1404 पेपर
यह शोध पत्र एक ऑक्टिक फर्माट सतह (octic Fermat surface) पर विशिष्ट कोहोमोलॉजी वर्गों (cohomology classes) से जुड़े नोदर-लेफ़शेत्ज़ लोकी (Noether-Lefschetz loci) के एक विशिष्ट सेट-थ्योरेटिक संरचना को प्रदर्शित करके, जो अनुमानित अधिकतम कोडिमेंशन (codimension) से अधिक है, जे. हैरिस के एक अनुमान के विरुद्ध एक प्रति-उदाहरण (counterexample) के लिए पुख्ता प्रमाण प्रस्तुत करता है।
यह शोध पत्र 'परफेक्ट इडिल' (perfect idylls) पर रैखिक स्थानों (linear spaces) की एक ऐसी श्रेणी का निर्माण करता है जो मैट्रॉइड स्वतंत्रता अभिगृहीतों (matroid independence axioms) को संतुष्ट करती है और उन श्रेणीगत कारणों को स्पष्ट करती है जिनके कारण में सहज रैखिक बीजगणित विफल हो जाता है, जिससे यह मैट्रॉइड्स, मॉड्यूल्स और परफेक्ट इडिल्स पर मैट्रॉइड्स के सिद्धांतों के बीच एक सेतु बनाता है।
यह शोध पत्र एक रेखा युक्त अत्यंत सामान्य चिकनी चतुर्थ घात सतह (क्वार्टिक सरफेस) पर वक्रों की ज्यामिति की जांच करता है, जिसमें यह पहचान की गई है कि कौन से रैखिक निकाय (लिनियर सिस्टम्स) चिकने अविभाज्य वक्र उत्पन्न करते हैं, हिल्बर्ट स्कीम के भीतर उनकी चिकनाई को सत्यापित किया गया है, और किसी भी ऐसे वक्र के लिए राव फलन (राओ फंक्शन) की गणना की गई है।
यह शोध पत्र स्पष्ट रूप से उन बीजगणितीय हेके वर्णों (algebraic Hecke characters) का निर्माण और निर्धारण करता है जो एक संख्या क्षेत्र (number field) पर परिभाषित उन K3 सतहों से संबद्ध हैं जिनमें सम्मिश्र गुणन (complex multiplication) विद्यमान है, जिसमें सरल एबेलियन सतहों से जुड़ी कुमर सतहों (Kummer surfaces) पर विशिष्ट ध्यान केंद्रित किया गया है।
विलक्षणताओं के समाधान (resolution of singularities) को मानते हुए, यह शोधपत्र लघुगणकीय डे रॅम-विट शिफों (logarithmic de Rham-Witt sheaves) में गुणांकों के साथ एक नियमित युग्म के टैम कोहोमोलॉजी (tame cohomology) के लिए एक शुद्धता समरूपता (purity isomorphism) स्थापित करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि इन शिफों का पर अपवादजनक प्रति-प्रतिबिंब (exceptional inverse image), उप-स्कीम पर इन शिफों के एक विस्थापित संस्करण (shifted version) के स्वाभाविक रूप से समरूप है।
यह शोध पत्र पॉपोव-विनबर्गेवरियटीज़ (Popov-Vinberg varieties) की इंटरसेक्शन कोहोमोलॉजी (intersection cohomology) की गणना करने के लिए एक पुनरावर्ती प्रक्रिया प्रस्तुत करता है, जो कि विलक्षण अफ़ाइन वैरायटीज़ (singular affine varieties) हैं जिनमें बेसिक अफ़ाइन स्पेस सम्मिलित है, जिसमें विशेष रूप से के मामले पर ध्यान केंद्रित किया गया है।
यह शोध पत्र हॉडॉर्फ क्लोजर (Hausdorff closure) के माध्यम से टोटली नॉन-नेगेटिव भागों को परिभाषित करके, डबल ब्रुअट सेल्स (double Bruhat cells) को प्रस्तुत करके, और स्पष्ट धनात्मक पैरामीट्राइजेशन (positive parametrizations) तथा सबट्रैक्शन-फ्री ट्रांजिशन मैप्स (subtraction-free transition maps) के साथ एक सेल डिकम्पोजिशन को सिद्ध करके सममित स्थानों के लिए टोटल पॉजिटिविटी का एक व्यापक सिद्धांत स्थापित करता है।
यह शोध पत्र प्रोफिनेट समूहों के लिए परिष्कृत बोरेल पूर्णता (Borel completeness) की सूक्ष्म अवधारणाओं को पेश करके और यह प्रदर्शित करके कि कैसे ये अवधारणाएं स्मूथ आर्टिन मोटिव्स (smooth Artin motives) को ब्रेडन कोहोमोलॉजी स्पेक्ट्रा (Bredon cohomology spectra) पर मॉड्यूल के रूप में अभिलक्षित करती हैं और एटाले शिफ्स (étale sheaves) तथा हाइपरशीव्स (hypersheaves) के बीच के अंतर को स्पष्ट करती हैं, प्रोफिनेट बोरेल इक्विवैरिएंट होमोटॉपी थ्योरी और बीजगणितीय ज्यामिति के बीच एक संबंध स्थापित करता है।
यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि धनात्मक विशेषता (positive characteristic) वाले एक सामान्य वक्र (general curve) के लिए, शून्य निश्चयांक (trivial determinant) वाले रैंक 2 वेक्टर बंडलों के मोडुलि स्पेस पर वर्शिएबंंग (Verschiebung) मानचित्र की जेनेरिक डिग्री एक क्वाजी-पॉलीनोमियल के बजाय एक बहुपद (polynomial) है, और इसका स्पष्ट सूत्र प्रदान करता है।
यह शोधपत्र स्थापित करता है कि मॉड्यूलर वक्र के ट्रिपल उत्पाद पर एक विशिष्ट बीजगणितीय चक्र (algebraic cycle) शून्य-समरूप (null-homologous) है और संबद्ध ट्विस्टेड ट्रिपल प्रोडक्ट -फलन का वैश्विक रूट नंबर (global root number) $-1$ है, जो मानक अनुमानों के तहत इस बात का पुख्ता प्रमाण प्रदान करता है कि वह चक्र गैर-टॉर्शन (non-torsion) है।