1422 पेपर
यह शोधपत्र अनंतसूक्ष्म व्युत्पन्न पर्णों (infinitesimal derived foliations) की अवधारणा प्रस्तुत करता है, शास्त्रीय अनंतसूक्ष्म कोहोमोलॉजी (infinitesimal cohomology) और औपचारिक समाकलनीयता (formal integrability) के साथ उनके संबंध को स्थापित करता है, और पूर्व में परिभाषित व्युत्पन्न पर्णों (derived foliations) के साथ उनके संबंध को रेखांकित करता है।
यह शोध पत्र उन चिकने प्रक्षेपिक विविधताओं (smooth projective varieties) को वर्गीकृत करता है जिनका पिकार्ड रैंक 2 है और जिन्हें विभिन्न आयामों की चिकनी उप-विविधताओं के साथ प्रक्षेपिक स्थान (projective space) के दो अलग-अलग ब्लो-अप्स के रूप में प्राप्त किया जा सकता है, जिससे क्वाड्रो-क्यूबिक क्रेमोना रूपांतरण का एक अभिलक्षण प्रदान किया जाता है।
यह शोध पत्र जॉयस वर्टेक्स बीजगणित (Joyce vertex algebras) के निर्माण का सामान्यीकरण करता है—जिसका उपयोग मूल रूप से रैखिक गणनात्मक ज्यामिति (linear enumerative geometry) में वॉल-क्रॉसिंग सूत्रों के लिए किया गया था—गैर-रैखिक परिवेशों के लिए, जो नई मॉड्यूल संरचनाओं के माध्यम से DT4 और K-सैद्धांतिक गणनात्मक अपरिवर्तनों (K-theoretic enumerative invariants) जैसे अपरिवर्तनों के अध्ययन के लिए एक ढांचा प्रदान करता है।
यह शोधपत्र एक "ट्रोपिकलाइजेशन" (tropicalization) ढांचे को स्थापित करता है जो रिमान सतहों (Riemann surfaces) के मॉडुलि स्पेस और ट्रोपिकल मॉडुलि स्पेस के बीच ज्ञात संबंध को उनके संबंधित कविंग्स (coverings) तक बढ़ाता है, विशेष रूप से कलर-वोग्टमैन आउटर स्पेस (Culler-Vogtmann Outer space) को एक नव-निर्मित जटिल मैनिफोल्ड के ट्रोपिकलाइजेशन के रूप में पहचानता है जो स्थिर जटिल हैंडलबॉडीज़ (stable complex handlebodies) को पैरामीटराइज करता है, जिससे छिद्रित (punctured) और छिद्रहीन (unpunctured) दोनों मामलों के लिए ज्यामितीय समूह सिद्धांत और सतह टोपोलॉजी से विभिन्न वस्तुओं का एकीकरण होता है।
यह शोध पत्र एक रिजिडिटी प्रमेय (rigidity theorem) को सिद्ध करता है जो यह बताता है कि कोई भी आवर्ती (periodic) हाइपरसरफेस (hypersurface), जो एक दिशात्मक लाइटहाउस माप (directional lighthouse measure) का समर्थन करती है, अनिवार्य रूप से एक ली-यांग बहुपद (Lee–Yang polynomial) का टोरस शून्य सेट (torus zero set) होगी, जो फूरियर क्वासिक्रिस्टल वर्गीकरण (Fourier quasicrystal classification) के दृष्टिकोण से इन मापों का एक ज्यामितीय लक्षण वर्णन प्रदान करती है।
यह शोध पत्र शास्त्रीय एबेलियन सेटिंग से गैर-एबेलियन समूहों (विशेष रूप से ) के लिए चरण उष्णकटिबंधीकरण (phase tropicalization) के सिद्धांत का विस्तार करता है और उन मूल्यांकनात्मक उपकरणों (valuative tools) को पेश करके वक्र परिणामों का सामान्यीकरण करता है जो कप्रानोव के प्रमेय के एक एफाइन संस्करण को सिद्ध करते हैं और श्रेणीबद्ध मूल्यांकन वलयों (graded valuation rings) की फनक्टोरियल और बहुपद संरचनाओं को प्रकट करते हैं।
यह शोधपत्र वैश्विक उप-विश्लेषणात्मक (globally subanalytic) घनत्वों वाले पुश-फॉरवर्ड मापों द्वारा परिभाषित स्थानों के लिए एक सोबोलेव एम्बेडिंग प्रमेय स्थापित करता है, विशेष रूप से आंतरिक लिप्सचिट्ज़ (inner Lipschitz) फलनों के स्थान में एक एम्बेडिंग को सिद्ध करता है और कर्नेल सिद्धांत पर इस परिणाम को लागू करता है।
यह शोध पत्र अनंत द्विदलीय समूह (infinite dihedral group) के कॉक्सेटर सिस्टम (Coxeter system) के माध्यम से टाइप एफाइन फ्लैग मैनिफोल्ड्स (affine flag manifolds) के लिए कॉम्बिनेटोरियल कर्व नेबरहुड्स (combinatorial curve neighborhoods) को एनकोड करके, लीन 4 (Lean 4) में एक अक्सिओम-मुक्त औपचारिकीकरण प्रस्तुत करता है, जो अंततः इन नेबरहुड्स के लिए एक सत्यापित और पूर्णतः गणनीय ढांचा प्रदान करता है।
यह शोध पत्र रेजोनेंस (resonance) के फ्लैटनिंग स्ट्रैटिफिकेशन (flattening stratification) और ग्रासमैन वैरायटी के संगत रैखिक सेक्शनों (linear sections) का विश्लेषण करके एक एलिप्टिक कर्व पर रैंक-दो वेक्टर बंडलों के रेजोनेंस वैरायटी की जांच करता है।
यह शोध पत्र यूनिवर्सल एबेलियन स्कीम के लिए मिश्रित हाइब्रिड अनुमान (mixed hybrid conjecture) को सिद्ध करता है—एक ऐसा परिणाम जो पारंपरिक पिला-ज़ैनियर रणनीति के बजाय इक्विडिस्ट्रीब्यूशन (equidistribution) और ओ-मिनिमलिटी (o-minimality) को संयोजित करने वाले एक नवीन दृष्टिकोण का उपयोग करके आंद्रे-ओर्ट (André-Oort), आंद्रे-पिंक-ज़ैनियर (André-Pink-Zannier), मानिन-ममफोर्ड (Manin-Mumford), और मोर्डेल-लैंग (Mordell-Lang) अनुमानों सहित कई प्रमुख समस्याओं को एकीकृत करता है।