándose y tirando unos de otros, estos patrones especiales no desaparecieron; simplemente cambiaron sus movimientos de baile.
• Las ondas de densidad de carga (CDW): Estas son como una banda de marcha donde los bailarines se alinean en un patrón estricto y repetitivo (por ejemplo, "dos bailarines aquí, dos bailarines allá, vacío, vacío"). El artículo encontró cinco tipos diferentes de estas bandas de marcha. Dos de estos nuevos tipos solo aparecen debido a la mezcla de saltos largos e interacciones desiguales.
• La separación de fases: En algunos casos extremos, los bailarines se sienten tan atraídos entre sí que todos se amontonan en un gran grupo, dejando el resto del pasillo vacío.

3. La sorpresa "tipo superconductor"

El descubrimiento más emocionante es una fase tipo superconductor (SC-like).

• La analogía: En los superconductores reales, los electrones se emparejan (como parejas de baile) y se mueven sin fricción. Aquí, los "bailarines" (que son en realidad fermiones sin espín, un tipo de partícula) también se emparejan.
• El giro: Normalmente, los sistemas 1D (como un pasillo único) no pueden mantener una superconductividad perfecta debido a las reglas cuánticas (el teorema de Mermin-Wagner). Sin embargo, esta nueva fase muestra un orden de tipo cuasi-largo alcance.
• Lo que esto significa: Es como un baile que es casi perfectamente coordinado a lo largo de una gran distancia. Los compañeros mantienen el ritmo durante mucho tiempo, pero eventualmente el ritmo se desvía ligeramente. Esto sucede porque los bailarines están utilizando esos "saltos largos" y la implicación específica en sus interacciones para crear este emparejamiento único.

4. Cómo supieron lo que estaba pasando (Los "parámetros de orden")

Para determinar en qué fase se encontraban los bailarines, los científicos necesitaban una forma de "ver" el patrón. En física, esto se llama un Parámetro de Orden (PO).

• La forma antigua: En la versión simple y no interactuante, el PO era como una flecha unidireccional. Solo miraba los saltos en una dirección (por ejemplo, de izquierda a derecha).
• El nuevo descubrimiento: Cuando se añaden las interacciones, los bailarines dejan de moverse en una sola dirección. Comienzan a saltar de ida y vuelta de formas complejas. Los investigadores tuvieron que inventar nuevos y más complejos POs. Estas nuevas herramientas observan una "superposición" de todas las posibles direcciones de salto.
• La metáfora: Imagina intentar describir un mosh pit caótico. Si solo miras a la gente moviéndose hacia adelante, te pierdes toda la imagen. Los nuevos POs observan todo el remolino caótico de movimiento para identificar correctamente la fase.

5. El fallo del "tamaño finito"

Los investigadores utilizaron simulaciones por computadora para probar esto. Descubrieron que para algunas fases (específicamente una que llaman "tipo W1"), los resultados se veían diferentes cuando simulaban un pasillo pequeño frente a uno enorme.

• La analogía: Es como intentar juzgar el clima mirando por una ventana pequeña. En una habitación pequeña, el aire puede sentirse estancado, pero en un gran pasillo, hay una brisa. La fase "tipo W1" es tan sensible al tamaño del sistema que es difícil determinar exactamente qué es sin una simulación muy grande. Esto resalta una limitación en su método: a veces los modelos pequeños no cuentan toda la historia.

Resumen

Este artículo es una inmersión profunda en un modelo de juguete cuántico. Al añadir saltos de largo alcance e interacciones desiguales, los autores descubrieron que el sistema es mucho más complejo de lo que se pensaba anteriormente. Mapearon 10 fases diferentes, incluyendo cinco nuevos tipos de patrones ordenados y un nuevo estado tipo superconductor donde las partículas se emparejan de una manera única. También desarrollaron nuevas herramientas matemáticas (Parámetros de Orden) para detectar estas fases, demostrando que las interacciones pueden, de hecho, mejorar o modificar las características topológicas en lugar de simplemente destruirlas.

