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यह शोध पत्र नए समूह-सैद्धांतिक और श्रेणीगत ढाँचों को पेश करके "पॉइंटेड वर्चुअल कर्व्स" के अध्ययन को शून्य जीनस (genus zero) से लेकर अनिश्चित जीनस तक विस्तारित करता है ताकि इस बात के मानदंड स्थापित किए जा सकें कि कब अंकगणितीय मौलिक समूहों (arithmetic fundamental groups) के सेक्शन, परिमेय बिंदुओं (rational points) के अनुरूप होते हैं।
यह शोध पत्र कई समीकरण संबंधी बाधाओं वाले सूत्रों के लिए सिलिंड्रिकल अलेब्रिक डिकंपोजिशन (CAD) आधारित क्वांटिफायर एलिमिनेशन में दो संवर्द्धन प्रस्तावित करता है: एक जो विस्तृत पैरामीटर-आधारित विभाजन और अज्ञातों के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति प्रदान करता है, और दूसरा जो दूसरे समीकरण संबंधी प्रोजेक्शन चरण को अनुकूलित करके कम्प्यूटेशनल दक्षता में सुधार करता है।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि अर्ध-संकुचित (quasi-compact) चिकने रिजिड एनालिटिक स्थानों के लिए, एक्सटेंशन फनक्टर (extension functor) होलोनोमिक -मॉड्यूल को परिमित लंबाई वाले को-एडमिसेबल (coadmissible) -कैप-मॉड्यूल में मैप करता है, एक ऐसा परिणाम जिसे पूर्णित वेइल बीजगणकों (completed Weyl algebras) पर मॉड्यूल्स के लिए हिल्बर्ट बहुपदों (Hilbert polynomials) को पेश करके प्राप्त किया गया है और विशिष्ट मेरोमॉर्फिक कनेक्शनों और स्थानीय कोहोमोलॉजी समूहों की परिमित लंबाई को दिखाने के लिए लागू किया गया है।
यह शोध पत्र एक एकल तत्व वाले क्षेत्र () से पूर्णांकों () तक स्केलर के विस्तार के लिए एक औपचारिक रूपरेखा स्थापित करता है, जो एक एडजंक्शन (adjunction) को परिभाषित करके -मॉड्यूल और बीजगणक की गैर-साहचर्य (non-associative), बहु-मूल्यीय हाइपर-क्रियाओं को एबेलियन समूहों और क्रमविनिमेय वलयों की शास्त्रीय योगात्मक और गुणात्मक संरचनाओं में रूपांतरित करता है।
यह शोध पत्र क्वासी-पराहोरिक (quasi-parahoric) लेवल स्ट्रक्चर वाले Hodge-प्रकार के Shimura वेरिएटीज़ के लिए कैनोनिकल इंटीग्रल मॉडल्स के अस्तित्व के संबंध में पापास और रापोपोर्ट के एक अनुमान (conjecture) को सिद्ध करता है, साथ ही आइसोजेनी क्लासेस (isogeny classes) के यूनिफॉर्माइजेशन को स्थापित करता है और स्थानीय मॉडल आरेख (local model diagrams) पर एक संबंधित अनुमान की पुष्टि करता है।
यह शोधपत्र शून्य अभिलक्षण वाले स्कीम्स (schemes) के ऊपर इंटीग्रल नोरी मोटिविक शीव्स (integral Nori motivic sheaves) और मिक्स्ड Hodge मॉड्यूल्स (mixed Hodge modules) की एबेलियन श्रेणियों का निर्माण करता है, यह स्थापित करते हुए कि ये श्रेणियाँ छह ऑपरेशन्स (six operations) और आर्क-डिसेन्ट (arc-descent) का पालन करती हैं।
यह शोध पत्र पूर्णतः (perfectoid) टेट बीजगणित के सभी भागफल क्षेत्रों (quotient fields) को विशिष्ट गैर-आर्किमिडियन क्षेत्रों के अर्ध-तत्काल विस्तार (semi-immediate extensions) के रूप में अभिलक्षणिक करके और "टोपोलॉजिकली सरल" (topologically simple) मूल्यांकन की एक नई अवधारणा का उपयोग करते हुए शामिल त्रिज्याओं की संख्या पर सटीक सीमाएँ प्रदान करके वर्गीकृत करता है।
यह शोध पत्र एक वक्र (curve) पर वेक्टर बंडलों से प्रिसिंपल -बंडलों तक सेग्रे इनवेरियंट्स (Segre invariants) की अवधारणा का सामान्यीकरण करता है, यह सिद्ध करता है कि ये इनवेरियंट्स मोडुलि स्पेस (moduli spaces) पर अर्ध-सतत स्तरीकरण (semicontinuous stratifications) को परिभाषित करते हैं और समूह होमोमोर्फिज्म (group homomorphisms) तथा जैसे विशिष्ट मामलों के तहत उनके व्यवहार का अन्वेषण करता है।
यह शोध पत्र निलंबनकारी (nilpotent) आव्यूह टुपल्स के लिए समवर्ती समानता वर्गों (simultaneous similarity classes) के क्षय क्रम (degeneration order) को निर्धारित करता है और यह प्रदर्शित करता है कि यह क्रम रैंक की शर्तों द्वारा परिभाषित है।
यह शोध पत्र उन स्थितियों की जांच करता है जिनके तहत प्रतिबंधित उत्पादों (restricted products) पर समूह क्रियाएं (group actions) "सभ्य" (decent) होती हैं और यह सिद्ध करता है कि एक प्रक्षेपवत् तल आधार स्थान (projective plane base space) वाले प्रतिबंधित उत्पाद का स्वयंप्रवर्तक समूह (automorphism group) इस गुण को संतुष्ट करता है।