Solution to the Equity Premium Puzzle with Time-Varying Variables

Cet article propose une solution au paradoxe de la prime de risque en développant un modèle dérivé du CAPM basé sur la consommation, qui, en supposant des facteurs d'actualisation temporelle entre 0,97 et 0,99, aboutit à un coefficient d'aversion au risque relative d'environ 4,40 compatible avec la littérature empirique et valide la robustesse du modèle.

L'essentiel

Voici une explication simple et imagée de ce papier de recherche, conçue pour être comprise par tout le monde, même sans être économiste.

🌟 Le Grand Mystère : Pourquoi les actions rapportent-elles autant ?

Imaginez que vous avez deux choix pour placer votre argent :

1. Le compte épargne (l'actif sans risque) : C'est comme mettre votre argent dans un coffre-fort indestructible. Le rendement est faible, mais vous êtes sûr de ne rien perdre.
2. Les actions (l'actif risqué) : C'est comme planter des graines dans un champ où il peut y avoir des tempêtes. Parfois, vous récoltez une montagne de blé, parfois la tempête emporte tout.

Le problème (le "Puzzle") :
Historiquement, les actions ont rapporté beaucoup plus d'argent que le compte épargne. Selon les théories économiques classiques, pour accepter ce risque énorme, les gens devraient être des "lâches" financiers, c'est-à-dire avoir une peur panique de perdre un centime (une aversion au risque extrême).

Mais en réalité, les gens ne sont pas si peureux que ça ! Ils sont normaux. Alors, pourquoi acceptent-ils de prendre ce risque pour un gain si élevé ? C'est ce qu'on appelle le Puzzle de la Prime d'Action. Pendant des décennies, les mathématiciens n'arrivaient pas à expliquer ce phénomène avec leurs formules habituelles.

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🕵️‍♂️ La Solution d'Atilla Arasa : Le "Facteur de Suffisance"

L'auteur, Atilla Arasa, propose une nouvelle clé pour ouvrir ce coffre-fort mystérieux. Il dit : "Attendez, nos formules sont trop rigides. La réalité change tout le temps."

1. L'analogie du Météo-Prévision

Dans les vieux modèles, on supposait que le rapport entre le prix d'une action et ses dividendes (les "fruits" qu'elle produit) était constant, comme si le temps restait toujours le même, sans pluie ni soleil.

Arasa dit : "Non, le temps change !".
Il introduit une variable qu'il appelle le Facteur de Suffisance (SFOM).

• Imaginez le SFOM comme un "parapluie mental" ou un "coefficient de confiance".
• Quand les investisseurs regardent l'avenir incertain, ils ne se contentent pas de faire des calculs froids. Ils ajustent leur "utilité" (leur bonheur futur) selon leur humeur, leurs doutes ou leurs espoirs.
• Si le SFOM est élevé, l'investisseur se dit : "Même si c'est risqué, je suis assez confiant pour accepter ce risque."
• Si le SFOM est bas, il se dit : "Je suis inquiet, je veux une prime énorme pour prendre ce risque."

2. La Nouvelle Formule : Le Moteur à Variables Variables

Au lieu d'utiliser une seule formule fixe pour toutes les années, Arasa utilise un modèle où les variables bougent (comme le temps qu'il fait).

• Il prend les données historiques (de 1889 à 1978).
• Il laisse le "Facteur de Suffisance" varier d'année en année.
• Il demande à son ordinateur : "Si on laisse ce facteur bouger, quelle est la peur réelle des gens ?"

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📊 Les Résultats : Ce que ça nous apprend

Quand Arasa a fait tourner ses calculs avec ce nouveau modèle flexible, la magie a opéré :

1. La peur est normale : Les modèles anciens disaient que les gens devaient être terrifiés (coefficient de risque > 10) pour expliquer les gains. Le nouveau modèle dit : "Non, les gens ont un coefficient de peur d'environ 4,4." C'est beaucoup plus réaliste et compatible avec ce qu'on observe dans la vraie vie.
2. Le paradoxe résolu : Avec ce chiffre de 4,4, tout s'aligne. On n'a plus besoin de supposer que les humains sont des lâches irrationnels. Le puzzle est résolu simplement en admettant que les investisseurs ajustent leur "parapluie mental" (le SFOM) selon les circonstances.
3. Le comportement de 1977 : En regardant l'année 1977, l'auteur découvre que les investisseurs n'étaient ni totalement peureux, ni totalement téméraires. Ils étaient "insuffisamment amateurs de risque". C'est un terme technique pour dire qu'ils avaient un comportement prudent mais raisonnable, ce qui valide encore plus la théorie.

