Discovery of the Relativistic Schrödinger Equation

Cet article retrace la découverte par Erwin Schrödinger de l'équation d'onde relativiste pour une particule chargée de spin zéro dans un champ de Coulomb et explique les raisons pour lesquelles il ne l'a pas publiée.

L'essentiel

🌊 Le Secret de la "Fausse" Équation de Schrödinger

Imaginez que vous êtes un architecte génial nommé Erwin Schrödinger. En 1925, il reçoit une mission : construire la maison parfaite pour un électron (la brique de base de la matière) qui tourne autour d'un noyau, comme une planète autour du soleil.

Mais il y a un problème : les règles du jeu viennent de changer. On vient de découvrir que les particules ne sont pas juste des billes solides, mais qu'elles se comportent aussi comme des vagues. Schrödinger doit donc inventer une nouvelle équation mathématique pour décrire ces vagues.

1. Le Début de l'Histoire : Le Coup de Pouce de Debye

Tout commence dans un bureau à Zurich. Un collègue, Peter Debye, dit à Schrödinger : « Hé, tu parles de ces vagues de matière, mais tu n'as pas l'équation qui les régit ! Pour gérer les vagues, il faut une équation de vague, comme pour les vagues de l'océan ou du son. »

Schrödinger accepte le défi. Il se met au travail, emporté par l'enthousiasme.

2. La Première Tentative : Le "Super-Héros" Relativiste

Schrödinger veut faire les choses en grand. Il ne veut pas juste une équation pour des vagues lentes ; il veut une équation qui respecte la Relativité (la théorie d'Einstein qui dit que rien ne va plus vite que la lumière).

Il imagine donc une équation pour un électron "super-héros" qui se déplace très vite. C'est ce qu'on appelle aujourd'hui l'équation de Klein-Fock-Gordon (ou l'équation relativiste de Schrödinger pour une particule sans spin).

Le résultat ? Il trouve l'équation, il la résout, et il obtient une prédiction pour l'énergie de l'atome d'hydrogène.
Le problème ? Quand il compare sa prédiction avec la réalité (les expériences de l'époque), ça ne colle pas du tout. Sa prédiction est fausse. Elle est même deux fois plus grande que ce que l'on observe !

3. Le Mystère : Pourquoi n'a-t-il rien publié ?

C'est ici que l'histoire devient fascinante. La légende dit que Schrödinger a trouvé cette équation, s'est rendu compte qu'elle était fausse, et l'a donc jetée à la poubelle. Il a ensuite repris ses calculs, a simplifié les choses (en ignorant la relativité pour l'instant), et a publié l'équation "non-relativiste" que tout le monde connaît aujourd'hui (celle qu'on apprend à l'école).

Mais cet article nous dit quelque chose de plus subtil :
Il est probable que Schrödinger n'ait pas seulement "oublié" de publier l'équation relativiste. Il est probable qu'il n'arrivait pas à la résoudre complètement à l'époque.

• L'analogie : Imaginez que Schrödinger a trouvé la recette d'un gâteau complexe (l'équation relativiste). Il a mélangé les ingrédients, mais quand il l'a mis au four, le gâteau a brûlé. Il a réalisé qu'il lui manquait un ingrédient secret qu'il ne connaissait pas encore : le Spin.

4. Le Secret Manquant : Le "Spin" (La Toupie)

À l'époque, personne ne savait que l'électron avait un spin (une sorte de rotation interne, comme une toupie).

• L'équation de Schrödinger (relativiste) traitait l'électron comme une bille sans rotation.
• La réalité : l'électron est une toupie qui tourne.
• Conséquence : Sans tenir compte de cette rotation, l'équation donnait un résultat faux.

Ce n'est que plus tard, avec Paul Dirac (en 1928), que l'on a compris qu'il fallait ajouter ce "spin" pour que l'équation relativiste fonctionne parfaitement.

5. La Solution de Schrödinger : Le Gâteau Simple

Frustré par l'échec de son "gâteau complexe" (relativiste), Schrödinger a décidé de faire un "gâteau simple" (non-relativiste).

• Il a retiré les ingrédients trop compliqués (la relativité).
• Il a utilisé des mathématiques plus simples (les polynômes de Laguerre, qui sont comme des motifs géométriques réguliers).
• Résultat : Le gâteau était parfait ! Il correspondait exactement aux observations expérimentales de l'atome d'hydrogène.

