The number of measures on very large measurable cardinals

En exploitant les conséquences de l'axiome de l'ultrapuissance pour contourner les méthodes de modèles internes et les limitations des itérations de forçage, cet article démontre que le nombre de mesures normales sur de grands cardinaux mesurables peut être arbitrairement prescrit, étendant ainsi des résultats classiques et renforçant des théorèmes récents.

L'essentiel

Voici une explication simplifiée de ce texte mathématique complexe, imagée comme une histoire d'architectes de l'univers.

Le Grand Projet : Construire des Univers à la Carte

Imaginez que les mathématiciens sont des architectes cosmiques. Leur but est de construire des univers (appelés "modèles" en mathématiques) où les règles de la réalité sont exactement celles qu'ils désirent.

Dans ce texte, les auteurs (Apter, Kaplan et Poveda) s'attaquent à un problème très précis : combien de "gardes du corps" un roi peut-il avoir ?

• Le Roi, c'est un cardinal mesurable. C'est une sorte de nombre infini si grand et si puissant qu'il possède une propriété spéciale : il peut être "mesuré" de manière cohérente.
• Les Gardes du corps, ce sont les mesures normales. En langage simple, ce sont des façons différentes de trier ou de classer les éléments de ce roi. Plus il y a de mesures, plus le roi a de "pouvoir" ou de "perspectives" différentes.

Le problème historique était le suivant : On savait comment faire en sorte qu'un roi ait un garde, ou beaucoup de gardes, mais seulement si on construisait l'univers sur des fondations très anciennes et rigides (la "théorie des modèles internes"). C'était comme si on ne pouvait construire une maison que sur un terrain déjà pavé.

Le Problème des "Rois Très Puissants"

Le défi devient énorme quand on parle de rois encore plus puissants, comme les cardinaux supercompacts ou fortement compacts. Ces rois sont si grands que les fondations habituelles (les modèles internes) s'effondrent. On ne sait pas comment construire une maison sur un terrain aussi instable.

Les auteurs disent : "Oubliez les vieilles fondations ! Nous avons une nouvelle technique."

La Nouvelle Technique : Le "Forçage de Séparation" (Splitting Forcing)

Imaginez que vous avez un roi avec un seul garde du corps. Vous voulez qu'il en ait 5, ou 100, ou un nombre infini spécifique.

Les anciennes méthodes étaient comme essayer de sculpter une statue de marbre : très difficile, et on ne pouvait pas changer d'avis une fois le coup de marteau donné.

Les auteurs utilisent une nouvelle méthode qu'ils appellent le "Forçage de Séparation".
Imaginez que vous avez un faisceau de lumière unique (le roi avec un seul garde). Vous placez un prisme spécial devant ce faisceau. Ce prisme ne change pas la source de la lumière, mais il sépare le faisceau en plusieurs rayons distincts.

• Vous pouvez régler le prisme pour obtenir exactement 3 rayons, 50 rayons, ou 1000 rayons.
• Le roi reste le même, son pouvoir reste le même, mais le nombre de ses gardes (les mesures) devient exactement ce que vous avez programmé.

Cette technique est si flexible qu'elle fonctionne même pour les rois les plus puissants, là où les anciennes méthodes échouaient.

Les Trois Grands Succès de l'Article

Les auteurs appliquent cette technique à trois scénarios différents :

1. La Famille Royale (Les $n$ premiers rois) :
   Imaginez une lignée de $n$ rois (les $n$ premiers cardinaux mesurables). Traditionnellement, on pensait qu'ils devaient tous avoir le même nombre de gardes ou suivre un schéma rigide.

   • Le résultat : Les auteurs montrent qu'on peut donner à chaque roi exactement le nombre de gardes qu'on veut. Le premier roi peut avoir 2 gardes, le deuxième 100, le troisième 500. C'est comme si on pouvait habiller chaque membre d'une famille royale avec un costume d'une couleur et d'un style totalement différents, sans que cela ne perturbe la hiérarchie.

2. Le Premier Roi au-dessus d'un Empereur :
   Imaginez un Empereur (un cardinal supercompact) qui règne sur tout. Juste au-dessus de lui, il y a un roi (le premier cardinal mesurable).

   • Le résultat : Même si cet Empereur est là, on peut forcer le roi juste au-dessus à avoir exactement le nombre de gardes qu'on souhaite. C'est comme si on pouvait modifier la garde d'un prince sans que l'Empereur ne s'en aperçoive ou ne change d'avis.

