Profinite isomorphisms, stable commutator length, and fixed point properties

En combinant les constructions de Rips avec un remplissage de Dehn itéré sur des groupes hyperboliques virtuellement spéciaux, cet article construit des paires de Grothendieck démontrant que la longueur de commutateur stable, les quasimorphismes, ainsi que les propriétés NL et FW$_\infty$, ne sont pas des invariants profinis.

L'essentiel

🕵️‍♂️ Le Grand Détective des Groupes : Quand les empreintes digitales ne suffisent plus

Imaginez que vous êtes un détective. Votre travail consiste à identifier des suspects (des groupes mathématiques) uniquement en regardant leurs empreintes digitales. En mathématiques, ces "empreintes digitales" s'appellent les quotients finis. C'est une liste de toutes les façons dont un groupe peut se "réduire" en un petit groupe fini.

Pendant longtemps, les mathématiciens pensaient que si deux suspects avaient exactement les mêmes empreintes digitales (les mêmes quotients finis), alors ils devaient être identiques dans leur comportement global. C'est ce qu'on appelle la "rigidité profinie".

Le résultat choc de ce papier :
L'auteur, Francesco Fournier-Facio, a construit deux groupes, disons N (le suspect discret) et G (le suspect bruyant), qui ont exactement les mêmes empreintes digitales. Pourtant, leur comportement est radicalement différent !

C'est comme si vous aviez deux voitures qui ont le même numéro de série et la même signature de moteur sur papier, mais que l'une est une voiture de course capable de faire des dérapages contrôlés, tandis que l'autre est un tracteur immobile qui ne peut pas bouger d'un pouce.

🎨 Les deux personnages de l'histoire

Pour bien comprendre la différence, imaginons deux mondes :

1. Le Groupe G (Le "Bruit" infini) :

   • C'est un groupe très dynamique. Il est capable de faire des choses complexes.
   • Il possède une "mémoire" infinie de ses mouvements (des quasimorphismes non bornés).
   • Il peut agir sur un arbre géant en faisant des mouvements de type "balançoire" (des actions de type général).
   • En gros, il est libre, flexible et un peu chaotique.

2. Le Groupe N (Le "Silence" absolu) :

   • C'est le jumeau de G (même empreintes digitales), mais il est totalement bloqué.
   • Il ne peut rien faire de complexe. Sa "mémoire" est vide (sa longueur de commutateur stable est nulle).
   • Il ne peut pas faire de mouvements de balancier sur un arbre.
   • Il ne contient même pas de sous-groupes libres (pas de "sous-équipes" qui peuvent bouger librement).
   • Il est comme un prisonnier qui, bien que vivant dans la même maison que G, est enchaîné dans sa cellule.

🛠️ Comment a-t-il construit cette illusion ?

L'auteur utilise une recette mathématique très astucieuse, un mélange de deux techniques :

1. La Construction de Rips (Le moule) :
   Imaginez que vous prenez un bloc de glace (un groupe hyperbolique, très rigide) et que vous y coulez un moule (le groupe Q, ici le "groupe de Higman"). Cela crée une relation entre un grand groupe (G) et un petit groupe (N). Au début, les deux sont encore très semblables et dynamiques.

2. Le "Dehn Filling" itéré (Le sculpteur patient) :
   C'est ici que la magie opère. L'auteur prend ce groupe et commence à ajouter des règles très précises, comme si on ajoutait des verrous à une porte, mais de manière infinie.

   • Il ajoute des relations qui forcent certaines parties du groupe N à se "tasser".
   • Il le fait étape par étape, comme un sculpteur qui enlève de la pierre peu à peu.
   • À chaque étape, il s'assure que les "empreintes digitales" (les quotients finis) ne changent pas. C'est comme si vous peigniez la voiture de course en gris pour qu'elle ressemble à un tracteur, sans jamais changer son numéro de série.
   • À la limite, après une infinité d'étapes, le groupe N est devenu si "tassé" qu'il a perdu toutes ses capacités dynamiques, alors que G garde sa liberté.

