On $\frac{1}{n!}$ in Cantor sets

Cet article démontre que l'ensemble des nombres de la forme $1/n!$ appartenant à l'ensemble de Cantor ternaire est exactement $\{1, 1/5!\}$, répondant ainsi à une question de Jiang et généralisant ce résultat pour montrer que tout ensemble de Cantor généralisé ne contient qu'un nombre fini de tels éléments.

L'essentiel

🕵️‍♂️ Le Grand Jeu de la Chasse aux Trésors Cachés

Imaginez que vous avez deux objets très différents :

1. Le "Set de Cantor" : C'est une sorte de fractale, un objet mathématique qui ressemble à une ligne de crêpes où l'on a enlevé le tiers du milieu, puis le tiers du milieu des morceaux restants, et ainsi de suite à l'infini. C'est un objet "poussière" : il y a des trous partout, mais il reste quand même des points. C'est comme un gâteau où l'on a retiré des parts de manière très précise, encore et encore.
2. La "Série Factorielle" : C'est une liste de nombres très spéciaux : $1/1!$, $1/2!$, $1/3!$, $1/4!$, etc. (où $n!$ signifie $1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$). Ces nombres deviennent incroyablement petits très vite.

La question des chercheurs :
Si l'on prend cette liste de nombres ($1/n!$) et que l'on regarde lesquels d'entre eux tombent exactement sur les points restants du "Set de Cantor", combien y en a-t-il ? Est-ce qu'il y en a une infinité ? Un seul ? Aucun ?

C'est un peu comme si vous jetiez une pluie de gouttes d'eau (les nombres $1/n!$) sur un tamis très fin (le Set de Cantor). Combien de gouttes vont passer à travers les mailles et se poser sur le tamis ?

🎯 La Révélation : Une Chasse au Trésor Limitée

Les auteurs de l'article (Kehao Lin, Yufeng Wu et Siyu Yang) ont répondu à cette question pour le Set de Cantor classique (celui basé sur le chiffre 3).

Leur découverte est surprenante et simple :
Il n'y a que deux nombres dans toute l'histoire des mathématiques qui tombent exactement dans ce Set de Cantor :

1. Le nombre 1 (qui est le début de la liste).
2. Le nombre 1/120 (qui est $1/5!$, car $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$).

Tout le reste ? Rien. Aucune autre goutte d'eau ne tombe sur le tamis. Pour tous les autres nombres de la forme $1/n!$ (comme $1/6!$, $1/7!$, etc.), ils glissent dans les trous.

🛠️ Comment ont-ils trouvé cela ? (L'Analogie de la Clé et de la Serrure)

Pour prouver cela, les chercheurs n'ont pas simplement calculé des milliards de nombres. Ils ont utilisé une astuce mathématique intelligente, comme une clé pour ouvrir une serrure.

1. La règle du jeu (Les chiffres manquants) :
   Le Set de Cantor est construit avec des chiffres spécifiques (ici, on n'utilise que les chiffres 0 et 2 en base 3). Si un nombre contient le chiffre "1" dans son écriture mathématique, il est hors du Set. C'est comme si le Set de Cantor était un club très exclusif qui n'accepte que les membres portant un badge "0" ou "2".

2. L'outil de détection (La "Vitesse" des nombres) :
   Les chercheurs ont utilisé un outil appelé "l'ordre multiplicatif". Imaginez que chaque nombre a une "vitesse" ou un "rythme" quand on le transforme en écriture décimale (ou ternaire ici).

   • Ils ont prouvé que pour les très grands nombres ($n$ très grand), le rythme de $1/n!$ devient trop rapide et trop complexe pour rester dans le club exclusif du Set de Cantor.
   • C'est comme si, pour entrer dans le club, il fallait marcher à un rythme très lent et régulier. Les petits nombres ($1/1!$, $1/5!$) marchent bien. Mais dès que le nombre devient trop grand ($n \ge 21$), la marche devient si frénétique et chaotique qu'il est impossible de rester dans les limites du club.

3. Le calcul final :
   Grâce à cette règle, ils ont pu dire : "On n'a besoin de vérifier que les nombres jusqu'à un certain seuil (ici, jusqu'à $n=20$). Au-delà, c'est mathématiquement impossible."
   Après avoir vérifié les 20 premiers, ils ont trouvé que seuls 1 et 1/120 fonctionnaient.