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🎨 En résumé : L'analogie du Chef Cuisinier

Imaginez que les économistes étaient des chefs cuisiniers qui essayaient de reproduire le goût d'un plat célèbre (le marché boursier).

• Les anciens modèles utilisaient toujours la même quantité de sel (le risque constant) et la même température (le temps constant). Le plat ne goûtait jamais la réalité.
• Atilla Arasa est arrivé avec une nouvelle recette. Il a dit : "Le sel doit varier selon l'humeur du client, et la température doit changer selon la saison."
• En ajoutant cette variabilité (le Facteur de Suffisance), le plat a enfin le goût exact de la réalité.

💡 Conclusion pour vous et moi

Ce papier nous dit que pour comprendre pourquoi l'argent circule et pourquoi les actions rapportent plus que les comptes d'épargne, il faut arrêter de voir le monde comme une machine rigide. Il faut accepter que les investisseurs sont des êtres humains qui adaptent leur niveau de confiance et de peur en temps réel.

Grâce à ce modèle, nous avons enfin une explication mathématique qui colle à la réalité humaine, sans avoir besoin de supposer que nous sommes tous des poltrons ou des héros. C'est une étape de plus vers une économie qui ressemble vraiment à notre monde.

Résumé technique

Voici un résumé technique détaillé de l'article « Solution to the Equity Premium Puzzle with Time-Varying Variables » d'Atilla Arasa, présenté en français.

1. Problématique : Le Puzzle de la Prime de Risque

L'article s'attaque au célèbre « puzzle de la prime de risque » (Equity Premium Puzzle), identifié par Mehra et Prescott (1985). Ce phénomène décrit l'incapacité des modèles standards de l'Évaluation des Actifs par le Capital de Consommation (CCAPM) à expliquer l'écart historique élevé entre les rendements des actions et ceux des actifs sans risque, sans recourir à des paramètres économiquement irréalistes (notamment un coefficient d'aversion au risque relative - CRRA - excessivement élevé, souvent supérieur à 10).

Les modèles antérieurs, y compris ceux de Mehra (2003), reposaient souvent sur l'hypothèse d'un ratio prix-dividende constant, ce qui éloigne le modèle de la réalité économique. L'objectif de cette étude est de résoudre ce puzzle en introduisant des variables temporelles, spécifiquement un ratio prix-dividende variable dans le temps, tout en intégrant un nouveau concept théorique : le Facteur de Suffisance du Modèle (SFOM).

2. Méthodologie et Modèle Théorique

L'auteur propose une extension du CCAPM standard en y incorporant le Facteur de Suffisance du Modèle (SFOM) et en permettant la variation temporelle des ratios de prix.

• Le Facteur de Suffisance du Modèle (SFOM) :

  • C'est une variable latente (coefficient) qui ajuste l'utilité incertaine pour la rendre comparable à l'utilité certaine.
  • Il capture l'attitude des investisseurs face à l'incertitude future et à l'inadéquation des modèles de prévision.
  • Si SFOM > 1, l'investisseur attribue une utilité positive supplémentaire à la richesse incertaine (comportement de type « insuffisamment aversé au risque » ou « insuffisamment amoureux du risque »).
  • Si SFOM < 1, l'investisseur attribue une utilité négative supplémentaire (comportement d'aversion au risque classique).

• Hypothèses Clés :

  • Contrairement aux travaux précédents de l'auteur (Aras, 2022, 2024) qui supposaient un SFOM constant, cette étude suppose que le SFOM pour les investisseurs en actions est variable dans le temps.
  • Cette hypothèse implique que le ratio prix-dividende est également variable dans le temps, rendant le modèle plus proche de la réalité économique.
  • Le problème de l'agent typique est résolu par la programmation dynamique, transformant le problème intertemporel en un problème à deux périodes pour déterminer les attitudes face au risque.