🌍 Pourquoi est-ce important ? (Les conséquences)

Ce papier répond à plusieurs questions posées par d'autres mathématiciens et prouve que notre intuition sur les groupes est fausse dans plusieurs domaines :

• La Longueur Stable (scl) : C'est une mesure de la complexité d'un mouvement. Le papier montre que cette mesure n'est pas visible dans les empreintes digitales. On peut avoir un groupe qui semble "simple" aux yeux d'un observateur extérieur (les quotients finis) mais qui est en réalité très complexe (ou l'inverse).
• Les Quasimorphismes : Ce sont des fonctions qui mesurent le "désordre" d'un groupe. Le papier prouve qu'on ne peut pas deviner si un groupe a du "désordre" ou non juste en regardant ses quotients finis.
• Les Propriétés de Point Fixe (NL et FW8) :
  • Imaginez un groupe essayant de bouger un objet (un espace hyperbolique ou un cube).
  • Le groupe G peut faire bouger l'objet sans jamais s'arrêter (pas de point fixe).
  • Le groupe N, pourtant identique en "empreintes", est incapable de faire bouger l'objet sans le bloquer immédiatement (il a un point fixe global).
  • Cela signifie que la capacité d'un groupe à "agir" sur l'espace n'est pas une propriété que l'on peut déduire de ses quotients finis.

💡 En résumé

Ce papier est une démonstration magistrale de la subtilité des mathématiques. Il nous dit : "Ne vous fiez pas aux apparences (ou aux empreintes digitales) !"

Deux groupes peuvent sembler identiques à l'œil nu (ou à travers leurs projections finies) mais avoir des personnalités totalement opposées : l'un peut être un acrobate infini, l'autre un bloc de pierre immobile. L'auteur a utilisé une technique de sculpture mathématique (Dehn filling itéré) pour créer ces doubles parfaits qui trompent même les détectives les plus expérimentés.

C'est une victoire de la créativité mathématique sur l'intuition, prouvant que l'univers des groupes est encore plus vaste et surprenant qu'on ne le pensait.

Résumé technique

Voici un résumé technique détaillé du papier de Francesco Fournier-Facio, intitulé « Profinite isomorphisms, stable commutator length, and fixed point properties ».

1. Problématique et Contexte

Le papier s'inscrit dans le domaine de la rigidité profinie, une question centrale en théorie des groupes qui cherche à déterminer dans quelle mesure les propriétés d'un groupe $G$ (finiment généré et résiduellement fini) sont détectables par son complété profini $\widehat{G}$.

Une propriété $P$ est dite invariante profinie si, pour deux groupes $G$ et $H$ tels que $\widehat{G} \cong \widehat{H}$, $G$ possède $P$ si et seulement si $H$ possède $P$. Bien que certains résultats positifs existent (pour certaines classes de groupes), la majorité des propriétés géométriques et algébriques connues (comme la propriété (T), l'amenabilité, ou la séparabilité de conjugaison) ont été montrées comme non invariants profinis.

L'objectif principal de cet article est de répondre à des questions ouvertes concernant des invariants liés à la géométrie des groupes et à la cohomologie bornée :

1. La longueur de commutateur stable (scl) et l'existence de quasimorphismes non bornés.
2. La propriété NL (No Loxodromics) : incapacité d'agir sur un espace hyperbolique avec un élément loxodromique.
3. La propriété $FW_\infty$ : point fixe global pour toute action sur un complexe cubique CAT(0) de dimension finie.
4. L'existence de sous-groupes libres non abéliens.

Le papier répond à une question spécifique posée par Echtler et Kammeyer [EK24] : l'existence de quasimorphismes non bornés est-elle un invariant profini ?

2. Méthodologie

L'auteur développe une nouvelle construction combinant deux outils puissants de la théorie géométrique des groupes :

A. La Construction de Rips (Version Flexible)

L'approche initiale utilise une version de la construction de Rips (adaptée par Arenas [Are24]) pour obtenir une suite exacte courte :
$$1 \to N_0 \to G_0 \to Q \to 1$$
où $G_0$ est un groupe hyperbolique virtuellement spécial (donc résiduellement fini) et $N_0$ est un noyau finiment généré. Le groupe quotient $Q$ est choisi comme le groupe de Higman, qui ne possède pas de quotients finis non triviaux et possède un espace infini de quasimorphismes homogènes. Cette configuration permet d'assurer que l'inclusion $N_0 \hookrightarrow G_0$ induit un isomorphisme des complétés profinis (selon le critère de Bridson [Bri10]).

B. Remplissage de Dehn Théorique Itéré (Iterated Group-Theoretic Dehn Filling)

Le défi principal est que, dans la construction de Rips standard, $N_0$ hérite souvent des propriétés de $G_0$ (comme l'existence de quasimorphismes). Pour corriger cela, l'auteur applique une suite itérée de remplissages de Dehn sur des groupes hyperboliques virtuellement spéciaux.