🌍 Pourquoi c'est important ?

Ce papier ne parle pas seulement d'un seul Set de Cantor. Les auteurs montrent que cette méthode fonctionne pour n'importe quel type de "Set manquant" (des objets similaires où l'on retire des chiffres).

Ils ont créé un algorithme (une recette de cuisine mathématique) qui permet de dire, pour n'importe quel type de fractale de ce genre, combien de nombres de la forme $1/n!$ s'y trouvent. La bonne nouvelle ? La réponse est toujours finie. Il y a toujours un nombre limité de ces trésors cachés, et on peut les trouver tous.

📝 En résumé

• Le problème : Trouver quels nombres spéciaux ($1/n!$) vivent dans une fractale complexe (le Set de Cantor).
• La réponse : Pour le Set de Cantor classique, il n'y en a que deux : 1 et 1/120.
• La méthode : Une preuve intelligente qui montre que pour les grands nombres, c'est mathématiquement impossible de rester dans la fractale.
• L'impact : Cette méthode s'applique à une grande famille de fractales, prouvant qu'il n'y a jamais une infinité de ces nombres cachés, et qu'on peut les lister tous.

C'est une belle victoire de la logique pure : au lieu de chercher une aiguille dans une botte de foin à l'infini, les chercheurs ont prouvé que la botte de foin n'était pas si grande que ça, et qu'il n'y avait que deux aiguilles au fond !

Résumé technique

1. Problématique et Contexte

L'article s'attaque à un problème fondamental en théorie des nombres et en géométrie fractale : la description de l'intersection entre une suite spécifique de nombres rationnels et un ensemble de Cantor.

• Le problème central : Déterminer l'intersection entre l'ensemble des inverses de factorielles, noté $S = \{ \frac{1}{n!} : n \in \mathbb{N} \}$, et l'ensemble de Cantor classique à tiers intermédiaires, noté $C$.
• Contexte mathématique : Ce problème est lié à la célèbre (et toujours ouverte) problème de similarité d'Erdős, qui questionne si tout ensemble mesurable de mesure de Lebesgue positive contient une copie affine de certaines suites spécifiques (comme $\{1/2^n\}$ ou $\{1/n!\}$).
• Question précédente : Récemment, Jiang et al. (2026) ont étudié les intersections de suites avec des ensembles de Cantor et ont posé la question spécifique de déterminer $S \cap C$. Ils avaient noté que $1$ et $1/5!$ appartenaient à cette intersection, mais la complétude de cet ensemble restait inconnue.

2. Méthodologie

Les auteurs développent une approche combinant la théorie des nombres (valuation $p$-adique, ordre multiplicatif) et les propriétés des développements en base $m$.

A. Définitions et Cadre Général

L'étude est généralisée aux ensembles à chiffres manquants ($K_{m,D}$). Pour une base $m \ge 3$ et un ensemble de chiffres $D \subset \{0, \dots, m-1\}$ tel que $1 < \#D < m$, l'ensemble $K_{m,D}$ contient les nombres dont le développement en base $m$ n'utilise que les chiffres de $D$.

• L'ensemble de Cantor classique correspond à $K_{3, \{0,2\}}$.

B. Outils Théoriques Clés

1. Développement périodique : Pour une fraction irréductible $r/q$ avec $\gcd(q, m)=1$, le développement en base $m$ est purement périodique avec une période de longueur $\text{ord}_q(m)$ (l'ordre multiplicatif de $m$ modulo $q$).
2. Estimation de Korobov (Lemme 2.1) : En s'inspirant d'un travail récent de Shparlinski, les auteurs utilisent un théorème de Korobov qui borne la déviation du nombre d'occurrences d'un chiffre $i$ dans la période du développement de $r/q$.
   • Si un chiffre $i$ est absent de $D$, alors le nombre d'occurrences $N_i(r/q)$ est nul.
   • Cela impose une contrainte forte : $\text{ord}_q(m) \le 2m \cdot \text{ord}_{\text{rad}(q)}(m)$.

