Abelian-normal decimal expansions

Cet article introduit le concept de nombre abélien-normal inspiré de la complexité abélienne, construit un analogue non normal $D_{10}$ de la constante de Champernowne qui est prouvé être abélien-normal, et propose deux problèmes ouverts concernant cette constante.

L'essentiel

🎲 Le Jeu des Chiffres : Quand l'Ordre crée le Chaos (et vice-versa)

Imaginez que vous avez un livre infini écrit uniquement avec des chiffres de 0 à 9. Ce livre est spécial : si vous ouvrez n'importe quelle page, vous y trouverez une distribution parfaitement équilibrée de tous les chiffres. C'est ce qu'on appelle un nombre "normal".

Dans ce monde mathématique, le nombre le plus célèbre de ce type est le nombre de Champernowne (noté $C_{10}$). Il est créé simplement en collant tous les nombres entiers les uns après les autres :

0,123456789101112131415...

Si vous cherchez le chiffre "7", il apparaît environ 10 % du temps. Si vous cherchez la séquence "42", elle apparaît environ 1 fois sur 100. C'est le chaos parfait, mais un chaos statistique très ordonné.

🧩 Le Problème : Que se passe-t-il si on mélange les cartes ?

L'auteur de l'article, John Campbell, se pose une question amusante : Que se passe-t-il si on prend ce nombre parfait et qu'on le "triche" ?

Imaginons que nous prenions ce livre infini et que nous prenions chaque fois qu'il y a une suite de chiffres "0" et "1" (les seuls chiffres binaires), nous les réarrangeons systématiquement pour qu'ils soient toujours dans l'ordre croissant (tous les 0 avant tous les 1).

Par exemple, si le livre original disait "...101001...", notre nouvelle version dira "...000111...".

Le résultat ?
Ce nouveau nombre, que l'auteur appelle $D_{10}$, n'est plus "normal" au sens classique. Pourquoi ? Parce que la séquence "10" (un 1 suivi d'un 0) n'existe plus jamais dans le livre ! Si on cherche "10", on ne le trouve jamais. Donc, la règle de l'équilibre parfait est brisée.

🎭 La Révolution : L'Abélianité (ou la "Démocratie des Chiffres")

C'est ici que l'article devient brillant. L'auteur dit : "Attendez, ne jetons pas ce nombre juste parce qu'il n'est pas normal au sens strict. Regardons-le sous un autre angle."

Il introduit un nouveau concept : l'abélianité.

L'analogie du sac de billes :
Imaginez que vous avez un sac de billes.

• La vue classique (Normalité) : Vous vous souciez de l'ordre exact. Un sac avec "Rouge, Bleu, Rouge" est différent d'un sac avec "Bleu, Rouge, Rouge".
• La vue abélienne (Abélianité) : Vous ne vous souciez pas de l'ordre, seulement du comptage. Pour vous, "Rouge, Bleu, Rouge" est exactement la même chose que "Bleu, Rouge, Rouge" ou "Rouge, Rouge, Bleu". C'est comme si vous aviez un sac de billes mélangées, et que vous ne regardiez que le nombre total de chaque couleur.

L'auteur propose une formule magique (une fonction de pondération) pour réévaluer notre nombre "triché" $D_{10}$. Il dit : "Si on compte les séquences en ignorant l'ordre des chiffres et en ne regardant que la composition globale, alors ce nombre redevient parfaitement équilibré !".

En d'autres termes, même si $D_{10}$ a perdu son ordre naturel (il n'a plus de "10"), il a gardé son âme démocratique : il contient toujours la bonne proportion de 0 et de 1, juste réarrangés.

🏗️ La Construction : Comment on a fait ça ?

L'auteur a construit ce nombre $D_{10}$ en prenant le nombre de Champernowne ($C_{10}$) et en appliquant une règle stricte :

1. On repère toutes les petites îles de 0 et 1 dans le texte.
2. On trie chaque île (tous les 0 à gauche, tous les 1 à droite).
3. On recolle le tout.

Le résultat est un nombre qui semble "cassé" pour un observateur classique, mais qui est en réalité parfaitement équilibré pour un observateur qui utilise la nouvelle règle "abélienne".

🚀 Pourquoi est-ce important ?

C'est comme découvrir une nouvelle façon de mesurer la randomness (le hasard).

