On the height boundedness of periodic and preperiodic points of dominant rational self-maps on projective varieties

Cet article réfute la conjecture selon laquelle les points périodiques isolés d'un automorphisme de degré supérieur ou égal à deux sur un espace affine sont de hauteur bornée, tout en démontrant que cette propriété de bornitude de la hauteur est vraie pour les points périodiques d'applications rationnelles dominantes cohomologiquement hyperboliques sur des variétés projectives, bien qu'elle puisse échouer pour les points prépériodiques.

L'essentiel

🌌 Le Grand Jeu des Points et des Hauteurs : Une Histoire de Chaos et d'Ordre

Imaginez que vous êtes dans un immense labyrinthe mathématique appelé l'Espace Projectif. Dans ce labyrinthe, il y a des points (des endroits précis) et une règle magique, une fonction $f$, qui dit à chaque point où il doit aller à l'étape suivante.

• Si un point revient exactement à son point de départ après quelques tours, on l'appelle un point périodique.
• Si un point finit par rejoindre un cycle (même s'il ne revient pas tout de suite), on l'appelle un point pré-périodique.

Les mathématiciens Yohsuke Matsuzawa et Kaoru Sano se posent une question fondamentale : Ces points spéciaux sont-ils "proches" les uns des autres, ou peuvent-ils s'éparpiller à l'infini ?

Pour mesurer cette "distance" ou cette "propreté", ils utilisent une règle appelée la hauteur.

L'analogie de la Tour de Babel : Imaginez que chaque point a une "hauteur" qui correspond à la taille des nombres nécessaires pour le décrire.

• Un point "bas" est facile à décrire (ex: $1/2$).
• Un point "haut" est très complexe (ex: un nombre avec des milliers de chiffres).

La conjecture initiale : Les mathématiciens pensaient que tous les points périodiques d'un certain type de labyrinthe (l'espace affine) devaient rester dans une "zone basse", c'est-à-dire qu'ils ne pouvaient pas devenir infiniment complexes. Ils pensaient qu'il y avait une limite à la hauteur de ces points.

🚨 La Révolution : Le Contre-Exemple (Section 2)

Les auteurs commencent par dire : "Attendez, c'est faux !"

Ils construisent un labyrinthe spécifique en 3 dimensions (un espace $A^3$) avec une règle de mouvement très particulière.

• L'analogie : Imaginez un jeu de billard où la table est un peu tordue. La plupart des boules restent dans un coin, mais ils ont trouvé une configuration où, si vous lancez une boule avec la bonne force, elle rebondit en créant des trajectoires de plus en plus complexes.
• Le résultat : Ils montrent qu'il existe une suite infinie de points périodiques dont la "hauteur" (la complexité des nombres) grimpe vers l'infini.
• Conclusion : La conjecture de départ est fausse. On peut avoir des points qui reviennent à leur place, mais qui sont d'une complexité mathématique effrayante. C'est comme si vous trouviez une clé qui ouvre une porte, mais cette clé devient de plus en plus lourde et compliquée à chaque fois que vous la fabriquez.

🛡️ Le Bouclier Magique : L'Hyperbolicité Cohomologique (Section 3)

Après avoir cassé la règle, les auteurs demandent : "Alors, quand est-ce que la hauteur reste contrôlée ?"

Ils introduisent un concept clé : l'hyperbolicité cohomologique.

L'analogie du Miroir Déformant : Imaginez que votre labyrinthe est fait de miroirs.

• Dans un labyrinthe "normal", les miroirs peuvent déformer l'image de manière chaotique, créant des points très hauts.
• Dans un labyrinthe hyperbolique cohomologique, les miroirs sont "étirés" d'une manière très précise et prévisible. Ils étirent l'espace dans une direction et le compriment dans une autre, comme un élastique qu'on tire.

Le résultat positif : Les auteurs prouvent que si votre labyrinthe possède cette propriété d'hyperbolicité (ce "miroir étiré"), alors il existe une zone sûre (un grand morceau du labyrinthe) où tous les points périodiques restent "bas". Ils ne peuvent pas devenir infiniment complexes tant qu'ils restent dans cette zone.

C'est une victoire : même si le chaos existe ailleurs, il y a des îlots de stabilité mathématique.

🔄 Le Piège des Points Pré-Périodiques (Section 4)

Enfin, ils s'attaquent à une question plus subtile : les points pré-périodiques (ceux qui finissent par entrer dans un cycle, mais qui y arrivent par un long chemin).

Ils construisent un autre exemple, encore plus tordu.