C. Stratégie de Preuve pour $1/n!$

Pour un entier $n$, on décompose $n! = m^{\nu_m(n!)} \cdot M_n$, où $M_n$ est l'entier obtenu en retirant tous les facteurs $m$ de $n!$.

• Si $1/n! \in K_{m,D}$, alors par invariance de l'ensemble sous l'application $x \mapsto mx \pmod 1$, on a nécessairement $1/M_n \in K_{m,D}$.
• Cela implique que l'inégalité $\text{ord}_{M_n}(m) \le 2m \cdot \text{ord}_{\text{rad}(M_n)}(m)$ doit être satisfaite.
• L'argument de croissance : Les auteurs démontrent que pour $n$ suffisamment grand, la croissance de l'ordre multiplicatif $\text{ord}_{M_n}(m)$ (liée à la formule de Legendre pour la valuation des factorielles) dépasse exponentiellement la borne imposée par le membre de droite.
• Ils prouvent que pour $n \ge 21$ (dans le cas du Cantor classique), l'inégalité est violée, ce qui exclut $1/n!$ de l'ensemble.

3. Résultats Principaux

Théorème 1.2 (Cas de l'ensemble de Cantor classique)

Les auteurs répondent affirmativement et complètement à la question de Jiang et al. :
$$\left\{ \frac{1}{n!} : n \in \mathbb{N} \right\} \cap C = \left\{ 1, \frac{1}{5!} \right\}$$
La vérification manuelle pour $1 \le n \le 20$ confirme que seuls $n=1$ et $n=5$ fonctionnent. Pour tout $n \ge 21$, $1/n! \notin C$.

Théorème 1.4 (Généralisation aux ensembles à chiffres manquants)

Pour tout ensemble $K_{m,D}$ défini comme ci-dessus :

1. L'intersection $\{ 1/n! : n \in \mathbb{N} \} \cap K_{m,D}$ est finie.
2. Elle est effectivement déterminable. Il existe un seuil $n_0$ (calculable algorithmiquement) tel que pour tout $n \ge n_0$, $1/n! \notin K_{m,D}$.

Algorithme et Exemples

L'article propose un algorithme (Algorithme 1) pour calculer cette intersection pour n'importe quel ensemble $K_{m,D}$. Le processus consiste à :

1. Choisir un nombre premier $p$ premier avec $m$.
2. Calculer les ordres multiplicatifs et les valuations pour déterminer le seuil $n_0$.
3. Vérifier exhaustivement les cas $1 \le n < n_0$.

Le Tableau 1 fournit des exemples concrets :

• Pour $(3, \{0, 1\})$, l'intersection est $\{1/2!, 1/3!, 1/4!, 1/6!\}$.
• Pour $(4, \{0, 3\})$, l'intersection est $\{1\}$.
• Pour $(5, \{0, 4\})$, l'intersection est $\{1, 1/6\}$.

4. Signification et Contributions

• Résolution d'une question ouverte : L'article résout définitivement la question posée par Jiang et al. concernant l'intersection des inverses de factorielles avec l'ensemble de Cantor.
• Généralisation puissante : Au-delà du cas spécifique du Cantor, la méthode démontre que pour toute classe d'ensembles à chiffres manquants, le nombre d'inverses de factorielles contenus est fini. Cela établit une propriété de "rareté" forte de ces nombres rationnels dans les fractales.
• Approche effective : Contrairement à de nombreux résultats d'existence en théorie des nombres, ce travail fournit une méthode algorithmique concrète pour trouver tous les éléments de l'intersection, rendant le résultat calculable et vérifiable.
• Lien interdisciplinaire : Le papier renforce le lien entre l'analyse diophantienne sur les fractales (théorie de la mesure, systèmes dynamiques) et la théorie des nombres classique (ordres multiplicatifs, valuations $p$-adiques), en utilisant des outils de Korobov et Shparlinski pour obtenir des résultats quantitatifs précis.

En résumé, ce travail démontre que les nombres de la forme $1/n!$ sont extrêmement rares dans les ensembles de Cantor, n'y apparaissant que pour un nombre fini et petit d'indices $n$, et fournit les outils pour identifier exactement ces indices pour une large classe de fractales.