Torsion points on $\rm{GL}_2$-type abelian varieties

S'inspirant d'un travail de Katz, cet article étudie la réciproque de l'injection des points de torsion rationnels dans la réduction modulo $p$ pour les variétés abéliennes de type $\rm{GL}_2$ et propose une liste conjecturale des ordres possibles de torsion pour les variétés modulaires sur $\mathbb{Q}$ de dimension inférieure ou égale à 5.

L'essentiel

Imaginez que vous êtes un détective mathématique. Votre mission ? Comprendre les « points de torsion » d'objets géométriques complexes appelés variétés abéliennes.

Pour rendre cela simple, comparons ces objets à des horloges magiques.

1. Le problème de l'horloge (La Torsion)

Une variété abélienne est comme une horloge très sophistiquée. Elle a des aiguilles qui tournent. Parfois, après un certain nombre de tours, les aiguilles reviennent exactement à leur point de départ (comme une horloge qui fait un tour complet en 12 heures).

• Les points de torsion, ce sont les moments précis où l'aiguille revient à zéro.
• Le groupe de torsion, c'est la liste de tous ces moments possibles (par exemple : toutes les 2 heures, toutes les 3 heures, etc.).
• Le but des mathématiciens est de savoir : « Combien de fois l'aiguille peut-elle revenir à zéro avant de se répéter ? » C'est ce qu'on appelle l'ordre du groupe de torsion.

2. La règle du « Regarder à travers le miroir » (Réduction modulo p)

En mathématiques, il est souvent difficile de voir l'intérieur de l'horloge directement. Alors, les chercheurs utilisent une astuce : ils regardent l'horloge à travers un miroir déformant (la réduction modulo un nombre premier $p$).

• Imaginez que vous regardez l'horloge à travers un verre teinté. Vous ne voyez pas les détails fins, mais vous voyez si l'aiguille s'arrête sur un chiffre précis.
• Une règle bien connue dit : « Si l'aiguille s'arrête souvent dans le miroir (pour beaucoup de miroirs différents), alors elle s'arrête aussi dans la réalité. »
• En d'autres termes : si l'horloge semble avoir beaucoup de points de retour dans ses versions « miroir », alors elle a probablement beaucoup de points de retour réels.

3. La question inversée (Le défi de Katz)

Le grand mathématicien Nicholas Katz s'est demandé : « Est-ce que l'inverse est vrai ? »

• La question : Si je regarde l'horloge dans tous les miroirs possibles et que je vois qu'elle s'arrête toujours (disons, toutes les 12 heures), est-ce que je peux être sûr qu'il existe une version de cette horloge (un peu différente, mais liée) qui a réellement un point de retour toutes les 12 heures ?
• Pour les horloges simples (les courbes elliptiques), la réponse est OUI.
• Pour des horloges plus complexes (dimensions supérieures), la réponse était souvent NON. Il y avait des cas où l'horloge semblait s'arrêter dans tous les miroirs, mais ne s'arrêtait jamais vraiment dans la réalité.

4. La découverte de Jessica et Nirvana

Dans cet article, les auteures se concentrent sur une famille spéciale d'horloges appelées variétés de type GL2. Ce sont des objets qui, bien que complexes, ont une structure interne très ordonnée (comme une horloge dont les engrenages suivent une règle mathématique précise).

Leur grande découverte :
Elles ont prouvé que pour cette famille spéciale d'horloges, la réponse à la question de Katz est OUI, peu importe la taille de l'horloge (sa dimension).

• L'analogie : Elles ont montré que si vous regardez ces horloges spéciales à travers une infinité de miroirs et que vous voyez un motif régulier, alors ce motif est réel. Il existe bien une horloge liée qui possède ce point de retour exact.

5. La chasse aux nombres (Les conjectures)

Une fois cette règle de confiance établie, les auteures ont utilisé un ordinateur puissant (le système Magma) pour tester des milliers d'horloges différentes.

• Elles ont cherché à faire une liste de tous les nombres possibles pour lesquels une horloge de ce type pourrait s'arrêter.
• C'est comme si elles avaient créé un catalogue : « Pour une horloge de taille 2, les arrêts possibles sont 1, 2, 3... jusqu'à 56. Pour une taille 3, c'est différent... »
• Elles ont même trouvé des cas où l'horloge s'arrête toutes les 28 heures (un nombre qui n'avait jamais été vu dans les bases de données précédentes pour certaines tailles d'horloges).