• Jusqu'à présent, on pensait qu'un nombre était soit "aléatoire" (normal), soit "triché" (anormal).
• L'auteur nous montre qu'il existe un monde intermédiaire. On peut créer un nombre qui semble faux, mais qui est en réalité "vrai" selon une autre définition plus souple.

🔮 Les Mystères Restants (Les Questions Ouvertes)

L'article se termine par deux défis pour les mathématiciens de demain :

1. Le mystère de la transcendance : On sait que le nombre original ($C_{10}$) est "transcendantal" (il n'est la solution d'aucune équation simple). Peut-on prouver que notre nouveau nombre "triché" ($D_{10}$) l'est aussi ?
2. Le Saint Graal : Existe-t-il un nombre qui est "abéliennement normal" (parfaitement équilibré selon notre nouvelle règle) mais qui n'est jamais normal selon l'ancienne règle ? L'auteur pense que oui, mais il faut encore le trouver.

En résumé

Imaginez une foule de personnes.

• La version normale : Les gens sont mélangés au hasard.
• La version de l'auteur : On force tous les gens portant un t-shirt rouge à se mettre à gauche et tous ceux en bleu à droite. La foule n'est plus mélangée (elle est désordonnée).
• La découverte : Mais si on compte le nombre de t-shirts rouges et bleus, on s'aperçoit que la proportion est toujours exactement la même que dans la foule originale !

L'auteur a créé une nouvelle règle pour dire : "Ce n'est pas parce que l'ordre est brisé que la statistique est fausse." C'est une belle démonstration de la puissance de changer de perspective en mathématiques.

Résumé technique

Voici un résumé technique détaillé de l'article « Abelian-normal decimal expansions » de John M. Campbell, rédigé en français.

Titre : Expansions décimales abéliennes-normales

1. Problématique et Contexte

La théorie des nombres normaux, introduite par Émile Borel en 1909, étudie la distribution uniforme des blocs de chiffres dans les expansions décimales (ou en base $B$) d'un nombre réel. Un nombre $\alpha$ est dit normal en base $B$ si, pour tout bloc de chiffres $E$, la fréquence asymptotique de son apparition est $1/B^{\ell(E)}$, où$\ell(E)$ est la longueur du bloc.

L'article s'inscrit dans le domaine de la combinatoire sur les mots, en particulier via la notion de complexité abélienne. La complexité abélienne d'une suite compte le nombre de facteurs de longueur $n$ distincts à permutation près (c'est-à-dire que deux mots sont équivalents s'ils contiennent les mêmes chiffres avec les mêmes multiplicités).

Le problème central soulevé par Campbell est le suivant : peut-on étendre la définition de la normalité en utilisant ces classes d'équivalence abéliennes ? Plus précisément, l'auteur cherche à construire un nombre qui n'est pas normal (au sens classique) mais qui satisfait une condition de normalité adaptée aux permutations de sous-mots, appelée abélien-normalité.

2. Méthodologie

A. Définitions Fondamentales
L'auteur définit d'abord la notion de nombre abélien-normal. Soit $B_E(\alpha, n)$ le nombre d'occurrences du bloc $E$ et de toutes ses permutations dans les $n$ premiers chiffres de $\alpha$.
Un nombre $\alpha$ est dit abélien-normal en base $B$ par rapport à une fonction de pondération $W$ si :
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{W(E)} \frac{B_E(\alpha, n)}{n} = \frac{1}{B^{\ell(E)}}$$
pour tout bloc $E$. La fonction $W(E)$ sert à normaliser le quotient en tenant compte de la taille de la classe d'équivalence de $E$ (le nombre de permutations distinctes de $E$).

B. Construction du Nombre $D_{10}$
Pour répondre à la question de l'existence d'un nombre abélien-normal mais non normal, l'auteur construit un analogue de la constante de Champernowne ($C_{10}$), noté $D_{10}$.

• La constante de Champernowne ($C_{10}$) est obtenue par concaténation des entiers positifs : $0.123456789101112...$
• La transformation : L'auteur identifie dans l'expansion de $C_{10}$ tous les sous-mots binaires maximaux (séquences continues de chiffres 0 et 1 entourées de chiffres non-binaires). Chaque sous-mot binaire maximal est ensuite trié lexicographiquement (tous les 0 placés avant tous les 1).
  • Exemple : Le sous-mot 110100 devient 000111.
• Résultat : Le nombre $D_{10}$ résultant ne contient aucun sous-mot de la forme 10 (car les 1 sont toujours après les 0 dans les blocs binaires triés), ce qui le rend non normal (la fréquence du bloc 10 est nulle, alors qu'elle devrait être $1/100$).

