End-pinching and inertial-capillary reopening in viscoplastic ligaments at low Ohnesorge number

Cette étude démontre que, contrairement aux fluides newtoniens où le pincement des extrémités domine à faible nombre d'Ohnesorge, les ligaments viscoplastiques peuvent éviter la rupture et se rouvrir via des mécanismes inertio-capillaires purs ou induits par la viscosité dépendante du taux de cisaillement.

L'essentiel

Imaginez un long fil de miel ou de peinture qui flotte dans l'air. Si vous le laissez tranquille, la tension de surface (cette force invisible qui fait que l'eau forme des gouttes) va essayer de le raccourcir pour le transformer en une grosse goutte ronde. C'est ce qu'on appelle la "rétraction".

Pour les liquides simples comme l'eau, on sait exactement ce qui se passe : le fil s'amincit à une extrémité, forme une sorte de petit ballon, puis se pince et se casse, laissant tomber une goutte. C'est ce qu'on appelle le "pincement de l'extrémité".

Mais que se passe-t-il si le liquide est plus bizarre ? Si c'est une peinture épaisse, du dentifrice ou une gelée qui ne coule que si on la force ? C'est là que cette étude entre en jeu. Les chercheurs ont simulé ce qui arrive à ces liquides "capricieux" (appelés fluides viscoplastiques) et ont découvert des surprises étonnantes.

Voici l'explication simple de leurs découvertes :

1. Le problème du "fil qui refuse de se casser"

Habituellement, on pense que si un liquide est très visqueux (épais), il va juste se rétracter lentement. Mais si le liquide a une "mémoire" (il faut une certaine force pour le faire bouger, comme le beurre froid), les choses deviennent compliquées.

Les chercheurs ont découvert que, selon la "recette" du liquide, le fil peut faire trois choses différentes au lieu de simplement se casser :

• Il se casse (comme d'habitude).
• Il s'arrête net (il devient trop dur pour bouger).
• Il se "recolle" tout seul ! (C'est la grande surprise).

2. La magie de la "Recolle" (Reopening)

C'est le résultat le plus fascinant. Parfois, au lieu de se pincer et de se casser, le fil s'amincit, puis soudain, il s'élargit à nouveau et le fil redevient entier.

L'analogie du ressort :
Imaginez que vous tirez sur un élastique très fin. D'habitude, il casse. Mais ici, imaginez que l'élastique, au moment où il est le plus fin, devient soudainement très dur et rigide (à cause de la vitesse à laquelle il s'étire). Cette rigidité crée une pression qui repousse le liquide vers l'extérieur, comme un ressort qui se détend. Au lieu de casser, le fil se "recolle" et le trou se referme.

Les chercheurs ont trouvé deux façons dont cela arrive :

• Le cas "Épaississant" (Shear-thickening) : C'est comme si le liquide devenait du béton quand on le secoue vite. Au moment où le fil s'amincit, il devient si épais localement qu'il crée des tourbillons qui poussent le liquide vers l'arrière, refermant le trou.
• Le cas "Fluidifiant" (Shear-thinning) : C'est le plus surprenant. Même si le liquide devient très fluide (comme de l'eau) quand on le secoue, il peut quand même se recoller. Pourquoi ? Parce que la forme courbée du fil crée une pression qui pousse le liquide à rebondir. C'est comme si la courbure du fil agissait comme un arc qui se détend, repoussant le liquide vers le centre.

3. La leçon sur les liquides "parfaits"

Avant cette étude, les scientifiques pensaient que si un liquide était très fluide (comme l'eau pure), il se pincerait toujours et se casserait inévitablement. Ils pensaient que la "casse" était la fin inévitable.

Cette étude dit : "Non !".
Même si le liquide est presque sans friction (comme l'eau pure), il existe un mécanisme purement physique (lié à l'inertie et à la courbure) qui peut le faire se recoller. C'est comme si la nature trouvait toujours une échappatoire pour éviter la rupture, même dans les conditions les plus extrêmes.

4. Quand tout s'arrête

D'un autre côté, si le liquide est trop "têtu" (trop de résistance à bouger, comme une gelée très ferme), la tension de surface n'est pas assez forte pour le faire bouger. Le fil reste figé dans les airs, comme une statue de glace, sans jamais se recroqueviller ni se casser.

