1415 पेपर
यह शोध पत्र एक उन्नत सेल अपघटन प्रमेय (enhanced cell decomposition theorem) और मोटिविक कोहॉमोलॉजी तकनीकों का उपयोग करते हुए अत्यंत जेनेरिक -कैरक्टर वैरायटीज़ के लिए कमजोर ज्यामितीय अनुमान (weak geometric conjecture) को स्थापित करता है, जिससे यह सिद्ध होता है कि उनके द्वैत सीमा कॉम्प्लेक्स (dual boundary complexes) आयाम के गोलों (spheres) के होमोटॉपी तुल्य (homotopy equivalent) हैं।
यह शोध पत्र प्रिम निर्माण (Prym construction) और शास्त्रीय ज्यामिति का उपयोग करते हुए, थीटा स्थिरांकों (theta constants) के संदर्भ में एक सामान्य वंश 4 (genus 4) वक्र के समीकरणों के लिए स्पष्ट सूत्र प्रस्तुत करता है।
यह शोध पत्र मिलनोर (Milnor) और ट्ज़ुरिना (Tjurina) संख्याओं जैसे शास्त्रीय अपरिवर्तों (invariants), साथ ही वक्र विलक्षणताओं (curve singularities) के मान अर्धसमूह जनकों (value semigroup generators) का उपयोग करते हुए, धनात्मक अभिलक्षण (positive characteristic) में पृथक हाइपरसरफेस विलक्षणताओं (isolated hypersurface singularities) के -शुद्ध दहलीज (F-pure threshold) के लिए सीमाएँ स्थापित करता है, ताकि जटिल मामले (complex case) में लॉग कैनोनिकल दहलीज (log canonical threshold) और ब्रायोंसन-स्कोडा घातांक (Briançon-Skoda exponent) के लिए समरूप सीमाएँ प्राप्त की जा सकें।
यह शोध पत्र एक "ट्रांसवर्स कंट्रोलर" (transverse controller) को पेश करके सापेक्ष व्युत्पन्न फलनों (relative derived foliations) के अनुप्रस्थ अनफोल्डिंग्स (transversal unfoldings) के लिए एक होमोटोपिक रूप से अपरिवर्तनीय, शेवली-आइलेंबर्ग-आधारित औपचारिक संरचना विकसित करता है जो समाकलनीय अनुप्रस्थ विरूपणों (integrable transverse deformations) को वर्गीकृत करता है और विभिन्न ज्यामितीय मामलों, जिनमें शास्त्रीय, ली-एल्ब्रोइड और शिफ्टेड पॉइसन संरचनाएं शामिल हैं, को व्युत्पन्न विभाजन स्थानों (derived splitting spaces) और वैश्विक अवतरण (global descent) से जुड़ी एक एकल रूपरेखा के अंतर्गत एकीकृत करता है।
यह शोध पत्र शिओडा (Shioda) की तकनीकों को तर्कसंगत Hodge संरचनाओं (rational Hodge structures) और टेट मॉड्यूल (Tate modules) तक विस्तारित करके, विशेषता में एबेलियन सतहों (abelian surfaces) के लिए एक ट्विस्टेड डेरिव्ड टोरेली प्रमेय (twisted derived Torelli theorem) स्थापित करता है, जिससे ट्विस्टेड डेरिव्ड तुल्यता (twisted derived equivalences) को आइसोजेनी (isogenies) के माध्यम से अभिलक्षणित किया जाता है और यह सिद्ध किया जाता है कि दो एबेलियन सतहें मुख्य रूप से आइसोजेनस (principally isogenous) हैं यदि और केवल यदि वे डेरिव्ड आइसोजेनस (derived isogenous) हैं।
यह शोध पत्र सात तक के जनस (genus) के कई मामलों के लिए एक निर्दिष्ट वीयरस्ट्रॉस सेमग्रुप (Weierstrass semigroup) के साथ पॉइंटेड बीजगणिक वक्रों (pointed algebraic curves) के मोडुलि स्पेस (moduli space) की स्पष्ट रूप से गणना करता है और सात जनस के ऐसे सभी सेमग्रुप्स के लिए आयाम (dimension) निर्धारित करता है।
यह शोध पत्र किसी भी रैंक 1 के रिफ्लेक्सिव शेफ (reflexive sheaf) के लिए परिमेय विलक्षणताओं (rational singularities) की अवधारणा का सामान्यीकरण करता है, मौजूदा परिभाषाओं के साथ इसके संबंध को स्थापित करता है, और q-बाइरेशनल मोर्फिज्मों (q-birational morphisms) के संबंध में नए प्रमेय सिद्ध करने के लिए की द्वैत अवधारणा प्रस्तुत करता है।
यह शोध पत्र इनवोल्यूशन (involutions) के साथ सेपरेटेड लॉग स्कीम्स (separated log schemes) के लिए रियल टोपोलॉजिकल होचशिल्ड होमोलॉजी को परिभाषित करता है, एक -इक्विवैरिएंट लॉगरिदमिक मोटिविक श्रेणी के भीतर मोटिविक रियल टोपोलॉजिकल होचशिल्ड स्पेक्ट्रम के निर्माण हेतु इसकी -इनवेरियन्स (invariance) स्थापित करता है, और इसके गुणों तथा संबद्ध मोटिविक रियल टोपोलॉजिकल साइक्लिक स्पेक्ट्रम का अन्वेषण करता है।
यह शोध पत्र सभी गैर- जटिल सममित स्थानों (complex symmetric spaces) के रैंक दो पर निर्धारित होरोस्फेरिकल सिंगुलर टेंगेंट कोन्स (horospherical singular tangent cones) एट इनफिनिटी के साथ पूर्ण कैलाबी-यौ मेट्रिक्स (Calabi-Yau metrics) के अस्तित्व को स्थापित करता है, जिससे सिंगुलर और इरेगुलर टेंगेंट कोन्स के लिए प्रथम एफाइन कैलाबी-यौ स्मूथिंग्स (affine Calabi-Yau smoothings) के उदाहरण प्राप्त होते हैं और सिंगल-स्टेप डिजनरेशन (single-step degenerations) के संबंध में सन-झांग द्वारा की गई एक हालिया परिकल्पना की पुष्टि होती है।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि नाकाजिमा वैरायटीज़ (Nakajima varieties) के लिए क्वांटम अंतर समीकरण (quantum difference equation) के मौलिक समाधान से व्युत्पन्न ऑपरेटर, मूल -वें घात की जड़ों (primitive -th roots of unity) पर नियमित है, जिससे इसके फ्रोबेनियस ट्विस्ट्स (Frobenius twists) के साथ संबंध के माध्यम से संबद्ध क्वांटम कनेक्शन के -कर्वेचर (p-curvature) के स्पेक्ट्रम का एक स्पष्ट विवरण प्राप्त होता है।