En résumé

Ce papier est une avancée majeure car il :

1. Valide une intuition : Pour une classe importante d'objets mathématiques, ce qu'on voit dans les « miroirs » (les réductions) reflète fidèlement la réalité.
2. Fournit une carte au trésor : Il donne une liste de nombres probables pour les points de torsion, ce qui aide les autres mathématiciens à ne pas chercher des aiguilles dans des bottes de foin.
3. Utilise la puissance de l'ordinateur : En combinant la théorie pure (les preuves) avec le calcul intensif, elles ont pu explorer des territoires inconnus et proposer de nouvelles règles pour le monde des nombres.

C'est un peu comme si elles avaient découvert que, pour une certaine famille de machines à café complexes, si le café coule bien dans toutes les tasses de test, alors la machine est garantie de bien fonctionner dans la vraie vie, et elles ont même dressé la liste de toutes les tailles de tasses possibles !

Résumé technique

Voici un résumé technique détaillé de l'article "Torsion Points on GL2-Type Abelian Varieties" de Jessica Alessandri et Nirvana Coppola, rédigé en français.

1. Problématique et Contexte

L'article s'attaque au problème de la divisibilité locale-globale pour les points de torsion des variétés abéliennes définies sur un corps de nombres $K$.

• Le contexte classique : Il est bien établi que le groupe de torsion rationnel $Tors(A)(K)$ d'une variété abélienne $A$ s'injecte dans le groupe des points de sa réduction modulo un nombre premier $p$ de bonne réduction (pour $p$ suffisamment grand). Par conséquent, l'ordre du groupe de torsion divise le plus grand commun diviseur (PGCD) des tailles des groupes de points réduits $N(p) = |\tilde{A}(\mathbb{F}_p)|$.
• La question de Katz (1981) : Le problème inverse est-il vrai ? Plus précisément, si $N(p) \equiv 0 \pmod m$ pour un ensemble de places de densité un, existe-t-il une variété abélienne $A'$ isogène à $A$ telle que son groupe de torsion rationnelle soit divisible par $m$ ?
  • Katz a répondu positivement pour les courbes elliptiques ($g=1$) et faiblement pour les surfaces abéliennes ($g=2$).
  • Cependant, il a démontré l'existence de contre-exemples pour les variétés de dimension supérieure à 2, même pour une version affaiblie de la question.
• L'objectif de l'article : Les auteurs cherchent à établir une réponse positive à la question de Katz (dans sa version affaiblie) spécifiquement pour la classe des variétés abéliennes de type GL2, sans restriction sur la dimension ni sur l'anneau des endomorphismes, et ce sur n'importe quel corps de nombres.

2. Méthodologie

La stratégie repose sur l'analyse des représentations galoisiennes associées aux variétés abéliennes de type GL2.

1. Cadre des variétés de type GL2 : Une variété abélienne $A$ de dimension $g$ est dite de type GL2 si son algèbre d'endomorphismes contient un corps de nombres $F$ de degré $g$ sur $\mathbb{Q}$. Cela induit un système compatible de représentations galoisiennes $\rho_\lambda : G_K \to GL_2(F_\lambda)$, où $\lambda$ est une place de $F$ au-dessus d'un nombre premier rationnel $\ell$.
2. Reformulation du problème : Le problème de la divisibilité locale-globale est reformulé en termes de réseaux stables sous l'action de Galois. La condition $N(p) \equiv 0 \pmod m$ se traduit par une congruence sur le polynôme caractéristique de Frobenius : $P_\lambda^p(1) \equiv 0 \pmod{\lambda^n}$.
3. Outil principal (Théorème de Katz-Lang) : Les auteurs utilisent un résultat de Katz et Lang concernant les représentations de dimension 2 sur un corps local. Ce théorème stipule que si $\det(1-g) \equiv 0 \pmod{\pi^n}$ pour tout $g$ dans un groupe compact $G$, alors il existe une base dans laquelle les éléments de $G$ prennent une forme matricielle spécifique (triangulaire par blocs avec des termes diagonaux proches de 1).
4. Construction de l'isogénie : En appliquant ce théorème aux représentations $\rho_\lambda$, les auteurs montrent que l'existence de la congruence locale implique l'existence d'un réseau $G_K$-stable $L' \subset L$ tel que le quotient $L/L'$ soit un groupe fini sur lequel $G_K$ agit trivialement. Ce quotient correspond à un sous-groupe de torsion d'une variété isogène $A'$.