• L'analogie de l'Escalier de l'Infini : Imaginez un escalier magique où chaque marche vous ramène à la marche précédente. Vous pouvez remonter l'escalier à l'infini.
• Les auteurs montrent qu'il existe un labyrinthe (un type de carte rationnelle) où l'on peut remonter cet escalier à l'infini, et à chaque marche, la "hauteur" (la complexité) explose.
• Le problème : Même si ce labyrinthe est "hyperbolique" (il a le bouclier magique), les points qui arrivent de l'extérieur pour rejoindre le cycle peuvent devenir infiniment complexes.
• Conclusion : La règle de sécurité fonctionne bien pour les points qui tournent déjà en rond (périodiques), mais elle ne garantit pas la sécurité pour ceux qui arrivent de loin (pré-périodiques).

🎯 En Résumé

Ce papier est une aventure en trois actes :

1. Le Choc : On pensait que les points qui reviennent à leur place étaient toujours simples. Non, ils peuvent être d'une complexité infinie dans certains labyrinthes.
2. La Solution : Si le labyrinthe a une structure géométrique très spécifique (hyperbolicité), alors les points qui tournent en rond restent simples, du moins dans une grande partie du labyrinthe.
3. La Mise en Garde : Attention ! Même dans ces labyrinthes sûrs, les points qui arrivent de l'extérieur pour rejoindre le cycle peuvent devenir infiniment complexes. La sécurité n'est pas totale.

Pourquoi est-ce important ?
Cela aide les mathématiciens à comprendre la frontière entre l'ordre et le chaos dans les systèmes dynamiques. C'est comme essayer de prédire si une tempête restera localisée ou si elle va s'étendre à l'infini. Ces résultats nous disent exactement où chercher la stabilité et où s'attendre au chaos.

Résumé technique

Voici un résumé technique détaillé de l'article « On the height boundedness of periodic and preperiodic points of dominant rational self-maps on projective varieties » (Sur la bornitude en hauteur des points périodiques et pré-périodiques des applications rationnelles dominantes sur les variétés projectives), rédigé par Yohsuke Matsuzawa et Kaoru Sano.

1. Contexte et Problématique

L'article s'inscrit dans le domaine de la dynamique arithmétique. Le problème central concerne la bornitude en hauteur (height boundedness) des ensembles de points périodiques et pré-périodiques pour des applications rationnelles définies sur des variétés algébriques.

• Contexte connu : Pour les morphismes surjectifs non-isomorphes $f : \mathbb{P}^N_{\mathbb{Q}} \to \mathbb{P}^N_{\mathbb{Q}}$, il est bien établi que l'ensemble des points pré-périodiques est de hauteur bornée. Cela découle de la propriété de Northcott et de la relation entre la hauteur canonique $\hat{h}_f$ et la hauteur naïve.
• Conjecture 1.1 (Matsuzawa, 2018) : Pour un automorphisme $f : \mathbb{A}^N_{\mathbb{Q}} \to \mathbb{A}^N_{\mathbb{Q}}$ dont le degré maximal des fonctions coordonnées est au moins 2, l'ensemble des points périodiques isolés serait de hauteur bornée.
  • Note : Un point périodique est dit "isolé" s'il n'appartient pas à l'adhérence de Zariski d'autres points périodiques.
• Question ouverte : Cette propriété de bornitude en hauteur s'étend-elle aux applications rationnelles dominantes sur des variétés projectives, en particulier sous certaines conditions d'hyperbolicité ?

2. Méthodologie et Approche

Les auteurs adoptent une approche mixte combinant la géométrie algébrique, la théorie des nombres et la dynamique complexe (via les degrés dynamiques).

• Contre-exemples : Pour réfuter des conjectures générales, ils construisent des automorphismes spécifiques sur l'espace affine $\mathbb{A}^3$ et des applications rationnelles sur $\mathbb{P}^2$ en exploitant des structures de fibrations et des réductions modulo des nombres premiers.
• Hyperbolicité Cohomologique : Pour établir des résultats positifs, ils utilisent la notion d'hyperbolicité cohomologique. Une application rationnelle dominante $f$ est dite $p$-cohomologiquement hyperbolique si le degré dynamique $d_p(f)$ est strictement supérieur à tous les autres degrés dynamiques $d_i(f)$.
• Inégalités récursives de hauteur : La preuve des résultats positifs repose sur l'établissement d'inégalités récursives pour les hauteurs le long des orbites, en utilisant des diviseurs "big" (grands) et des propriétés de tirage en arrière (pull-back) dans le groupe de Picard.

3. Contributions et Résultats Principaux

A. Contre-exemple à la Conjecture 1.1 (Dimension 3)

Les auteurs réfutent la Conjecture 1.1 en dimension 3.

