The completion of the set of Lagrangians and applications to dynamics -- Based on lectures by C. Viterbo

Ces notes de cours de C. Viterbo introduisent la complétion de l'ensemble des sous-variétés lagrangiennes par rapport à la métrique spectrale, établissent ses propriétés fondamentales via le concept de $\gamma$-support et les appliquent à la dynamique conformément symplectique pour généraliser la notion d'attracteur de Birkhoff.

L'essentiel

🌊 L'Univers des Lagrangiens : Une Carte pour les Formes Flottantes

Imaginez que vous êtes un explorateur naviguant sur un océan spécial appelé l'espace symplectique. Dans cet océan, il existe des formes flottantes spéciales appelées sous-variétés lagrangiennes. Pour faire simple, ce sont comme des "voiles" ou des "filets" qui flottent à la surface de l'eau selon des règles géométriques très précises.

Les mathématiciens (Viterbo, Humilière, Bernardi, Morabito) s'intéressent à la façon de mesurer la distance entre ces voiles. Ils ont inventé une nouvelle règle de mesure, appelée métrique spectrale. C'est un peu comme un radar qui ne mesure pas seulement la distance physique, mais qui "écoute" la résonance interne de chaque voile.

1. Le Problème : Les Voiles qui S'évaporent

Le problème, c'est que si vous essayez de rapprocher deux de ces voiles infiniment l'une de l'autre en utilisant cette règle, vous arrivez parfois à un point où la voile "disparaît" ou devient floue. Elle ne ressemble plus à une surface lisse et parfaite, mais elle devient une forme bizarre, peut-être fractale, ou un amas de points.

Dans le monde mathématique, on dit que l'espace n'est pas complet. C'est comme si vous marchiez sur une route qui s'arrête brusquement au milieu de nulle part.

2. La Solution : Le "Complémentaire" (La Complétion)

C'est ici que l'idée géniale de l'article intervient. Les auteurs disent : "Et si on construisait le trottoir manquant ?"

Ils créent ce qu'ils appellent la complétion de Humilière. Imaginez que vous preniez tous les points où les voiles pourraient "tomber" si on les rapprochait trop, et que vous les collez à votre carte.

• Avant : Vous aviez des voiles lisses (des Lagrangiens classiques).
• Après : Vous avez ajouté de nouvelles "voiles fantômes". Ce ne sont plus des surfaces lisses, mais des objets mathématiques abstraits qui ont un support γ (prononcé "gamma").

L'analogie du Support γ :
Imaginez que votre voile est un nuage de fumée. Même si le nuage est très fin et difficile à voir, il occupe un certain espace. Le support γ est la zone où ce nuage est "réellement" présent, là où il a de la substance. Même si la forme est bizarre, elle a toujours un "cœur" ou un "squelette" qui ne peut pas être déplacé sans dépenser de l'énergie.

3. L'Application : Les Attracteurs de Birkhoff (Le Tourbillon)

Pourquoi faire tout cela ? Pour comprendre la dynamique, c'est-à-dire comment les choses bougent dans le temps.

Prenons l'exemple d'un pendule amorti (un balancier qui s'arrête à cause du frottement de l'air).

• Si vous le lancez, il oscille de plus en plus faiblement jusqu'à s'arrêter.
• L'endroit où il finit par se poser est appelé un attracteur.

Dans les années 1920, un mathématicien nommé Birkhoff a étudié ces attracteurs pour des systèmes simples (en 2 dimensions). Mais que se passe-t-il dans des systèmes complexes à plusieurs dimensions (comme un système planétaire ou un fluide turbulent) ?

Grâce à leur nouvelle "carte complète" (la complétion de Humilière), les auteurs peuvent définir un Attracteur de Birkhoff Généralisé.

• L'analogie : Imaginez que vous jetez une goutte d'encre dans un tourbillon d'eau. L'encre se disperse, s'étire, se tord. Au bout d'un moment, elle ne forme plus une goutte, mais un motif complexe.
• Grâce à leur outil mathématique, ils peuvent dire : "Même si le motif est tordu et bizarre, il existe un objet mathématique précis (un élément de la complétion) qui représente ce motif final."

Cet objet a des propriétés surprenantes : il est "co-isotrope" (un mot compliqué qui signifie qu'il résiste au déplacement, comme un rocher dans un courant). Cela permet de prouver que même dans des systèmes très complexes, il existe toujours des structures stables et invisibles qui gouvernent le mouvement.

