1405 पेपर
यह शोध पत्र अननॉर्मलाइज्ड (unnormalized) सेल्फ-अटेंशन नेटवर्क्स के फंक्शन स्पेस का विश्लेषण करने के लिए बीजगणितीय ज्यामिति (algebraic geometry) का उपयोग करता है, जो उनकी पहचान क्षमता (identifiability) और आयाम (dimension) को स्थापित करता है और सिंगुलर बिंदुओं (singular points) को अभिलक्षित करता है तथा नॉर्मलाइज्ड आर्किटेक्चर के लिए इन परिणामों का अनुमान लगाता है।
यह शोध पत्र बहुपद न्यूरल नेटवर्क के फलन स्थानों (function spaces) का विश्लेषण करने के लिए बीजगणितीय ज्यामिति (algebraic geometry) का उपयोग करता है, जो उनकी पहचान क्षमता (identifiability) और विमा (dimensionality) को स्थापित करता है और स्पार्स उप-नेटवर्कों (sparse subnetworks) से उत्पन्न होने वाले विलक्षणताओं (singularities) को अभिलक्षित करता है ताकि एमएलपी (MLPs) में स्पार्सिटी बायस (sparsity bias) के ज्यामितीय मूलों की व्याख्या की जा सके।
यह शोध पत्र "प्रोफाइल्स" (profiles) की अवधारणा प्रस्तुत करता है ताकि यह स्पष्ट किया जा सके कि धनात्मक अभिलक्षण (positive characteristic) में पूर्ण प्रतिच्छेदन (complete intersections) अप्रत्याशित रूप से सरल क्यों होते हैं, यह प्रदर्शित करते हुए कि छोटे प्रोफाइल वाले प्रतिच्छेदन में कई रैखिक स्थान (linear spaces) होते हैं और जब उनका आयाम उनके प्रोफाइल के सापेक्ष पर्याप्त रूप से बड़ा होता है, तो वे एकरैखीय (unirational) होते हैं।
यह शोधपत्र इनवोल्यूटिव बीजगणितों (involutive algebras) पर सिम्पलेक्टिक और इंडेफिनेट ऑर्थोगोनल समूहों के लिए स्पष्ट सिमेट्रिक स्पेस मॉडल का निर्माण करके एक व्यापक ज्यामितीय ढांचा स्थापित करता है, जिन्हें फिर हिग्स बंडलों (Higgs bundles) की नई ज्यामितीय व्याख्याओं को प्राप्त करने, अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूहों के माध्यम से मोडुली स्पेस घटक गणना करने और नवीन गुणनखंडों (factorizations) के माध्यम से हिचिन मॉर्फिज्म (Hitchin morphism) को सरल बनाने के लिए लागू किया जाता है।
यह शोध पत्र संबंधित मॉडुलि स्टैक्स (moduli stacks) की गैर-क्वासी-कॉम्पैक्ट प्रकृति को संभालने के लिए लिमिट कैटेगरीज़ (limit categories) का उपयोग करते हुए, रिड्यूस्ड स्पेक्ट्रल कर्व्स (reduced spectral curves) के लोकस पर के लिए डोलबौल्ट ज्योमेट्रिक लैंगलैंड्स पत्राचार (Dolbeault geometric Langlands correspondence) को स्थापित करता है, जिससे अधिक व्यापकता में इस पत्राचार को सिद्ध करने के लिए एक आधारभूत चरण और रणनीतिक ढांचा प्रदान होता है।
यह शोध पत्र एक लूपलेस मैट्रॉइड (loopless matroid) से संबद्ध टोरिक वैराइटी (toric variety) के बीजगणितीय कोबॉर्डिज्म रिंग (algebraic cobordism ring) के लिए दो कॉम्बिनेटोरियल प्रस्तुतिकरण स्थापित करता है, यह सिद्ध करते हुए कि यह मैट्रॉइड के चाउ रिंग (Chow ring) और बिंदु के कोबॉर्डिज्म रिंग (point's cobordism ring) के टेंसर उत्पाद (tensor product) के समरूप (isomorphic) है, और आगे यह भी दर्शाता है कि जटिल हाइपरप्लेन व्यवस्थाओं (complex hyperplane arrangements) के लिए, संबद्ध वंडरफुल वैराइटी (wonderful variety) और टोरिक वैराइटी के कोबॉर्डिज्म रिंग जटिल कोबॉर्डिज्म रिंग के समान होते हैं।
यह शोधपत्र परिमित क्षेत्रों (finite fields) पर बहुपद परिवारों के विभाजन व्यवहार का विश्लेषण करने के लिए एक सुलभ, शास्त्रीय गैलवा-सैद्धांतिक ढांचा प्रदान करता है, जो वर्ग मानों की स्वतंत्रता के हालिया परिणामों को -वें घात अवशेषों (n-th power residues) तक सामान्यीकृत करता है और इन शर्तों को कुमर विस्तारों (Kummer extensions) की पारस्परिक रैखिक विलगता (mutual linear disjointness) के रूप में पुनर्गठित करता है।
यह शोधपत्र प्रदर्शित करता है कि वर्तमान में ज्ञात सभी चिकने (smooth) पिकार्ड रैंक 1 वाले फ़ानो फोरफोल्ड्स (Fano fourfolds) में से, केवल प्रक्षेपिक स्थान (projective space) ही बॉट वैनिशिंग (Bott vanishing) को संतुष्ट करता है, जो यह दर्शाता है कि यह 1 से अधिक डिग्री वाले एंडोमॉर्फिज्म (endomorphism) को स्वीकार करने वाला एकमात्र ऐसा विविध (variety) है, जबकि साथ ही यह सममित (symmetric) और विषम-सममित (skew-symmetric) डिजेनेरेसी लोकी (degeneracy loci) तथा भारित प्रक्षेपिक स्थानों (weighted projective spaces) के लिए नए शुबर्ट2 फलनों (Schubert2 functions) को भी प्रस्तुत करता है।
टेराओ के फ्रीनेस अनुमान (Terao's freeness conjecture) से प्रेरित होकर, यह शोध पत्र एक सामान्य निर्माण प्रस्तुत करता है जो जटिल प्रक्षेप वत् तल (complex projective plane) के उदाहरणों से शुरू होकर, मनमाने आयामों और आकारों में ज़िगलर युग्मों (Ziegler pairs)—जो समान अंतर्निहित मैट्रॉइड साझा करते हैं लेकिन लॉगरिदमिक व्युत्पन्न के भिन्न मॉड्यूल रखते हैं—के पहले ज्ञात परिवारों को उत्पन्न करता है।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि प्रत्येक डिग्री के मानचित्रों को स्वीकार करने वाले एक जीनस-2 वक्र और एक दीर्घवृत्त वक्र (elliptic curve) के युग्मों के ठीक बीस समरूपता वर्ग (isomorphism classes) हैं, और साथ ही यह भी सिद्ध करता है कि किसी भी जीनस-2 वक्र के लिए, एक गैर-न्यूनतम डिग्री मौजूद है जिसके लिए किसी दीर्घवृत्त वक्र में कोई मानचित्र अस्तित्व में नहीं है।