• Théorème 1.3 / 2.1 : Ils construisent un automorphisme $f : \mathbb{A}^3_{\mathbb{Q}} \to \mathbb{A}^3_{\mathbb{Q}}$ défini par :
  $$f(x, y, z) = (y, x + y - y^3, 2z - y)$$
  • Résultats :
    1. Pour tout $n \ge 1$, l'ensemble des points $n$-périodiques est fini (tous les points périodiques sont isolés).
    2. L'ensemble de tous les points périodiques est de hauteur non bornée.
  • Mécanisme : Les deux premières coordonnées forment une application d'Hénon $g$ sur $\mathbb{A}^2$. La coordonnée $z$ est déterminée par une somme géométrique impliquant les itérés de $g$. En choisissant des périodes $n$ spécifiques (liées à des puissances de 3), ils montrent que la coordonnée $z$ acquiert une hauteur arbitrairement grande, bien que les coordonnées $x$ et $y$ restent bornées.
  • Observation clé : L'application $f$ n'est pas cohomologiquement hyperbolique ($d_1(f) = d_2(f) = 3$).

B. Bornitude en hauteur pour les applications cohomologiquement hyperboliques

L'article établit un résultat positif fort pour une classe spécifique d'applications.

• Théorème 1.8 : Soit $f : X \dashrightarrow X$ une application rationnelle dominante cohomologiquement hyperbolique sur une variété projective $X$ définie sur $\mathbb{Q}$.
  • Il existe un ouvert de Zariski non vide $U \subset X$ tel que l'ensemble des points périodiques $P$ dont l'orbite entière est contenue dans $U$ est de hauteur bornée.
  • Amélioration : Ce résultat généralise les travaux précédents (Wang, Matsuzawa-Wang) en supprimant l'hypothèse que $f$ doit être birationnel.
  • Preuve : Elle utilise une inégalité récursive de la forme :
    $$h_L(f^{2m}(P)) + \alpha\beta h_L(P) - (\alpha+\beta)h_L(f^m(P)) \ge C$$
    où $\alpha, \beta$ sont liés aux degrés dynamiques. Cette inégalité force la hauteur à rester bornée pour les points périodiques.

C. Cas des points pré-périodiques et contre-exemple potentiel

La question de la bornitude pour les points pré-périodiques (qui ne sont pas nécessairement périodiques mais finissent par le devenir) est plus subtile.

• Théorème 1.9 : Les auteurs construisent une application rationnelle $f : \mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}} \dashrightarrow \mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}}$ (dépendant d'un entier $d \ge 3$ et d'un nombre premier $p$) qui est 1-cohomologiquement hyperbolique ($d_1=d, d_2=2$).
  • Pour $d=4, p=2$, ils exhibent un point fixe $P_0$ et une suite de points pré-périodiques $\{P_n\}$ tels que $f(P_n) = P_{n-1}$.
  • Cette suite est de hauteur non bornée et Zariski-dense.
  • Signification : Cela suggère que la condition "hyperbolique de dimension $\dim X$" (et non juste "cohomologiquement hyperbolique") est essentielle pour la bornitude des points pré-périodiques. Le contre-exemple montre que même pour une application cohomologiquement hyperbolique, les points pré-périodiques peuvent avoir une hauteur illimitée si l'on ne restreint pas l'orbite à un ouvert approprié ou si la condition d'hyperbolicité n'est pas assez forte.

4. Signification et Implications

1. Réfutation de la généralité : L'article démontre que la bornitude en hauteur des points périodiques isolés n'est pas une propriété universelle pour les automorphismes de degré $\ge 2$ sur l'espace affine, même en dimension 3. La conjecture de Matsuzawa est donc fausse dans sa formulation générale.
2. Rôle de l'hyperbolicité cohomologique : L'étude identifie l'hyperbolicité cohomologique comme la condition clé garantissant la bornitude en hauteur pour les points périodiques (sur un ouvert dense). Cela renforce le lien entre la dynamique complexe (degrés dynamiques) et la théorie arithmétique (hauteurs).
3. Distinction Périodique vs Pré-périodique : L'article met en lumière une différence fondamentale entre les points périodiques et pré-périodiques. Alors que les premiers sont bien contrôlés sous l'hypothèse d'hyperbolicité cohomologique, les seconds peuvent échapper à cette bornitude, suggérant que des hypothèses plus fortes (comme l'hyperbolicité de dimension maximale) ou des restrictions géométriques supplémentaires sont nécessaires.
4. Questions ouvertes : Les auteurs posent des questions importantes sur la finitude des points pré-périodiques sur un corps de nombres fixé (propriété de Northcott) pour les applications cohomologiquement hyperboliques, un problème qui reste ouvert.

En résumé, ce travail affine considérablement notre compréhension des conditions nécessaires pour que les ensembles de points dynamiques soient de hauteur bornée, en fournissant des contre-exemples précis et en établissant des théorèmes de bornitude robustes basés sur l'hyperbolicité cohomologique.