C'est ce "gâteau simple" qu'il a publié. Il a sauvé sa réputation et a lancé la révolution de la mécanique quantique, même si le "vrai" gâteau relativiste (avec le spin) n'était pas encore prêt.

6. La Leçon de l'Histoire

Cet article nous rappelle une chose importante : La science avance par essais et erreurs.

• Schrödinger a découvert l'équation "relativiste" pour une particule sans spin (ce qui est mathématiquement correct, mais physiquement incomplet pour un électron).
• Il a échoué parce qu'il lui manquait une pièce du puzzle (le spin).
• Il a préféré publier la version qui marchait (non-relativiste) plutôt que de publier une théorie incomplète qui contredisait la réalité.

En résumé :
Schrödinger était comme un explorateur qui a trouvé une carte vers un trésor (l'équation relativiste), mais qui s'est rendu compte que le chemin était bloqué par un mur invisible (le spin). Au lieu de s'obstiner à traverser le mur, il a trouvé un autre chemin, plus simple, qui menait aussi au trésor (l'équation non-relativiste). Ce n'est que des années plus tard que l'on a compris comment traverser le mur.

C'est une histoire magnifique sur l'intuition, l'échec, et la décision courageuse de publier ce qui fonctionne, même si ce n'est pas la vérité ultime. Comme le disait Heinrich Hertz (cité au début) : "Les formules mathématiques ont une intelligence propre, plus sage que nous." Schrödinger a écouté cette sagesse, même quand elle lui disait de faire demi-tour.

Résumé technique

Voici un résumé technique détaillé de l'article « Discovery of the Relativistic Schrödinger Equation » de Kamal Barley, José Vega-Guzmán, Andreas Ruffing et Sergei K. Suslov.

1. Problématique et Contexte Historique

L'article revisite la découverte historique de l'équation d'onde par Erwin Schrödinger en 1925-1926. La narration traditionnelle suggère que Schrödinger a immédiatement dérivé l'équation non relativiste pour l'atome d'hydrogène après une remarque de Peter Debye. Cependant, les auteurs soutiennent que cette version est incomplète.

Le problème central abordé est le suivant : Schrödinger a-t-il découvert et résolu l'équation d'onde relativiste pour une particule chargée de spin zéro dans un champ de Coulomb, et si oui, pourquoi ne l'a-t-il pas publiée ?

Les auteurs postulent que Schrödinger a effectivement dérivé cette équation relativiste (qui correspond aujourd'hui à l'équation de Klein-Fock-Gordon) et a tenté de l'appliquer à l'atome d'hydrogène. Il a alors constaté une divergence entre les prédictions de sa théorie relativiste (pour un spin nul) et les données expérimentales de la structure fine, ce qui l'a conduit à abandonner cette voie pour publier l'approximation non relativiste, plus conforme aux observations de l'époque.

2. Méthodologie

Les auteurs utilisent une approche mathématique rigoureuse pour reconstruire la solution que Schrödinger aurait dû obtenir à l'époque, en employant des techniques modernes de résolution d'équations différentielles :

• Dérivation de l'équation : Ils partent de la relation d'énergie relativiste classique $(E-e\phi)^2 = (cp-eA)^2 + m^2c^4$ et appliquent la quantification canonique ($E \to i\hbar\partial_t$, $p \to -i\hbar\nabla$) pour obtenir l'équation d'onde relativiste pour une particule de spin zéro.
• Séparation des variables : L'équation est séparée en coordonnées sphériques pour le potentiel de Coulomb ($A=0$, $\phi = -Ze^2/r$), conduisant à une équation radiale.
• Technique de Nikiforov-Uvarov : Pour résoudre l'équation radiale obtenue, les auteurs utilisent la méthode de Nikiforov-Uvarov. Cette méthode permet de transformer les équations différentielles d'ordre deux de type hypergéométrique généralisé en équations standard, facilitant l'identification des polynômes orthogonaux (ici, les polynômes de Laguerre) et des règles de quantification.
• Approximation WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) : Ils utilisent également l'approximation semi-classique pour vérifier les règles de quantification de Bohr-Sommerfeld et montrer comment elles mènent aux mêmes résultats que la solution exacte dans ce contexte spécifique.
• Analyse asymptotique : Une analyse des limites non relativistes ($c \to \infty$) est effectuée pour comparer les résultats de l'équation de Schrödinger relativiste avec ceux de l'équation de Dirac et les données expérimentales.

