But some are more equal than others

Cet article calcule la probabilité que deux patineurs obtiennent exactement le même score, arrondi à trois décimales, après quatre épreuves.

L'essentiel

🥅 L'Égalité Parfaite : Quand deux skateurs deviennent des jumeaux

Imaginez que vous regardez une course de patinage de vitesse. C'est un sport où l'on cherche à être le plus rapide, où l'on sépare les médailles d'or et d'argent avec une précision chirurgicale : parfois, c'est un millimètre, parfois une milliseconde qui fait la différence. C'est comme essayer de distinguer deux grains de sable sur une plage immense.

Mais, il y a eu un jour, en Norvège, où quelque chose d'absolument impossible (ou presque) s'est produit.

🏆 L'histoire d'Allan et Odin

Deux jeunes patineurs, Allan et Odin, étaient les favoris. Ils ont couru quatre courses différentes (deux fois 500 mètres, deux fois 1000 mètres). À la fin, on additionne leurs temps pour voir qui est le meilleur.

• Le scénario : Allan a été un peu plus rapide sur certaines courses, Odin sur d'autres.
• Le suspense : Le dimanche, Allan a fait un temps incroyable. Odin savait qu'il devait battre son propre record pour rattraper Allan.
• Le miracle : Odin a patiné comme un démon et a réalisé exactement le temps qu'il fallait : 1 minute 13 secondes et 07 centièmes.

Résultat ? Leurs scores finaux étaient identiques, jusqu'à la troisième décimale. C'est comme si deux jumeaux avaient couru un marathon et étaient arrivés exactement au même instant, sans aucune différence. Pour la première fois dans l'histoire du patinage, ils ont partagé la médaille d'or.

🎲 Pourquoi est-ce si incroyable ? (L'analogie du lancer de dés)

Le texte se demande : « Quelle est la probabilité que cela arrive ? »

Pour comprendre, imaginez que vous lancez deux dés. Il est facile d'obtenir un 6 ou un 3. Mais imaginez que vous deviez lancer deux dés des centaines de fois, et que la somme totale de vos lancers soit exactement la même pour les deux joueurs, jusqu'à la millième décimale. C'est extrêmement rare.

L'auteur, un mathématicien, utilise la "statistique" pour mesurer cette rareté. Il compare les performances des patineurs à des courbes de chance (comme une cloche de distribution).

• Si deux patineurs sont de niveau identique, la chance qu'ils fassent un score égal est d'environ 2,8 chances sur 1000.
• C'est comme si vous deviez attendre 350 week-ends de compétition pour voir un tel miracle se produire une seule fois.

⚖️ La nuance des mathématiciens

Le texte ajoute une petite touche de réalisme : en vrai, deux patineurs ne sont jamais exactement identiques. L'un est peut-être un tout petit peu plus fort que l'autre (comme un cheval de course qui a un souffle de plus).
Si on prend cela en compte, la probabilité devient encore plus faible : environ 2,3 chances sur 1000.

Et si on regarde encore plus loin, jusqu'à la millième de seconde (ce que les humains ne peuvent pas voir, mais que les ordinateurs peuvent calculer), la probabilité tombe à moins de 1 chance sur 1000. C'est un événement "freak", un coup de chance cosmique.

🌍 Leçon de vie : La loi des grands nombres

L'auteur nous rappelle une chose importante : avec assez de temps et assez de courses, tout peut arriver.
Il cite un exemple drôle : il a raconté à sa grand-mère qu'il avait écrit un article dans un magazine de comics (Kalle Anka), et elle n'avait jamais entendu parler de lui. C'est un peu comme ça : dans l'immensité du monde, des choses étranges et improbables se produisent chaque jour, même si elles semblent magiques.

En résumé :
Ce papier raconte l'histoire d'un moment de sport pur où deux athlètes ont atteint une égalité parfaite, défiant les probabilités. C'est une preuve que parfois, la vie (et les mathématiques) nous offrent des surprises si belles qu'elles méritent d'être célébrées, même si elles ne devraient jamais arriver. Allan et Odin ne sont pas juste deux patineurs, ils sont devenus une légende vivante de l'égalité parfaite.

Résumé technique

Titre : Mais certains sont plus égaux que les autres : Une analyse probabiliste d'un partage historique de médaille d'or en patinage de vitesse

Auteur : Nils Lid Hjort (Département de Mathématiques, Université d'Oslo)
Date : Janvier 2017 (version arXiv mise à jour en mars 2026)

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1. Problématique

L'article aborde un événement statistique sans précédent dans l'histoire du patinage de vitesse : le partage de la médaille d'or lors des Championnats de Norvège de sprint junior en 2017. Deux patineurs, Allan Dahl Johansson et Odin By Farstad, ont terminé avec des sommes de points (pointsums) exactement identiques après quatre distances (500m, 1000m, 500m, 1000m), avec une précision de trois décimales.