• Équations du Modèle :
  Le modèle aboutit à un système d'équations (équations 2, 3 et 4 dans le texte) reliant :

  • Le taux de croissance de la consommation ($x$).
  • Le taux de croissance des dividendes ($z$) et le ratio prix-dividende ($v$).
  • Le facteur d'actualisation temporelle subjectif ($\beta$).
  • Le coefficient d'aversion au risque relative ($\tau$ ou CRRA).
  • Les facteurs de suffisance pour les actifs sans risque ($\eta_t$) et pour les actions ($\lambda_t$).

3. Données et Calibration

• Source des données : L'étude utilise les données historiques de Mehra et Prescott (1985) couvrant la période 1889-1978.
• Variables : Indices de prix S&P, dividendes réels, consommation par habitant (biens non durables et services), déflateur de la consommation et rendements des titres sans risque à court terme.
• Période d'analyse : Les calculs sont focalisés sur l'année 1977 (année de convergence selon l'auteur) pour déterminer les attitudes des investisseurs.
• Scénarios de test : Le modèle est testé avec trois valeurs différentes pour le facteur d'actualisation temporelle subjectif (STDF ou $\beta$) : 0,97 ; 0,98 et 0,99.

4. Résultats Principaux

Les résultats, calculés via MATLAB, démontrent la robustesse du modèle avec des variables temporelles :

• Valeur du CRRA :

  • Pour les trois valeurs de STDF testées, le coefficient d'aversion au risque relative (CRRA) est estimé autour de 4,40 (4,3962 à 4,3971).
  • Cette valeur est considérée comme empiriquement plausible et compatible avec la littérature existante (contrairement aux valeurs >10 requises par le CCAPM standard).
  • Le CRRA reste stable même lorsque le STDF varie, indiquant une faible sensibilité du coefficient aux variations du taux d'actualisation.

• Comportement des Investisseurs (SFOM) :

  • Investisseurs en actifs sans risque : Le SFOM est compris entre 1,06 et 1,09.
  • Investisseurs en actions : Le SFOM est compris entre 1,002 et 1,02.
  • Interprétation : Puisque SFOM > 1 pour les deux groupes, les investisseurs attribuent une utilité positive supplémentaire à la richesse incertaine. L'auteur qualifie ce comportement d'« insuffisamment amoureux du risque » (insufficient risk-loving), ce qui est interprété comme une forme de comportement d'aversion au risque compatible avec la théorie.

• Comparaison avec le modèle à variables constantes :

  • Dans les modèles précédents (variables constantes), le CRRA était d'environ 1,03-1,06.
  • Le passage à des variables temporelles élève le CRRA à ~4,40, tout en restant dans une fourchette réaliste, validant ainsi l'approche avec variables temporelles.

5. Contributions et Signification

• Résolution du Puzzle : L'article propose une solution au puzzle de la prime de risque en démontrant que le CCAPM peut fonctionner avec des paramètres réalistes (CRRA ~4,40) si l'on abandonne l'hypothèse de ratios constants et que l'on intègre le SFOM.
• Innovation Méthodologique : C'est le premier modèle à introduire le SFOM comme variable latente ajustant l'utilité incertaine et à le rendre variable dans le temps, permettant ainsi une modélisation plus fidèle de la réalité économique.
• Validité Théorique : La détermination des attitudes des investisseurs (insuffisamment amoureux du risque) pour l'année 1977 confirme la cohérence interne du modèle avec la théorie économique.
• Implications : Le modèle établit un lien plus solide entre les secteurs réel et financier. En s'approchant davantage de l'environnement économique réel grâce aux variables temporelles, ce modèle offre des perspectives plus fiables pour la prise de décision politique et la compréhension de la formation des prix des actifs.

En conclusion, l'auteur démontre que le Modèle du Facteur de Suffisance (SFOM), tant dans sa version à variables constantes que variables, résout le puzzle de la prime de risque, mais la version à variables temporelles offre une meilleure adéquation avec la réalité des marchés financiers.