3. Contributions Clés

• Reconstruction mathématique complète : L'article fournit une dérivation complète et moderne de la solution exacte de l'équation de Schrödinger relativiste pour une particule de spin zéro dans un champ de Coulomb, incluant les fonctions d'onde normalisées et les niveaux d'énergie.
• Démonstration de l'échec théorique de 1925 : Les auteurs montrent explicitement que la formule de structure fine obtenue par cette équation relativiste (spin 0) est incorrecte par rapport à l'expérience.
  • La formule obtenue est : $E = \frac{mc^2}{\sqrt{1 + \left(\frac{\mu}{n_r + \nu + 1}\right)^2}}$ avec $\nu = -\frac{1}{2} + \sqrt{(l+\frac{1}{2})^2 - \mu^2}$.
  • En développant cette expression, le terme de correction de structure fine diffère d'un facteur significatif (8/3 pour $n=2$) par rapport à la formule de Sommerfeld (qui correspondait à l'expérience) et à la formule de Dirac (qui inclut le spin).
• Explication de la non-publication : L'article confirme l'hypothèse selon laquelle Schrödinger a abandonné l'équation relativiste non pas parce qu'il ne savait pas la résoudre, mais parce que ses prédictions contredisaient les données expérimentales sur la structure fine de l'hydrogène et de l'hélium ionisé. Il a donc opté pour l'approximation non relativiste, qui fonctionnait parfaitement pour les niveaux d'énergie principaux.
• Clarification historique via correspondance : L'article inclut et analyse une lettre de Schrödinger à Hermann Weyl (1931) où Schrödinger exprime son mécontentement concernant l'attribution de l'équation relativiste scalaire à de Broglie, affirmant qu'il l'avait lui-même décrite (bien que verbalement) dans son premier article.

4. Résultats Principaux

• Solution Exacte : Les auteurs obtiennent les niveaux d'énergie exacts pour une particule de spin zéro dans un champ de Coulomb relativiste.
• Comparaison des Structures Fines :
  • Schrödinger Relativiste (Spin 0) : Prédit une séparation des niveaux de structure fine qui est trop grande par rapport à l'expérience (facteur 8/3 pour $n=2$).
  • Dirac (Spin 1/2) : Prédit la bonne structure fine car il inclut le moment angulaire total $j$ et le spin de l'électron ($\nu_{Dirac} = \sqrt{(j+1/2)^2 - \mu^2}$).
  • Conclusion : La divergence entre la théorie de Schrödinger (spin 0) et l'expérience s'explique par l'absence du concept de spin électronique, qui n'était pas encore intégré à la mécanique quantique en 1925 (introduit par Uhlenbeck et Goudsmit fin 1925).
• Limite Non Relativiste : La démonstration montre que l'équation relativiste se réduit correctement à l'équation de Schrödinger non relativiste et aux fonctions d'onde habituelles (polynômes de Laguerre) lorsque $c \to \infty$.

5. Signification et Impact

• Révision de l'histoire de la physique : L'article corrige la vision simplifiée selon laquelle Schrödinger a "échoué" avec l'équation relativiste. Au contraire, il a réussi à la résoudre mathématiquement, mais la physique de l'époque (l'absence de spin) rendait le résultat physiquement inacceptable.
• Compréhension de la découverte : Cela met en lumière la complexité de la découverte de la mécanique quantique : la bonne équation mathématique ne garantit pas une théorie physique correcte si les degrés de liberté fondamentaux (comme le spin) sont ignorés.
• Valeur pédagogique : En utilisant la méthode de Nikiforov-Uvarov, l'article offre une voie claire et moderne pour enseigner la résolution de l'équation de Klein-Gordon/Schrödinger relativiste, reliant les méthodes classiques aux techniques modernes de fonctions spéciales.
• Héritage : L'article souligne que la version non relativiste publiée par Schrödinger, bien qu'une approximation, a été le catalyseur de la révolution quantique, tandis que la version relativiste complète pour les fermions (spin 1/2) a dû attendre l'équation de Dirac en 1928.

En résumé, ce papier démontre que Schrödinger a découvert l'équation relativiste pour le spin zéro, l'a résolue, et l'a rejetée pour des raisons physiques (inadéquation avec l'expérience due à l'absence de spin), un fait qui a été largement occulté par l'histoire traditionnelle de la mécanique quantique.