Le problème central est de quantifier la probabilité d'un tel événement. Contrairement au ski de fond où les règles ont été modifiées pour ignorer les centièmes de seconde (après l'épisode de 1980), l'Union Internationale de Patinage (ISU) mesure les temps avec une précision extrême. L'auteur s'interroge sur la vraisemblance d'une égalité parfaite (jusqu'au millième de seconde ou même au centième de seconde dans le calcul des points) entre deux athlètes de haut niveau.

2. Méthodologie

L'auteur utilise une approche probabiliste basée sur la théorie des distributions normales pour modéliser la variabilité des performances des patineurs.

• Modélisation des données :

  • Les temps de chaque patineur sur les quatre distances sont notés $X_j$ et $Y_j$ (pour les patineurs A et B).
  • On suppose que ces temps suivent des distributions normales indépendantes : $X_j \sim N(\mu_1, \sigma^2)$ et $Y_j \sim N(\mu_2, \sigma^2)$.
  • La somme des points $X$ et $Y$ est la somme de ces quatre variables.
  • La différence des sommes de points est définie par $Z = X - Y$.

• Distribution de la différence :

  • La variable $Z$ suit une loi normale : $Z \sim N(4\delta, 8\sigma^2)$, où $\delta = \mu_1 - \mu_2$ représente la différence de niveau moyen entre les deux patineurs.

• Calcul de la probabilité d'égalité :

  • La probabilité $p$ que les deux patineurs soient à une distance inférieure à un seuil $\varepsilon$ (définissant l'égalité) est calculée en intégrant la densité normale autour de zéro.
  • La formule dérivée est :
    $$p(\delta, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{\delta^2}{\sigma^2}\right) \frac{2\varepsilon}{\sqrt{8}\sigma}$$
  • Paramètres utilisés :
    • $\varepsilon = 0.005$ (pour une égalité au centième de seconde, soit la précision officielle des points).
    • $\sigma = 0.50$ (estimation de l'écart-type des performances d'un patineur sur la distance de 500m, basé sur des données empiriques).
    • $\delta$ : variable selon l'hypothèse (égalité parfaite des niveaux ou légère différence).

• Extension bayésienne :

  • Pour tenir compte du fait que les patineurs ne sont pas mathématiquement identiques, l'auteur introduit une distribution a priori sur la différence de niveau $\delta \sim N(0, \tau^2)$, où $\tau$ représente l'hétérogénéité attendue entre deux champions.

3. Résultats Principaux

L'analyse fournit plusieurs estimations de probabilité selon les hypothèses de précision et de niveau des athlètes :

1. Cas d'égalité parfaite de niveau ($\delta = 0$) et précision de 0,01 (seuil $\varepsilon = 0.005$) :

   • Probabilité estimée : 0,282 % (ou 2,82 pour mille).
   • Interprétation : Si deux patineurs de niveau identique s'affrontent sur 350 week-ends (environ 7 ans), on s'attend à ce qu'ils partagent l'or une fois.

2. Cas de niveaux légèrement différents ($\tau \approx 0,25$ seconde) :

   • La probabilité diminue légèrement à 0,230 % (2,30 pour mille).

3. Cas de précision extrême (niveau 0,001, soit $\varepsilon = 0.001$) :

   • Bien que les temps officiels soient au centième, les chronométrages informatiques internes ont révélé une égalité au millième.
   • Pour des patineurs de niveau identique : 0,056 % (0,56 pour mille).
   • Pour des patineurs de niveaux légèrement différents : 0,043 % (0,43 pour mille).

4. Contributions Clés

• Quantification d'un événement rare : L'article transforme une anecdote sportive historique en un problème mathématique résolu, fournissant des ordres de grandeur pour la rareté d'un tel partage de médaille.
• Application de la "Loi des Très Grands Nombres" : L'auteur rappelle le travail de Diaconis et Mosteller (1989), soulignant que dans un grand nombre d'événements sportifs, des résultats "freaks" (comme celui-ci) sont statistiquement inévitables, même si leur probabilité a posteriori semble infime.
• Nuance entre précision officielle et réalité physique : L'article distingue l'égalité officielle (au centième) de l'égalité réelle (au millième), montrant comment la précision du modèle change drastiquement la probabilité calculée.
• Contexte historique et culturel : L'article met en perspective cet événement par rapport à d'autres "presque-égalités" célèbres (Bródka/Verweij à Sotchi 2014, Mieto/Wassberg à Lake Placid 1980) et illustre la fascination des statisticiens pour les événements rares.

5. Signification et Conclusion

La signification de ce papier réside dans sa capacité à démontrer que l'événement "Allan = Odin", bien que spectaculaire et inédit, n'est pas un miracle surnaturel mais un résultat plausible de la variabilité naturelle des performances humaines combinée à un grand nombre d'épreuves sportives mondiales.

L'auteur conclut avec une note d'humour et d'espoir, suggérant que si de telles choses sont "condamnées à arriver" (comme le suggère la loi des grands nombres), il est statistiquement souhaitable que ces deux patineurs partagent à nouveau l'or lors des Jeux Olympiques de 2026 à Milan. L'article sert de pont entre la statistique pure, l'histoire du sport et la philosophie de la probabilité conditionnelle ("what are we conditioning on?").