4. Pourquoi c'est important ?

Cet article est comme un manuel de construction pour des outils qui permettent de voir l'invisible.

• En physique : Cela aide à comprendre comment l'énergie se dissipe et où elle finit par se stocker dans des systèmes complexes (météo, mécanique quantique, etc.).
• En mathématiques : Cela résout des énigmes anciennes sur la façon dont les formes peuvent se transformer les unes en les autres sans se briser.

En résumé :
Les auteurs ont pris un ensemble de formes géométriques parfaites, ont réalisé qu'elles laissaient des "trous" quand on les étudiait de trop près, et ont comblé ces trous avec de nouvelles formes mathématiques. En utilisant ces nouvelles formes, ils ont pu redécouvrir et généraliser un vieux concept (l'attracteur de Birkhoff) pour le rendre applicable à des mondes beaucoup plus vastes et complexes que ceux qu'on connaissait avant.

C'est un peu comme si on avait inventé des lunettes spéciales qui permettent de voir non seulement les objets solides, mais aussi les ombres et les reflets qui les accompagnent, révélant ainsi la structure cachée de l'univers dynamique.

Résumé technique

Voici un résumé technique détaillé du document « The completion of the set of Lagrangians and applications to dynamics », basé sur les notes de cours de C. Viterbo.

1. Problématique et Contexte

L'objectif principal de ces notes est d'introduire et d'étudier la complétion de l'ensemble des sous-variétés lagrangiennes exactes d'une variété symplectique, par rapport à la métrique spectrale (introduite par V. Humilière et revisitée par C. Viterbo).

Le problème central réside dans le fait que l'espace des lagrangiens exacts, noté $\mathcal{L}_0(T^*N)$ (isotopes hamiltoniens de la section nulle), muni de la métrique spectrale $\gamma$, n'est pas complet. Les auteurs cherchent à comprendre la structure géométrique et dynamique des éléments de cet espace complété, noté $\widehat{\mathcal{L}}_0(T^*N)$. Ces nouveaux objets, bien qu'abstraits, possèdent un support géométrique appelé $\gamma$-support.

L'application majeure visée est l'étude des systèmes dynamiques conformément symplectiques (dissipatifs), permettant de généraliser la notion d'attracteur de Birkhoff (défini initialement pour le cylindre $T^*S$) à des dimensions supérieures ($T^*N$).

2. Méthodologie

La démarche repose sur plusieurs piliers théoriques de la géométrie symplectique et de la topologie :

• Fonctions Génératrices Quadratiques à l'Infini (GFQI) : L'approche utilise les fonctions génératrices pour décrire les lagrangiens exacts dans les fibrés cotangents. Les invariants spectraux sont extraits de ces fonctions via la théorie de Lusternik-Schnirelmann.
• Invariants Spectraux : Pour un lagrangien $L$ et une classe de cohomologie $\alpha \in H^*(N)$, on définit des nombres $c(\alpha, L)$. Ces invariants permettent de définir des distances :
  • $\gamma(L_1, L_2) = c_+(L_1, L_2) - c_-(L_1, L_2)$ sur l'espace des lagrangiens.
  • $c(L_1, L_2)$ sur l'espace des branes lagrangiennes (paires $(L, f_L)$).
• Complétion Métrique : On considère l'espace métrique complet obtenu par complétion de $(\mathcal{L}_0(T^*N), \gamma)$. Les éléments de cet espace sont des limites de suites de lagrangiens lisses.
• Support $\gamma$ : Pour un élément $\mathcal{L}$ de la complétion, le $\gamma$-support est défini comme l'ensemble des points $z \in T^*N$ tels que tout voisinage de $z$ contient un lagrangien qui ne peut être déplacé par un flot hamiltonien de petite énergie sans changer la classe de $\mathcal{L}$.
• Dynamique Conformément Exacte : L'étude se concentre sur les difféomorphismes $\psi$ tels que $\psi^*\omega = a\omega$ avec $a \in (0,1)$ (dissipatifs). Grâce à la propriété de contraction de la métrique $\gamma$ sous l'action de tels difféomorphismes, on peut appliquer le théorème du point fixe de Banach.

