Midy's Theorem in non-integer bases and divisibility of Fibonacci numbers

Cet article généralise le théorème de Midy aux systèmes de numération à base réelle non entière, en établissant une condition nécessaire pour sa validité et en caractérisant les dénominateurs premiers satisfaisant cette propriété pour la base $\beta = \frac{1}{2}(1+\sqrt{5})$.

L'essentiel

🌟 Le Secret des Nombres : Midy et la Base d'Or

Imaginez que vous jouez avec des fractions (comme 1/3, 1/7, 3/7) dans notre système habituel, la base 10 (celle que nous utilisons tous les jours avec les chiffres 0 à 9).

1. Le Magicien Midy et son Tour de Carte

Il y a un vieux tour de magie mathématique appelé le Théorème de Midy.
Prenez la fraction 3/7. Si vous l'écrivez en décimal, vous obtenez une suite infinie qui se répète :
0,428571 428571 428571...

Le tour de Midy est le suivant : si vous coupez cette suite répétitive en deux moitiés égales, vous obtenez deux nombres :

• Première moitié : 428
• Deuxième moitié : 571

Si vous les additionnez : 428 + 571 = 999.
C'est magique ! Le résultat est composé uniquement de chiffres 9. C'est comme si les deux moitiés de la fraction s'embrassaient pour former un "tout parfait" (999).

Ce phénomène fonctionne aussi pour d'autres fractions (comme 18/19) et d'autres bases (comme la base 12), tant que le dénominateur est un nombre premier.

2. Le Voyage vers un Monde Étranger : La Base "Or"

Jusqu'à présent, les mathématiciens ont surtout étudié ce phénomène avec des bases entières (10, 12, 16...). Mais dans cet article, les auteurs (Zuzana et Edita) se demandent : "Et si on utilisait une base qui n'est pas un nombre entier ?"

Ils choisissent le champion des nombres irrationnels : le Nombre d'Or (noté τ ou tau), qui vaut environ 1,618.

• L'analogie : Imaginez que dans notre monde, les maisons sont construites avec des briques entières. Dans le monde du Nombre d'Or, les briques sont un peu plus petites et plus étranges. On ne peut utiliser que les chiffres 0 et 1 pour écrire les nombres.
• C'est comme si on écrivait des nombres en utilisant uniquement des interrupteurs "Allumé" (1) et "Éteint" (0), mais avec une règle de placement très spéciale.

3. La Grande Question

Leur question est : Le tour de magie de Midy fonctionne-t-il aussi dans ce monde étrange du Nombre d'Or ?

Si je prends une fraction comme 3/7 et que je l'écris avec le Nombre d'Or, est-ce que si je coupe sa suite répétitive en deux, les deux moitiés s'additionnent pour donner un "nombre parfait" (l'équivalent de 999 dans ce monde) ?

La réponse est OUI !
Pour 3/7 en base d'Or :

• Première moitié : 01000010
• Deuxième moitié : 01010010
• Si on les additionne (selon les règles de l'arithmétique du Nombre d'Or), on obtient un résultat qui ressemble à 10101010. C'est l'équivalent parfait de "999" dans ce système.

4. Le Détective et les Nombres de Fibonacci

Comment ont-ils trouvé la règle pour savoir quelles fractions fonctionnent ? Ils ont utilisé un outil très célèbre : les Nombres de Fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...).

• L'analogie : Imaginez que les nombres de Fibonacci sont comme une clé universelle. Les auteurs ont découvert que pour savoir si une fraction (avec un dénominateur premier) va réussir le tour de Midy en base d'Or, il faut regarder comment ce dénominateur se comporte avec la "serrure" des nombres de Fibonacci.

Ils ont établi deux règles principales :

1. Les gagnants : Si le nombre premier est de la forme 5 ou s'il laisse un reste de 2 ou 3 quand on le divise par 5 (par exemple 2, 3, 7, 12, 17...), alors le tour de Midy fonctionne toujours.
2. Les perdants (ou les incertains) : Si le nombre premier laisse un reste de 1 ou 4 quand on le divise par 5 (par exemple 11, 19, 29...), c'est plus compliqué. Parfois ça marche, parfois non. Il faut faire un calcul plus précis (comme vérifier si une certaine matrice mathématique devient négative).