Resumen técnico

Resumen Técnico: Parámetros de Orden y Diagrama de Fases del Estado Fundamental del Modelo Su-Schrieffer-Heeger Topológico con Interacciones y Hoppings de Rango Extendido

Planteamiento del Problema
El modelo Su-Schrieffer-Heeger (SSH) es un sistema paradigmático para el estudio de aislantes topológicos, caracterizado por un invariante topológico no trivial (número de winding) y estados de borde protegidos. Aunque el modelo SSH no interactuante y sus extensiones con hoppings de largo alcance (ESSH extendido) han sido ampliamente estudiados, la interacción entre las interacciones electrón-electrón y los hoppings de rango extendido permanece poco explorada. Un desafío primordial para caracterizar el diagrama de fases del estado fundamental del modelo ESSH interactuante es la ausencia de parámetros de orden (OP) bien establecidos que puedan distinguir entre diversos fases topológicas y de ruptura de simetría, particularmente cuando las interacciones inducen estados fundamentales de muchos cuerpos complejos que se desvían de los límites simples no interactuantes.

Metodología
Los autores emplean un esquema no variacional e independiente de subsistemas propuesto en la Ref. [52] para construir parámetros de orden para el modelo ESSH interactuante. La metodología procede de la siguiente manera:

1. Definición del Modelo: El estudio se centra en el Hamiltoniano ESSH que incluye interacciones de densidad intra-celda ($U$) e inter-celda ($V$), junto con hoppings de vecino más cercano ($t_a, t_b$) y de segundo vecino más cercano ($t_c, t_d$).
2. Construcción de Parámetros de Orden: Los autores analizan los estados de Fock dominantes en el estado fundamental de muchos cuerpos. Mediante la identificación de patrones genéricos de ocupación de partículas (0s y 1s) en estos estados dominantes, construyen operadores $\hat{O}$ que producen valores de expectación no nulos específicamente para esas fases.
3. Refinamiento para Interacciones: A diferencia del caso no interactuante donde los estados de Fock dominantes favorecen hoppings puramente unidireccionales, el régimen interactuante introduce interacciones desbalanceadas que favorecen configuraciones de hopping no unidireccionales. En consecuencia, los autores refinan los OPs sumando todas las combinaciones posibles de conjugados hermitianos locales de los términos de hopping (por ejemplo, $O'_{Wm} = \sum_{\kappa \in P(\{1,\dots,n\})} O_{n,\kappa}^{Wm}$).
4. Verificación Numérica: Los OPs derivados se verifican mediante:
   • Diagonalización Exacta (ED): En sistemas pequeños ($N=8$) para mapear el diagrama de fases e identificar los estados de Fock dominantes.
   • Grupo de Disolución de la Matriz de Densidad (DMRG): En sistemas grandes ($N=90$ a $N=400$) para confirmar la estabilidad de las fases y el comportamiento de los OPs, la entropía de entrelazamiento y la fidelidad en el límite termodinámico.

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo revela un rico diagrama de fases que contiene diez fases distintas, incluyendo cinco fases topológicas, cinco fases de onda de densidad de carga (CDW) y dos fases novedosas de tipo superconductor (SC-like).

1. Parámetros de Orden Refinados para Fases Topológicas:
   Los autores demuestran que, en el régimen interactuante, el estado fundamental no favorece estrictamente los hoppings unidireccionales. Derivan OPs refinados ($O'_{Wm}$) que incluyen superposiciones de todas las combinaciones de direcciones de hopping. Estos OPs capturan con éxito las fases topológicas ($W_0, W_1, W_2, W_{-1}$) y muestran que las interacciones pueden mejorar o preservar las características topológicas en lugar de simplemente destruirlas.