3. Contributions Clés et Résultats

A. Propriétés de la Complétion et du $\gamma$-support

• Existence et Unicité : Les auteurs établissent que le groupe des difféomorphismes hamiltoniens à support compact agit par isométries sur la complétion.
• Structure du Support : Le $\gamma$-support d'un élément de la complétion est une sous-variété (ou un ensemble) $\gamma$-coisotrope.
  • Une sous-variété lisse est $\gamma$-coisotrope si et seulement si elle est coisotrope au sens classique.
  • Tout lagrangien est $\gamma$-coisotrope.
  • Le support $\gamma$ est toujours non vide pour les éléments à support compact.
• Dimension : Le support $\gamma$ d'un élément de la complétion a une dimension de Hausdorff supérieure ou égale à $n$ (la dimension de la base $N$). Des exemples de "Lagrangiens de Peano" montrent que ce support peut être très "gros" (dimension $2n$).
• Relation avec les fonctions continues : Si une suite de graphes de différentielles de fonctions $f_n$ converge uniformément vers une fonction continue $f$, l'élément limite dans la complétion a pour support $\gamma$ le sous-différentiel de $f$ (au sens de N. Vichery).

B. Attracteurs de Birkhoff Généralisés

• Définition : Pour un difféomorphisme conformément exact symplectique (CES) $\psi$ sur $T^*N$ avec ratio de conformité $a \in (0,1)$, il existe un unique point fixe $L_\infty$ dans la complétion $\widehat{\mathcal{L}}_0(T^*N)$. L'attracteur de Birkhoff généralisé est défini comme le support $\gamma$ de ce point fixe :
  $$B_\infty(\psi) := \gamma\text{-supp}(L_\infty)$$
• Propriétés de $B_\infty$ :
  • C'est un ensemble fermé, invariant et $\gamma$-coisotrope.
  • Il sépare l'espace $T^*N$ (dans le cas du cylindre, il sépare l'anneau).
  • Théorème d'équivalence : Dans le cas du cylindre $T^*S$, l'attracteur généralisé $B_\infty$ coïncide exactement avec l'attracteur de Birkhoff classique $B$ défini par G.D. Birkhoff.
• Complexité Topologique : Le théorème 5.11 montre que la projection de $B_\infty$ sur la base $N$ induit une injection en cohomologie. Cela généralise la propriété de non-trivialité cohomologique des attracteurs classiques.

C. Applications et Conjectures

• Transitivité : L'action du groupe complété $\widehat{\text{DHam}}(T^*N)$ est transitive sur l'ensemble des lagrangiens exacts fermés. Cela constitue une version faible de la Conjecture du Lagrangien Voisin (Nearby Lagrangian Conjecture) : tout lagrangien exact est l'image de la section nulle par un élément de la complétion.
• Squelette et Équivalence : Les attracteurs de Birkhoff sont contenus dans le "squelette" de la variété de Liouville, ce qui permet potentiellement de calculer les classes d'équivalence de Floer-Fukaya.

4. Signification et Impact

Ce travail est fondamental car il étend la puissance des invariants spectraux (initialement conçus pour les lagrangiens lisses) à un cadre beaucoup plus large incluant des objets singuliers ou limites.

1. Unification Dynamique : Il fournit un cadre rigoureux pour l'étude des systèmes dissipatifs en dimension supérieure, là où les méthodes classiques de géométrie symplectique (basées sur la compacité et la régularité) échouent souvent.
2. Géométrie des Ensembles Singuliers : La notion de $\gamma$-coisotropie offre un nouvel outil pour classifier les ensembles invariants qui ne sont pas nécessairement des sous-variétés lisses, reliant la dynamique dissipative à la géométrie symplectique rigide.
3. Résolution de Problèmes Ouverts : En prouvant l'égalité entre l'attracteur généralisé et l'attracteur de Birkhoff classique sur le cylindre, le papier valide l'approche par complétion métrique comme une méthode puissante pour étendre des résultats de dimension 2 à des dimensions arbitraires.
4. Ouverture de Questions : Le papier soulève des questions profondes sur la structure fine des supports $\gamma$ (dimension de Hausdorff, nombre d'éléments partageant le même support) et sur la nature exacte des éléments du groupe de difféomorphismes hamiltoniens complété.

En résumé, ce document pose les bases d'une nouvelle théorie géométrique des systèmes dynamiques dissipatifs, où la complétion de l'espace des lagrangiens joue un rôle central pour capturer la structure des attracteurs complexes.