5. Pourquoi est-ce important ?

Ce papier est important car il montre que la beauté des mathématiques ne s'arrête pas aux nombres entiers classiques.

• C'est comme découvrir que la musique classique (base 10) a un jumeau caché dans le jazz (base d'Or) qui suit les mêmes règles d'harmonie, mais avec des notes différentes.
• Cela aide à comprendre comment les nombres se comportent dans des systèmes très différents, ce qui pourrait avoir des applications futures en cryptographie ou en informatique (même si pour l'instant, c'est surtout pour le plaisir de la découverte).

En résumé

Les auteurs ont prouvé que le "Tour de Magie de Midy" (où deux moitiés de nombres s'additionnent pour faire un tout parfait) fonctionne non seulement dans notre monde habituel, mais aussi dans le monde fascinant du Nombre d'Or. Ils ont utilisé les Nombres de Fibonacci comme boussole pour prédire exactement quelles fractions vont réussir ce tour de magie. C'est une preuve que les mathématiques sont pleines de motifs cachés, même là où l'on s'y attend le moins !

Résumé technique

Voici un résumé technique détaillé de l'article « Midy's Theorem in non-integer bases and divisibility of Fibonacci numbers » de Zuzana Mas´akov´a et Edita Pelantov´a, rédigé en français.

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à la généralisation du théorème de Midy, un résultat classique de la théorie des nombres concernant les développements décimaux des fractions.

• Théorème de Midy (classique) : Pour une fraction $p/q$ (avec $q$ premier) dont le développement décimal a une période de longueur paire $2n$, la somme des deux moitiés de la période est égale à$10^n - 1$(une suite de$n$ chiffres 9).
• Objectif de l'article : Étendre ce phénomène aux systèmes de numération à base non entière (introduits par Rényi en 1957), et plus spécifiquement à la base du nombre d'or $\tau = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
• Question centrale : Sous quelles conditions une fraction $p/q$ possède-t-elle une expansion $\beta$-adique purement périodique de longueur paire $2n$telle que la somme des deux moitiés de la période (interprétées comme des entiers$\beta$) soit égale à$\beta^n - 1$ ?

2. Méthodologie

Les auteurs adoptent une approche combinant l'analyse des systèmes dynamiques, l'algèbre linéaire et la théorie des nombres (spécifiquement les propriétés de divisibilité des nombres de Fibonacci).

• Définition de la propriété de Midy : Pour une base réelle $\beta > 1$, un entier $q$ possède la propriété de Midy s'il existe un $p$ premier avec $q$ tel que l'expansion de $p/q$ soit purement périodique de longueur $2n$, et que la somme des deux moitiés de la période (considérées comme des$\beta$-entiers) soit égale à$\beta^n - 1$.
• Outils mathématiques :
  • Transformation $\beta$ : Utilisation de la transformation $T_\beta(x) = \beta x - \lfloor \beta x \rfloor$ pour générer les chiffres de l'expansion.
  • Matrices compagnons : Représentation de l'action de la transformation sur les fractions rationnelles via la matrice compagnon $C$ du polynôme minimal de $\beta$.
  • Condition nécessaire : Démonstration que si $q$ possède la propriété de Midy, alors il existe un entier $N$ tel que $C^N \equiv -I \pmod q$.
  • Cas du nombre d'or ($\tau$) : Exploitation du fait que les puissances de la matrice compagnon de $\tau$ sont liées aux nombres de Fibonacci ($F_n$). La condition $C^N \equiv -I \pmod q$ devient une condition sur la divisibilité des nombres de Fibonacci par $q$.
  • Théorie des corps finis : Analyse des valeurs propres de la matrice $C$ dans $\mathbb{Z}_q$ et utilisation du symbole de Legendre et de la loi de réciprocité quadratique pour caractériser les nombres premiers $q$.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

A. Condition Nécessaire (Théorème 3.2)

Pour une base algébrique $\beta > 1$ de degré $d$ et de matrice compagnon $C$, si un entier $q > 2$ possède la propriété de Midy, alors il existe un entier $N$ tel que :
$$C^N \equiv -I \pmod q$$
Cette condition implique que $\beta$ doit être un entier algébrique. De plus, si le degré de $\beta$ est impair et que sa norme est 1, aucun $q$ ne peut satisfaire la propriété de Midy (car $\det(-I) = -1$ alors que $\det(C^N) = 1$).