En résumé

Cette recherche nous apprend que la façon dont un liquide se comporte dépend énormément de sa "personnalité" :

• Est-il épais quand on le presse ? (Il peut se recoller grâce à la viscosité).
• Est-il fluide quand on le presse ? (Il peut se recoller grâce à la pression de la courbure).
• Est-il trop dur ? (Il reste figé).

C'est une découverte importante pour l'impression 3D, l'agriculture (pulvérisation de pesticides) ou l'impression de gouttes d'encre, car cela signifie que l'on peut contrôler si un fil de liquide va se casser ou se reformer en jouant sur la "recette" du liquide, plutôt que de subir la casse inévitable.

Résumé technique

1. Problématique et Contexte

La rétraction capillaire des ligaments liquides est un phénomène fondamental dans les écoulements à surface libre, crucial pour des applications industrielles telles que l'impression jet d'encre, le revêtement par pulvérisation et la fabrication de catalyseurs.

• État de l'art : Pour les fluides newtoniens, la dynamique est bien comprise. À faible viscosité (faible nombre d'Ohnesorge, $Oh$), le mécanisme dominant est le pincement d'extrémité (end-pinching), où une goutte se détache de l'extrémité du ligament rétracté. Des études antérieures suggéraient que ce pincement était le résultat asymptotique inévitable lorsque $Oh \to 0$.
• Lacune de recherche : Les effets des fluides viscoplastiques (possédant une contrainte seuil et une viscosité dépendante du taux de cisaillement) restent mal explorés. La plupart des études précédentes se sont concentrées sur des modèles simples (Bingham) ou des effets de surface (tensioactifs), négligeant souvent la complexité rhéologique des fluides réels comme les gels de Carbopol, mais sans isoler les effets purement viscoplastiques.
• Objectif : Cette étude examine la rétraction de ligaments en fluide de Herschel-Bulkley, qui intègre à la fois une contrainte seuil ($\tau_y$) et une viscosité dépendante du taux de cisaillement (comportement de type loi de puissance, $n \neq 1$). L'objectif est de comprendre comment ces propriétés modifient les voies de rupture ou de réouverture du ligament, en particulier dans le régime à faible viscosité.

2. Méthodologie

Les auteurs ont utilisé des simulations numériques directes (DNS) entièrement résolues pour modéliser l'écoulement.

• Modèle physique : Le fluide est décrit par la loi constitutive de Herschel-Bulkley. Contrairement au modèle de Bingham (viscosité constante après l'écoulement), ce modèle introduit une viscosité effective spatialement variable et dépendante du taux de cisaillement.
  • Paramètres clés : Le nombre plastocapillaire $J$ (rapport contrainte seuil / tension superficielle) et l'indice de comportement d'écoulement $n$ (déterminant le cisaillement amincissant $n<1$ ou épaississant $n>1$).
  • Le nombre d'Ohnesorge global $Oh_K$ est fixé à $10^{-3}$ pour la majorité des études, mais des simulations sont étendues jusqu'à $Oh_K \to 0$.
• Outils numériques :
  • Résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles à deux phases via le solveur open-source Basilisk.
  • Utilisation d'une formulation "one-fluid" avec une méthode Volume-of-Fluid (VOF) pour capturer l'interface.
  • Maillage adaptatif (AMR) basé sur l'erreur de discrétisation estimée par ondelettes, atteignant jusqu'à 13 niveaux de raffinement (environ 328 cellules sur le rayon du ligament) pour résoudre les singularités de courbure.
• Validation : Les résultats ont été validés contre des solutions analytiques (écoulement de Poiseuille plan) et des données expérimentales/numériques antérieures (Notz et Basaran) pour le cas newtonien.

3. Résultats Clés et Découvertes

L'étude a permis d'identifier quatre régimes dynamiques distincts dans le plan $(n, J)$, réorganisant les voies de rupture ou de survie du ligament :

A. Régime de Pincement d'Extrémité (End-Pinching)

Pour des fluides à cisaillement amincissant ou faiblement épaississant avec une contrainte seuil faible ($J \lesssim 0.045$), le mécanisme classique de pincement d'extrémité persiste. Le ligament forme un renflement à l'extrémité qui s'amincit jusqu'à la rupture. La dynamique suit la loi d'échelle inertielle-capillaire classique $r_{min} \sim (t_b - t)^{2/3}$.