2. Identificación de Nuevas Fases CDW:
   Se identifican cinco fases CDW distintas:

   • CDW-1A: Una fase aislante de Mott topológicamente trivial (periodo 1).
   • CDW-2A y CDW-2B: Fases con periodo 2, derivadas de fuertes interacciones repulsivas.
   • CDW-4A y CDW-4B: Fases novedosas con periodo 4. Estas son consecuencias directas de la interacción entre las interacciones desbalanceadas ($U \neq V$) y los hoppings de rango extendido ($t_c$ o $t_d$). No aparecen en el modelo SSH de interacción de vecino más cercano.

3. Descubrimiento de una Fase de Tipo Superconductor (SC-like):
   Se descubre una novedosa fase que exhibe orden de largo alcance cuasi-longitudinal en el régimen de interacciones atractivas y hoppings extendidos específicos.

   • Mecanismo: La fase se caracteriza por el apareamiento de fermiones sin espín a través de subredes, análogo a los pares de Cooper. Los estados de Fock dominantes involucran configuraciones donde pares de fermiones saltan entre sitios de una manera que preserva el número total de partículas pero exhibe correlaciones de apareamiento.
   • Parámetro de Orden: Se construye un OP de tipo SC ($C_{SC}$) basado en la correlación de los operadores de apareamiento $\Delta^\dagger_j = c^\dagger_{j+1,A}c^\dagger_{j,B}$.
   • Propiedades: Consistente con el teorema de Mermin-Wagner, la fase exhibe orden cuasi-largo de alcance con un decaimiento algebraico de las correlaciones, en lugar de un orden de largo alcance verdadero.

4. Diagrama de Fases y Efectos de Tamaño Finito:
   El estudio mapea el diagrama de fases del estado fundamental como una función de $U$ y $V$ para varios parámetros de hopping.

   • Fase de tipo W1: Se identifica una fase que se asemeja a la fase topológica $W_1$ pero con propiedades distintas (por ejemplo, degeneración del estado fundamental). Los autores señalan que esta fase sufre fuertes efectos de tamaño finito, donde la degeneración del estado fundamental y las fluctuaciones de fidelidad persisten e incluso se expanden a medida que aumenta el tamaño del sistema, lo que hace que la construcción de un OP perfecto sea un desafío.
   • Separación de Fases (PS): Se identifica una región de separación de fases donde los fermiones se agrupan en dominios de alta densidad.

Significancia
El artículo afirma contribuciones significativas a la comprensión de los sistemas topológicos interactuantes:

• Más allá de la Ruptura de Simetría: Proporciona un marco para caracterizar fases en sistemas topológicos interactuantes donde los parámetros de orden tradicionales de ruptura de simetría son insuficientes.
• Interacción entre Interacciones y Topología: Desafía la noción de que las interacciones siempre destruyen el orden topológico, mostrando que regímenes de interacción específicos pueden mejorar las características topológicas o estabilizar nuevas fases topológicas.
• Nueva Física de los Hoppings Extendidos: La identificación de las fases CDW-4A/4B y de tipo SC resalta que los hoppings de rango extendido, cuando se combinan con interacciones desbalanceadas, pueden generar fases cuánticas completamente nuevas que no están presentes en los modelos de vecino más cercano.
• Perspectiva Metodológica: El trabajo demuestra la utilidad y las limitaciones de la construcción de OPs a partir de estados de Fock dominantes. Si bien tiene éxito para la mayoría de las fases, expone una limitación al manejar fases con fuertes efectos de tamaño finito y degeneración del estado fundamental (como la fase de tipo $W_1$), donde el comportamiento de sistemas pequeños puede no converger cualitativamente al límite de sistemas grandes.

Los autores concluyen que sus OPs derivados proporcionan información física sobre las configuraciones del estado fundamental y ofrecen una perspectiva complementaria a los estudios existentes (como aquellos que utilizan parámetros de orden de cadena) para comprender el modelo ESSH interactuante.