3. Le Roi qui est aussi un Empereur (La limite) :
   Il existe un cas très spécial où un roi est à la fois un roi et la limite d'une infinité d'empereurs. C'est un cas très rare et difficile.

   • Le résultat : Les auteurs prouvent que même pour ce roi "hybride", on peut choisir le nombre exact de ses gardes.

Pourquoi est-ce important ?

Avant, pour faire ces choses, il fallait utiliser des outils très lourds et complexes (la "théorie des modèles internes") qui ne fonctionnaient que pour des rois "normaux". Pour les rois géants, on était bloqué.

Cette nouvelle méthode est comme un couteau suisse ou un imprimante 3D pour les mathématiciens. Elle permet de :

• Contourner les obstacles des anciennes méthodes.
• Créer des univers où les règles sont exactement celles qu'on veut.
• Prouver que la diversité des "gardes" (mesures) est infiniment plus grande qu'on ne le pensait.

En Résumé

Ces mathématiciens ont inventé un nouveau "prisme" (le forçage de séparation) qui leur permet de prendre des nombres infinis géants (les cardinaux) et de leur attribuer exactement le nombre de propriétés (mesures) qu'ils souhaitent, même dans des situations où les règles habituelles de l'univers mathématique semblaient trop fragiles pour supporter de tels changements.

C'est une victoire majeure pour la liberté de construire des mondes mathématiques : on ne subit plus les règles, on les écrit à la main.

Résumé technique

Voici un résumé technique détaillé de l'article « The Number of Measures on Very Large Measurable Cardinals » d'Arthur W. Apter, Eyal Kaplan et Alejandro Poveda.

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à la question fondamentale de la théorie des grands cardinaux : quel est le nombre possible de mesures normales qu'un cardinal mesurable peut porter dans un modèle de ZFC ?

Historiquement, ce problème a été résolu par Friedman et Magidor ([14]) pour les cardinaux mesurables « standards » (sans grands cardinaux supérieurs). Leur méthode repose sur des techniques d'inner models (modèles internes canoniques comme $L[\vec{U}]$) et des itérations de forçage complexes (support non stationnaire, forçage de Sacks généralisé, auto-codage). Cependant, cette approche fine-structurelle rencontre des limites majeures lorsqu'il s'agit de cardinaux très grands (au-delà de la portée de la théorie actuelle des modèles internes), tels que :

• Les premiers cardinaux fortement compacts.
• Les premiers cardinaux mesurables au-dessus d'un cardinal supercompact.
• Les limites de cardinaux supercompacts qui sont eux-mêmes mesurables.

Le défi principal est que les techniques de Friedman-Magidor nécessitent de forcer au-dessus d'un modèle interne canonique, ce qui est impossible ou non contrôlable pour ces cardinaux très grands en l'absence de modèles internes canoniques pour les supercompacts.

2. Méthodologie

Les auteurs proposent une nouvelle approche qui contourne la dépendance aux modèles internes en exploitant les conséquences de l'Axiome de l'Ultrapuissance (Ultrapower Axiom - UA) de Goldberg, et plus spécifiquement une de ses conséquences : l'existence d'une unique mesure normale d'ordre de Mitchell 0 sur chaque cardinal mesurable (sous l'hypothèse de l'UA ou de la linéarité de l'ordre de Mitchell).

Les outils techniques clés développés et utilisés sont :

1. Forçage de Séparation (Splitting Forcing) : Une variation du forçage introduit par Kaplan ([28]). Ce forçage, noté $P_{\tau, I}$, est une itération à support non stationnaire de longueur $\kappa$. Il permet de « séparer » une mesure unique du modèle de base en $\tau$ mesures distinctes dans l'extension générique, en utilisant des fonctions canoniques pour coder des informations dans les conditions.
2. Itérations à Support Non Stationnaire (Nonstationary Support Iterations) : Utilisées pour préserver les propriétés de grands cardinaux (supercompacité, forte compacité) tout en contrôlant le nombre de mesures. Les auteurs utilisent des lemmes de fusion (Fusion Lemma) pour gérer la fermeture stratégique des itérations.
3. Préparation de Laver Indestructible : Une version adaptée du forçage de Laver pour rendre la supercompacité (ou la forte compacité) indestructible sous des forçages dirigés-fermés, tout en préservant le nombre de mesures normales d'ordre 0.
4. Forçage de Séries Stationnaires Non Réfléchissantes (NR) : Utilisé pour éliminer les cardinaux mesurables indésirables dans des intervalles spécifiques (en ajoutant des ensembles stationnaires non réfléchissants), permettant ainsi de faire coïncider les premiers cardinaux mesurables avec les premiers cardinaux fortement compacts.
5. Théorèmes de Relèvement (Lifting Theorems) : Utilisation des théorèmes de Silver et de Gap Forcing (Hamkins) pour relever les plongements élémentaires à travers les extensions génériques, prouvant ainsi la préservation de la supercompacité et la classification des nouvelles mesures.