3. Résultats Principaux

Les contributions majeures de l'article sont les suivantes :

A. Théorème Principal (Théorème 3.2 et Corollaire 3.3)

Pour une variété abélienne $A$ de type GL2 sur un corps de nombres $K$ :

• Soit $\Sigma$ l'ensemble des places de bonne réduction dont l'indice de ramification absolue est strictement inférieur à $p-1$.
• Les deux entiers suivants sont divisibles par les mêmes nombres premiers $\ell$ (de bonne réduction) :
  1. Le PGCD des tailles de réduction : $\gcd_{p \in \Sigma} N(p)$.
  2. Le supremum des ordres de torsion sur toutes les variétés isogènes à $A$ : $\sup_{A' \sim_K A} |Tors(A')(K)|$.
• Inégalité de valuation : Pour tout nombre premier $\ell$, on a :
  $$v_\ell\left(\sup_{A' \sim_K A} |Tors(A')(K)|\right) \le v_\ell\left(\gcd_{p \in \Sigma} N(p)\right)$$
• Égalité dans le cas inertiel : Si $\ell$ est totalement inert dans le corps de coefficients $F$, alors l'égalité est atteinte.

Ce résultat constitue une réponse positive à la question de Katz pour les variétés de type GL2, quelle que soit la dimension.

B. Application aux Variétés Modulaires sur $\mathbb{Q}$

Les auteurs spécialisent ces résultats aux variétés abéliennes simples de type GL2 définies sur $\mathbb{Q}$, qui correspondent, par les conjectures de modularité de Serre (démontrées par Khare-Wintenberger), aux variétés $A_f$ associées à des formes modulaires nouvelles de poids 2.

• Ils distinguent trois cas géométriques (non simple géométriquement, multiplication quaternionique potentielle, ou cas générique où l'algèbre d'endomorphismes est un corps totalement réel).
• Ils montrent que le théorème s'applique uniformément à ces cas.

C. Résultats Computations et Conjectures

Les auteurs ont implémenté leurs résultats dans le système Magma pour explorer les ordres de torsion possibles pour les variétés modulaires de dimension $g \le 5$ et de niveau jusqu'à 500.

• Algorithme : Pour chaque forme nouvelle $f$, ils calculent le PGCD des valeurs $P_\lambda^p(1)$ sur un ensemble de primes, ce qui donne un "ordre de torsion prédit".
• Conjecture 4.4 : Ils proposent une liste exhaustive conjecturale des ordres possibles de $|Tors(A)(\mathbb{Q})|$ pour $g=2, 3, 4, 5$.
  • Exemple notable : Pour $g=2$, les ordres possibles incluent 1, 2, ..., 16, 18, ..., 28, 44, 56.
• Conjecture 4.5 : Ils listent les nombres premiers $\ell$ qui peuvent diviser l'ordre du groupe de torsion en fonction de la dimension $g$.
  • Pour $g=2$, $\ell \in \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 19\}$.
  • Pour $g=4$, la liste s'étend jusqu'à 73.
• Validation : Ils notent que tous les ordres prédits apparaissent effectivement pour au moins une variété dans leur base de données. Ils mentionnent un cas spécifique (niveau 39, dimension 2) où une variété de torsion 28 existe, mais qui n'était pas répertoriée dans la base de données LMFDB à l'époque.

4. Signification et Impact

• Généralisation théorique : L'article résout le problème de Katz pour une classe importante de variétés abéliennes (type GL2) au-delà des courbes elliptiques et des surfaces, en utilisant la structure spécifique des représentations galoisiennes de dimension 2.
• Lien local-global : Il établit un lien rigoureux entre les propriétés locales (réduction modulo $p$) et les propriétés globales (existence de points de torsion rationnels ou isogènes) pour ces variétés.
• Données empiriques : La génération de listes conjecturales pour les dimensions 2 à 5 comble un vide dans la littérature, car aucune borne uniforme n'était connue pour les variétés de dimension supérieure à 2. Ces données enrichissent les bases de données existantes comme le LMFDB.
• Outils computationnels : La mise à disposition du code Magma permet aux chercheurs de vérifier ces conjectures pour des niveaux plus élevés et d'explorer de nouveaux exemples de torsion.

En résumé, ce travail combine des techniques avancées de théorie des nombres (représentations galoisiennes, théorie de la réduction) avec une approche computationnelle pour classifier et prédire le comportement des points de torsion sur une large classe de variétés abéliennes.