C. Analyse Combinatoire et Fonction de Pondération
Pour prouver que $D_{10}$ est abélien-normal, l'auteur développe une analyse fine des permutations de mots contenant à la fois des chiffres binaires (0, 1) et non-binaires (2-9). Il distingue deux cas critiques où la permutation $\sigma$ (transformant $C_{10}$ en $D_{10}$) modifie le comptage des occurrences :

1. Cas $\uparrow C$ : Une permutation d'un mot $w$ apparaît dans $C_{10}$ mais pas dans $D_{10}$ à la même position (ou vice-versa) en raison de la structure des sous-mots binaires aux extrémités.
2. Cas $\uparrow D$ : L'inverse se produit.

L'auteur définit des fonctions de comptage $C_w(C_{10}, n)$ et $D_w(C_{10}, n)$ pour quantifier ces écarts. Il en déduit une fonction de pondération $W(w)$ spécifique pour les mots contenant des chiffres binaires et non-binaires, qui inclut un terme correctif basé sur les limites asymptotiques de ces écarts de comptage.

3. Résultats Principaux

Théorème 1 : Le nombre $D_{10}$ est abélien-normal en base 10 par rapport à la fonction de pondération $W$ explicitement définie dans l'article.

La preuve repose sur la décomposition des occurrences de mots dans $D_{10}$ en fonction de leurs occurrences dans $C_{10}$. L'auteur montre que :

• Pour les mots sans chiffres binaires, la normalité de $C_{10}$ suffit.
• Pour les mots binaires purs, la structure triée impose une analyse spécifique des longueurs maximales.
• Pour les mots mixtes, la fonction de pondération $W(w)$ est construite de manière à compenser exactement les pertes ou gains d'occurrences causés par le tri lexicographique des sous-mots binaires, grâce aux termes limites $\lim_{n \to \infty} \frac{D_w(C_{10}, n)}{n}$ et $\lim_{n \to \infty} \frac{C_w(C_{10}, n)}{n}$.

4. Contributions Clés

1. Nouveau Concept : Introduction formelle de la notion de nombre abélien-normal, reliant la théorie des nombres normaux à la complexité abélienne des mots.
2. Construction Explicite : Fourniture d'un exemple concret ($D_{10}$) d'un nombre qui viole la normalité classique (en raison de l'absence de certains motifs comme 10) mais qui respecte une forme de normalité généralisée (abélienne).
3. Méthodologie de Pondération : Développement d'une fonction de pondération $W$ sophistiquée qui dépend non seulement de la longueur et de la composition du mot, mais aussi de la dynamique des sous-mots binaires dans l'expansion de Champernowne.
4. Lien Interdisciplinaire : Mise en évidence des connections entre les règles de sélection préservant la normalité (théorie des nombres) et les opérations de réarrangement de sous-mots (combinatoire des mots).

5. Signification et Perspectives

Cet article élargit le cadre de la théorie des nombres normaux en montrant que la propriété de normalité peut être « sauvée » ou redéfinie sous un angle différent (abélien) même lorsque la structure classique est brisée. Cela suggère que la notion de « hasard » ou d'uniformité dans les expansions décimales est plus nuancée et dépend du cadre d'équivalence choisi (ordre strict vs ordre abélien).

L'auteur conclut par deux problèmes ouverts :

1. La transcendance de $D_{10}$ : Peut-on adapter la preuve de Mahler sur la transcendance de $C_{10}$ pour prouver celle de $D_{10}$ ?
2. La normalité abélienne pure : Existe-t-il un nombre qui est abélien-normal par rapport à la fonction de pondération « naturelle » (basée uniquement sur le nombre de permutations, sans termes correctifs complexes) mais qui n'est pas normal ?

En résumé, ce travail propose une nouvelle perspective sur la distribution des chiffres, utilisant les outils de la combinatoire des mots pour reconstruire une forme d'équilibre statistique dans des nombres qui, autrement, seraient considérés comme irréguliers.