B. Condition Suffisante pour la Base Or ($\tau$) (Théorème 4.1)

Pour la base $\tau = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, la condition nécessaire devient suffisante. Si $C^N \equiv -I \pmod q$, alors toute fraction $p/q$ (avec $0 < p < q$) possède la propriété de Midy.

• Cela se traduit par des conditions sur les nombres de Fibonacci : $F_N \equiv 0 \pmod q$ et $F_{N-1} \equiv -1 \pmod q$.

C. Caractérisation des Dénominateurs Premiers (Section 5)

Les auteurs caractérisent complètement les nombres premiers $q$ possédant la propriété de Midy en base $\tau$ :

1. Cas $q = 5$ ou $q \equiv \pm 2 \pmod 5$ :

   • Ces nombres premiers possèdent toujours la propriété de Midy.
   • La preuve repose sur le fait que pour ces $q$, le rang d'apparition de $q$ dans la suite de Fibonacci divise $q+1$, ce qui permet de trouver un exposant $N$ tel que $C^N \equiv -I \pmod q$.

2. Cas $q \equiv \pm 1 \pmod 5$ :

   • La condition est plus subtile. Soit $q-1 = 2^k \ell$ avec $\ell$ impair.
   • $q$ possède la propriété de Midy si et seulement si la liste des matrices $C^{2\ell}, C^{4\ell}, \dots, C^{2^{k-1}\ell}$ contient la matrice $-I \pmod q$.
   • Cela dépend de la structure des racines du polynôme caractéristique dans le corps fini $\mathbb{Z}_q$.

D. Résultats Spécifiques et Contre-exemples

• Nombres de Fibonacci : Un nombre de Fibonacci $F_{2n-1}$ (pour $n \ge 3$) possède la propriété de Midy, tandis qu'un multiple de $F_{2n}$ ne l'a pas.
• Nombres de Mersenne :
  • Si $q = 2^s - 1$ est un nombre de Mersenne premier avec $s \equiv 3 \pmod 4$, alors $q$ possède la propriété.
  • Si $s \equiv 1 \pmod 4$, alors $q \equiv -1 \pmod{20}$ et $q$ ne possède pas la propriété.
• Nombres de Fermat : Tous les nombres de Fermat connus possèdent la propriété de Midy en base $\tau$.

4. Signification et Implications

• Extension du Théorème de Midy : L'article établit que le phénomène de Midy n'est pas une curiosité propre au système décimal (base 10), mais une propriété structurelle qui se manifeste dans les systèmes de numération à base non entière, en particulier ceux liés aux unités Pisot quadratiques.
• Lien entre Dynamique et Théorie des Nombres : L'étude crée un pont fort entre la dynamique symbolique (expansions $\beta$) et les propriétés arithmétiques profondes (divisibilité des suites de récurrence linéaire comme Fibonacci).
• Classification des Bases : L'article montre que la propriété de Midy est liée à la nature algébrique de la base (entier algébrique, norme, degré). Par exemple, il est démontré que la base Tribonacci (racine de $X^3 - X^2 - X - 1$) ne permet aucune fraction avec la propriété de Midy, car le degré est impair et la norme est 1.
• Applications Potentielles : Bien que l'article souligne l'aspect théorique et "amusant" du résultat (comme le note l'introduction), il ouvre la voie à l'étude des propriétés de périodicité dans des systèmes de numération exotiques, avec des implications potentielles en cryptographie ou en théorie de l'information (codage dans des bases non entières).

En résumé, Mas´akov´a et Pelantov´a réussissent à généraliser un théorème classique du XIXe siècle au cadre des bases non entières, fournissant une caractérisation complète et élégante pour la base du nombre d'or, reliant ainsi la périodicité des fractions aux propriétés de divisibilité des nombres de Fibonacci.