1415 पेपर
यह शोध पत्र विस्तार के स्केलर (extension of scalars) का उपयोग करते हुए जेनेरिक हाइपरसरफेस (generic hypersurfaces) पर मॉड्यूल और कॉम्प्लेक्स के लिए रैंक वेरिएटीज़ (rank varieties) प्रस्तुत करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि प्रत्येक प्रोजेक्टिव वैरायटी को ऐसे रैंक वैरायटी के रूप में साकार किया जा सकता है और साथ ही उनके मौलिक गुणों की जांच करता है।
यह शोधपत्र स्थापित करता है कि एक चिकनी बिंदुयुक्त वक्र (smooth pointed curve) पर लघुगणकीय हिल्बर्ट स्कीम (logarithmic Hilbert scheme) ऑफ पॉइंट्स, अपने सममित उत्पाद (symmetric product) का एक पुनरावृत्त भारित ब्लूप-अप (iterated weighted blow-up) है, जो इसके ब्लूप-अप केंद्रों और भारों को स्पष्ट रूप से पहचानते हुए इसके इंटीग्रल चाउ रिंग (integral Chow ring) को व्युत्पन्न करता है और के मामले में एक टोरिक स्टैक (toric stack) के रूप में इसकी संरचना को पुनः प्राप्त करता है।
यह शोध पत्र K3 सतहों पर ट्विस्टेड शीव्स (twisted sheaves) के मॉडुलि स्पेस पर ज़ीरो-साइकिल (zero-cycles) के संबंध में विअल और मार्टिन-विअल के परिणामों का विस्तार करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि डबल EPW क्वार्टिक्स (double EPW quartics) के लिए, प्रभावी ज़ीरो-साइकिल की तुल्यता और ट्विस्टेड एवं मानक ब्यूवेल-वोइसवेन (Beauille–Voisin) वर्गों के सामंजस्य को उनके मॉडुलि स्पेस के रूप में उनके निरूपण और वेरा फोरफोल्ड्स (Verra fourfolds) के साथ उनके संबंध के माध्यम से स्थापित किया जा सकता है।
यह शोध पत्र चिकने जटिल प्रक्षेपिक किस्मों (smooth complex projective varieties) पर समाकलनीय अनुक्रमिक बीजगणितीय ली अल्जेब्रॉइड्स (integrable transitive algebraic Lie algebroids) को वर्गीकृत करता है, उनके संबद्ध मुख्य बंडलों के कनेक्शन और ट्विस्टेड हिग्स बंडलों के मॉडुलि स्पेस (moduli spaces) के निर्माण और लक्षण वर्णन हेतु एक टैनकियाई ढांचे (Tannakian framework) को स्थापित करता है, और परिणामी -हॉज मॉडुलि स्पेस की अर्ध-प्रोजेक्टिविटी (semiprojectivity) को प्रदर्शित करके एक मोटिविक गैर-आबेली हॉज पत्राचार (motivic non-abelian Hodge correspondence) को सिद्ध करता है।
यह शोध पत्र तीन-परत वाले ReLU नेटवर्क में पैरामीटर समरूपताओं (parameter symmetries) को चित्रित करने के लिए एक पूर्ण ढांचा स्थापित करता है, जो कार्यात्मक तुल्यता तंतुओं (functional equivalence fibers) का स्पष्ट अर्ध-बीजगणितीय विवरण और उनके निर्णय के लिए एक बहुपद-समय एल्गोरिदम प्रदान करता है, साथ ही यह भी विश्लेषण करता है कि ये समरूपताएं ग्रेडिएंट फ्लो के साथ स्थानीय संरक्षण नियमों (local conservation laws) को कैसे प्रेरित करती हैं।
यह शोध-पत्र किसी चिकनी प्रक्षेपित वक्र (smooth projective curve) के -गुना सममित उत्पाद (g-fold symmetric product) पर ट्विस्टेड रैंक- पिकार्ड बंडलों (twisted rank- Picard bundles) के धनात्मकता गुणों (positivity properties) की जांच करता है ताकि किसी भी जीनस वाले जैकोबियन (Jacobian) की अपरिमेयता की डिग्री (degree of irrationality) के लिए का एक ऊपरी आबंध (upper bound) स्थापित किया जा सके।
यह शोध पत्र क्वांटम ग्राफों का एक बहुपद प्रतिनिधित्व (polynomial representation) निर्मित करके परिमित-रैंक ग्राफोन (finite-rank graphons) के लिए हिल्बर्ट के नलस्टेत्ज़ (Hilbert's Nullstellensatz) का एक रूपांतर स्थापित करता है, जिससे कर्नेल किस्मों (kernel varieties) को ज़ारिस्की-बंद समुच्चयों (Zariski-closed sets) के रूप में परिभाषित किया जाता है और हैडामार्ड मैट्रिसेस (Hadamard matrices) के अनुप्रयोगों के साथ बीजगणिक ज्यामिति (Algebraic Geometry) और ग्राफोन सिद्धांत (Graphon Theory) के बीच गहरे संबंधों को प्रकट किया जाता है।
यह शोध पत्र एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र (algebraically closed field) के अभिलक्षण पर एक आयामी ली बीजगण (Lie algebra) वाले क्रम के सभी लघुगणक क्रमविनिमेय यूनिपोटेंट समूह योजनाओं (infinitesimal commutative unipotent group schemes) को वर्गीकृत करता है, जो सुपरसिंगुलर दीर्घवृत्तीय वक्रों (supersingular elliptic curves) के उप-समूह योजनाओं का वर्णन करने और ब्रायन द्वारा वक्रों पर परिमेय क्रियाओं (rational actions on curves) के संबंध में उठाए गए एक प्रश्न को हल करने के लिए उन्हें स्पष्ट रूप से वर्णित करता है।
यह शोधपत्र प्रदर्शित करता है कि मिश्रित टेट मोटिव्स (mixed Tate motives) के लिए आंद्रे आवर्त (André periods), शास्त्रीय आवर्तों (classical periods) के साथ मेल खाते हैं, मोटिविक पथों (motivic paths) के माध्यम से इन आवर्तों और कोलमैन एकीकरण (Coleman integration) के बीच एक संबंध स्थापित करता है, और इस ढांचे का उपयोग -adic बहु-पॉलीलॉग (multiple polylogarithms) के विशेष मानों को आंद्रे आवर्तों के रूप में मूर्त रूप देने के लिए करता है।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि जहाँ के लिए और के लिए तब स्थानीय अपरिवर्तनीय चक्र प्रमेय (local invariant cycle theorem) पूर्णांक गुणांकों के साथ सत्य है जब सामान्य फाइबर का अल्बेनीस रूपांतर (Albanese variety) तुच्छ होता है, वहीं यह गैर-तुच्छ अल्बेनीस रूपांतरों वाली बीजगणितीय सतहों के अर्ध-स्थिर परिवारों (semistable families) में के लिए विफल हो सकता है, जैसा कि शिओडा-इनोसे निर्माण (Shioda–Inose construction) को सामान्यीकृत करते हुए एक नवनिर्मित प्रतिउदाहरण द्वारा प्रदर्शित किया गया है।