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Cet article démontre la convergence des approximations hyperboliques vers des solutions régulières de diverses équations aux dérivées partielles d'ordre supérieur, telles que celles de KdV et de Kuramoto-Sivashinsky, en n'exigeant que des solutions faibles pour les approximations, tout en validant ces résultats par des simulations numériques.
Cet article présente un cadre de réduction de modèle basé sur la quadrature pour l'hydrodynamique lagrangienne, qui intègre une variante fortement conservatrice de l'procédure de quadrature empirique (EQP) permettant de préserver l'énergie totale à la précision machine tout en maintenant une haute précision numérique.
Cet article démontre que l'union de réseaux polynomiaux de Korobov décalés numériquement de manière aléatoire permet d'obtenir une discrépance en étoile dont l'inverse dépend linéairement de la dimension, réduisant ainsi la recherche de constructions explicites à un ensemble fini de candidats.
Cet article propose une méthode d'échantillonnage adaptatif pour les réseaux de neurones informés par la physique (PINNs), permettant d'ajuster dynamiquement l'entraînement selon des heuristiques spécifiques au problème afin de mieux résoudre les transitions de phase dans les équations d'Allen-Cahn sans rééchantillonnage postérieur.
Cet article propose une méthode d'évaluation fermée et numériquement stable des valeurs propres de matrices réelles diagonalisables $3 \times 3$ via quatre invariants, démontrant à la fois une précision accrue et une vitesse de calcul dix fois supérieure à la bibliothèque LAPACK pour des cas difficiles.
Cet article établit des bornes minimax précises pour l'apprentissage d'opérateurs entre espaces de Hilbert, démontrant que la complexité d'échantillonnage subit une malédiction fondamentale qui empêche toute décroissance algébrique du risque, même pour des opérateurs de régularité supérieure.
Cet article propose une méthode numérique novatrice, combinant une équation fonctionnelle pour la transformée de Laplace-Stieltjes et une méthode d'appariement de moments, pour calculer de manière stable et efficace la densité de la variable aléatoire limite des processus de Galton-Watson surcritiques.
Cet article présente une nouvelle méthode d'interpolation géométrique (Γ-SPIN) pour l'élasticité de Cosserat aux grandes déformations, qui préserve les contraintes physiques en interpolant les rotations sur des géodésiques et en projetant le champ résultant sur le groupe de Lie des rotations afin d'éviter le verrouillage et d'assurer la stabilité dans la limite des contraintes de couple.
Cet article présente et valide des méthodes de Galerkin discontinus préservant la structure pour les équations de Cahn-Hilliard-Navier-Stokes à mobilité dégénérée, démontrant leur stabilité, leur convergence optimale et leur efficacité computationnelle supérieure sur des maillages adaptatifs.
Cet article présente une méthode WENO multivariée non séparable et progressive, adaptée aux moyennes de cellules, qui améliore la reconstruction d'images numériques en assurant une haute précision et une stabilité aux discontinuités, surpassant ainsi les reconstructions linéaires de même ordre.
Cet article propose une méthode post-traitement par réentraînement de la dernière couche qui améliore considérablement la précision des réseaux de neurones informés par la physique (PINN) en réduisant les erreurs de quatre à cinq ordres de grandeur et en permettant le transfert d'apprentissage vers des problèmes complexes.
Cet article présente une méthode de réseaux de neurones informés par la physique (VPINN) discrétisée dans le temps pour résoudre des problèmes paraboliques, validée par la simulation réussie du processus de congélation d'extraits de café dans un cylindre industriel.
Cet article propose un schéma de type Euler-Maruyama tronqué explicite pour approximer les mesures de probabilité invariantes d'équations différentielles fonctionnelles stochastiques à retard infini et à dérive super-linéaire, en établissant la convergence forte du processus numérique ainsi que la convergence de sa mesure invariante numérique vers la mesure exacte dans la distance de Wasserstein.
Cet article propose une méthode d'entraînement multiniveau pour les réseaux Kolmogorov-Arnold (KAN) qui, en exploitant leur structure de base splines via une équivalence avec des MLPs, permet d'accélérer considérablement l'optimisation et d'améliorer la précision, en particulier pour les réseaux de neurones informés par la physique.
Cet article établit les propriétés de régularisation de la tomographie d'état quantique via la régularisation par l'entropie relative quantique, en démontrant la compacité semi-inférieure du fonctionnel de pénalité et en fournissant les outils d'optimisation convexe nécessaires pour résoudre numériquement ces problèmes inverses dans des espaces de haute dimension, comme l'illustrent les applications à la microscopie PINEM et à la tomographie homodyne optique.
Cet article démontre la convergence forte en de solutions approchées obtenues par un schéma de fractionnement temporel vers la solution globale de l'équation de Dirac non linéaire en dimension 1+1, en établissant des estimations de stabilité via un fonctionnel de type Glimm modifié et en prouvant la précompacité des solutions.
Cet article propose des lignes directrices pour dériver de nouvelles méthodes de Nitsche afin d'imposer des contraintes d'égalité et d'inégalité en mécanique des solides, en les formulant sous une forme de minimisation généralisée adaptée aux méthodes non linéaires et à l'automatisation du calcul, tout en validant ces approches par des preuves numériques de convergence.
Cet article établit des estimations d'erreur quantitatives reliant les fluctuations microscopiques de systèmes de particules interactives aux mobilités macroscopiques de leurs limites hydrodynamiques, en fournissant des bornes explicites pour des processus d'exclusion et des équations aux dérivées partielles stochastiques, y compris celles de type Dean-Kawasaki.
Cet article propose une méthode numérique spectrale efficace et précise, combinant une méthode de noyau tronqué anisotrope et un gradient conjugué préconditionné, pour calculer les états fondamentaux de condensats de Bose-Einstein dipolaires en rotation dans des pièges fortement anisotropes tridimensionnels.
Cet article établit des bornes d'erreur probables pour l'approximation de fonctions périodiques multivariées dans des espaces de Korobov pondérés en norme en utilisant un algorithme de réseau basé sur la médiane, démontrant que cette méthode atteint des taux quasi-optimaux indépendants de la dimension sous certaines conditions de sommabilité des poids.