3. Résultats Principaux

Les auteurs établissent plusieurs théorèmes majeurs démontrant que, sous des hypothèses de cohérence raisonnables (GCH + UA ou linéarité de l'ordre de Mitchell), on peut imposer n'importe quel nombre prescrit $\tau$ de mesures normales ($\tau \le \kappa^{++}$) sur des cardinaux très grands, sans utiliser de modèles internes.

• Théorème 3.1 (Les $n$ premiers cardinaux mesurables) :
  Étant donné $n$ cardinaux supercompacts $\langle \kappa_i : i < n \rangle$, il existe une extension générique où ces cardinaux sont à la fois les $n$ premiers cardinaux fortement compacts et les $n$ premiers cardinaux mesurables. De plus, chaque $\kappa_i$ porte exactement $\tau_i$ mesures normales, pour tout $\tau_i \le \kappa_i^{++}$. Cela combine le théorème d'identité de Kimchi-Magidor avec le contrôle des mesures.

• Théorème 3.2 (Premier mesurable au-dessus d'un supercompact) :
  Si $\kappa$ est supercompact et $\lambda$ est le premier cardinal mesurable au-dessus de $\kappa$, alors pour tout $\tau \le \lambda^{++}$, il existe une extension où $\kappa$ reste supercompact, $\lambda$ reste mesurable, et $\lambda$ porte exactement $\tau$ mesures normales. Cela résout un cas que la méthode de Friedman-Magidor ne pouvait pas traiter.

• Théorème 3.3 (Première limite mesurable de supercompacts) :
  Si $\kappa$ est la première limite mesurable de cardinaux supercompacts (ou forts), on peut forcer pour que $\kappa$ reste cette limite et porte exactement $\tau$ mesures normales. Ce résultat est crucial car, sous l'UA, de tels cardinaux sont les seuls candidats pour distinguer la forte compacité de la supercompacité.

• Théorème 3.5 (Généralisation du théorème Goldberg-Woodin) :
  En partant d'un modèle où $\kappa$ est une limite mesurable de supercompacts, les auteurs prouvent qu'il est possible de rendre $\kappa$ le premier cardinal mesurable et le premier cardinal fortement compact, tout en lui attribuant exactement $\tau$ mesures normales. Cela améliore un résultat antérieur de Goldberg-Woodin en éliminant les hypothèses « anti-grands cardinaux » (l'absence de cardinaux mesurables au-dessus d'un certain seuil).

• Théorème 4.4 (Hypothèse HOD de Woodin) :
  Les auteurs construisent un modèle satisfaisant l'hypothèse HOD de Woodin où le premier cardinal supercompact $\kappa$ est fortement compact dans HOD, mais porte exactement une seule mesure normale dans HOD. Cela renforce les résultats de [20] en montrant que même avec une seule mesure, la supercompacité dans $V$ ne se reflète pas nécessairement dans HOD.

4. Signification et Impact

• Indépendance des Modèles Internes : Ce travail démontre que le contrôle du nombre de mesures normales sur des cardinaux très grands ne dépend pas de la construction de modèles internes canoniques (qui sont inconnus pour les supercompacts). Cela ouvre la voie à l'étude de la structure des mesures dans des contextes où la théorie des modèles internes est muette.
• Flexibilité du Forçage de Séparation : L'article établit le forçage de séparation comme un outil puissant et flexible, capable de s'adapter aux itérations non stationnaires et de préserver des configurations de grands cardinaux complexes.
• Résolution de Problèmes Ouverts : Il résout des questions ouvertes concernant la compatibilité de la supercompacité avec des nombres arbitraires de mesures normales sur les limites de supercompacts et les cardinaux fortement compacts.
• Implications pour l'UA : Les résultats soutiennent la plausibilité de l'Axiome de l'Ultrapuissance en montrant que ses conséquences structurelles (comme l'unicité de la mesure d'ordre 0) sont compatibles avec une grande variété de configurations de mesures dans les extensions génériques.

En résumé, cet article marque une avancée significative en théorie des ensembles en fournissant une méthode robuste pour manipuler les mesures normales sur les cardinaux les plus élevés de la hiérarchie des grands cardinaux, en se passant des outils traditionnels des modèles internes.