Le processus inductif fonctionne comme suit :

1. On part d'une suite exacte $1 \to N_i \to G_i \to Q \to 1$.
2. On sélectionne un sous-groupe normal $K_i$ d'indice fini dans $G_i$.
3. On utilise le Théorème du Quotient Spécial Malnormal (Malnormal Special Quotient Theorem - MSQT) [AGM16] pour ajouter des relations spécifiques (basées sur des mots de petite annulation) qui tuent progressivement la longueur de commutateur stable (ou d'autres normes intrinsèques) sur des boules de plus en plus grandes dans $N_i$.
4. Ces relations sont choisies pour préserver l'hyperbolicité et le caractère virtuellement spécial des groupes quotients $G_{i+1} = G_i / M_i$.
5. En passant à la limite inductive $G_\infty = \varinjlim G_i$ et $N_\infty = \varinjlim N_i$, on obtient un couple de Grothendieck $(N_\infty, G_\infty)$ où $N_\infty$ possède les propriétés "négatives" souhaitées (scl nul, pas de sous-groupes libres, etc.), tandis que $G_\infty$ conserve les propriétés "positives" via le quotient $Q$.

3. Résultats Principaux

Le Théorème Principal établit l'existence d'un groupe $G$ finiment généré, résiduellement fini, et d'un sous-groupe normal $N$, tels que :

1. L'inclusion $N \hookrightarrow G$ induit un isomorphisme $\widehat{N} \cong \widehat{G}$.
2. Pour $N$ :
   • La longueur de commutateur stable est nulle ($\text{scl}(g) = 0$ pour tout $g \in N$).
   • Il n'existe aucun quasimorphisme non borné sur $N$.
   • $N$ ne contient aucun sous-groupe libre non abélien.
   • $N$ possède la propriété NL (pas d'action loxodromique sur un espace hyperbolique).
   • $N$ possède la propriété $FW_\infty$ (point fixe global sur tout complexe cubique CAT(0) de dimension finie).
   • $N$ est parfait (son abélianisé est trivial) et ne se surjecte virtuellement pas sur $\mathbb{Z}$.
3. Pour $G$ :
   • La longueur de commutateur stable est non bornée.
   • L'espace des quasimorphismes homogènes est de dimension infinie.
   • $G$ admet une action de type général sur un arbre (via le quotient $Q$).

4. Contributions Techniques et Résultats Spécifiques

• Réponse à la question d'Echtler-Kammeyer : Le papier démontre que l'existence de quasimorphismes non bornés n'est pas un invariant profini.
• Nouvelles propriétés non-invariantes : Il est démontré que les propriétés NL et $FW_\infty$ ne sont pas des invariants profinis. Cela renforce le résultat antérieur sur la propriété FA (point fixe sur les arbres) [CWLRS24].
• Sous-groupes libres et amenabilité : Bien que l'existence de sous-groupes libres non abéliens ait déjà été montrée comme non-invariante par Kochloukova et Shah [KS23] (via des groupes aménables), cet article fournit un exemple de nature différente où le sous-groupe $N$ est non amenable (il admet un quotient infini avec la propriété (T)), tout en n'ayant pas de sous-groupes libres non abéliens.
• Longueur stable généralisée : La méthode s'applique non seulement au scl, mais aussi à la longueur stable $w$-length pour tout mot réduit non trivial, montrant que ces longueurs ne sont pas des invariants profinis.

5. Signification et Implications

• Flexibilité de la méthode : L'approche combinant Rips et le remplissage de Dehn itéré est très flexible. Elle permet d'imposer simultanément plusieurs contraintes algébriques et géométriques (torsion-free, hyperbolique, virtuellement spécial, propriétés de cohomologie, etc.) sur les groupes limites.
• Distinction entre invariants profinis et géométriques : Le travail souligne la subtilité de la rigidité profinie. Des groupes peuvent être indiscernables par leurs quotients finis tout en ayant des comportements géométriques radicalement différents (l'un agissant "librement" sur des espaces hyperboliques, l'autre étant rigide).
• Limites et questions ouvertes :
  • L'auteur note que sa méthode ne permet pas de prouver que la perfection uniforme (longueur de commutateur bornée) est un invariant profini, car la construction tend à produire des groupes avec une théorie positive triviale.
  • La question de savoir si la propriété FW (sur les complexes cubiques de dimension infinie) est un invariant profini reste ouverte, bien que la construction suggère que $N_\infty$ pourrait agir proprement sur un complexe cubique.
  • La relation entre la cohomologie bornée de dimension 2 et les invariants profinis reste partiellement ouverte dans le contexte de cette construction.

En résumé, ce papier fournit une contre-exemple robuste et polyvalent qui élargit considérablement la liste des propriétés géométriques et algébriques qui échappent à la détection par le complété profini, en utilisant une ingénierie fine de groupes hyperboliques via le remplissage de Dehn itéré.