B. Évasion du Pincement (Escape from End-Pinching)

L'article identifie deux mécanismes distincts permettant au ligament d'éviter la rupture, selon la rhéologie :

1. Fluides à cisaillement épaississant ($n > 1$) :

   • Mécanisme : L'augmentation de la viscosité apparente lors de l'amincissement du col génère une forte vorticité qui se détache de la courbure du col.
   • Résultat : Cette vorticité crée un écoulement de retour (backflow) qui repousse le fluide vers le col, provoquant une réouverture (reopening) avant la rupture. Ce mécanisme est dominé par la dynamique de la couche de cisaillement visqueuse.

2. Fluides à cisaillement amincissant fort ($n \lesssim 0.6$) et limite newtonienne ($Oh_K \to 0$) :

   • Découverte majeure : Contre-intuitivement, un cisaillement amincissant fort (et même la limite newtonienne à très faible viscosité) peut empêcher la rupture.
   • Mécanisme : Il ne s'agit pas de résistance visqueuse ou de vorticité, mais d'un mécanisme inertio-capillaire pur. Les gradients de pression induits par la courbure de l'interface deviennent non monotones. Une variation axiale de la courbure crée un gradient de pression capillaire ($-\partial_z p \approx -\sigma \partial_z \kappa$) qui s'oppose à l'accélération de collapse.
   • Conséquence : Le col se réouvre au lieu de se rompre. Cela contredit l'hypothèse précédente selon laquelle le pincement est le seul résultat asymptotique pour $Oh_K \to 0$.

C. Régime "Sans Col" (No-Neck Regime)

Pour des valeurs intermédiaires de $J$ ($0.06 \lesssim J \lesssim 0.45$), aucune localisation du col ne se produit.

• Cause : La contrainte seuil empêche la formation de régions cisaillées localisées. Les régions non écoulées (unyielded) s'étendent sur toute la longueur du ligament, supprimant la localisation axiale nécessaire au pincement.
• Résultat : Le ligament se rétracte de manière lisse en une seule goutte sans rupture.

D. Régime Stationnaire (Motionless Regime)

Pour des contraintes seuil élevées ($J \gtrsim 0.45$), la force capillaire est insuffisante pour vaincre la contrainte seuil.

• Résultat : Le ligament reste figé (arresté). La condition d'arrêt est déterminée par un équilibre simple entre la pression capillaire maximale à l'extrémité et la contrainte seuil.

4. Contributions et Signification

• Révision de la limite inertielle : L'article démontre que le pincement d'extrémité n'est pas le résultat inévitable pour les fluides à très faible viscosité ($Oh_K \to 0$). Un mécanisme de réopening purement inertio-capillaire existe, gouverné par les gradients de pression de courbure, et persiste même dans la limite newtonienne.
• Rôle de la rhéologie non-newtonienne : L'étude met en évidence que la dépendance de la viscosité au taux de cisaillement (modèle Herschel-Bulkley) crée des comportements qualitatifs absents dans les modèles de Bingham (viscosité constante). En particulier, la capacité à échapper au pincement via des mécanismes de vorticité (épaississant) ou de pression (amincissant) est spécifique à cette rhéologie.
• Cartographie des régimes : La construction d'une carte de régimes complète en fonction de $n$ et $J$ fournit un cadre prédictif pour le comportement des ligaments viscoplastiques.
• Implications pratiques : Ces résultats sont cruciaux pour optimiser les procédés industriels (comme l'impression 3D ou l'injection d'encre) où le contrôle de la rupture ou de la formation de gouttes est essentiel. Ils suggèrent que la formulation de fluides avec des propriétés de cisaillement amincissant ou épaississant peut être utilisée stratégiquement pour éviter la rupture indésirable des ligaments.

En conclusion, ce travail établit un lien continu entre la dynamique des fluides fortement amincissants et la limite newtonienne, révélant que la réouverture est une voie alternative robuste au pincement, gouvernée par un équilibre subtil entre inertie et tension superficielle, et non par la viscosité.