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यह शोधपत्र ब्रेंट समीकरणों के आंशिक समाधानों को ठीक करने की एक ऐसी विधि प्रस्तुत करता है जो आइसोट्रॉपी समूह क्रियाओं से उत्पन्न होने वाली अतिरेकता से बचती है, जिससे गैर-तुच्छ पैरामीटराइज्ड समाधान सेट उत्पन्न होते हैं जो 48 गुणांकों के लिए अनंत रूप से असमान परिमेय-गुणांक एल्गोरिदम प्रदान करते हैं।
यह शोध पत्र ऊर्जा द्विघात रूपों (energy quadratic forms) से व्युत्पन्न कवरेज त्रिज्याओं के लिए चेगर-शैली (Cheeger-style) की असमानता का उपयोग करते हुए, एक्सपैंडर्स और रैंडम रेगुलर ग्राफ सहित विभिन्न सु-संबद्ध ग्राफ परिवारों के लिए अर्ध-कैनोनिकल डिग्री (half-canonical degree) पर ब्रिल-नोएदर अस्तित्व अनुमान (Brill-Noether existence conjecture) के एक अनंत रूप (asymptotic version) की पुष्टि करता है।
यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि एक पूर्ण क्षेत्र (perfect field) पर पिकार्ड रैंक एक वाले दो बिरैशनली तुल्य (birationally equivalent) डेल पेज़ो सतहों (del Pezzo surfaces) के बीच कोई भी बिरैशनल मानचित्र, अधिकतम दो सारकिसोव लिंक्स (Sarkisov links) के संयोजन में विघटित किया जा सकता है।
यह शोध पत्र *EuclideanDistanceDegree* प्रस्तुत करता है, जो एक Macaulay2 पैकेज है जो यूक्लिडियन डिस्टेंस डिग्री (Euclidean Distance degrees) की गणना के लिए प्रतीकात्मक (symbolic) और संख्यात्मक (numerical) दोनों विधियों को लागू करता है, जो विभिन्न उदाहरणों और एक संलग्न GitHub रिपॉजिटरी के माध्यम से अपनी क्षमताओं का प्रदर्शन करता है।
यह शोध पत्र जटिल क्षेत्र के ऊपर जनस (genus) 3 की चिकनी प्रोजेक्टिव वक्रों के मोडुलि स्पेस (moduli space) के भीतर जनस 105 की एक पूर्ण वक्र (complete curve) के अस्तित्व को स्थापित करता है।
द्विशाखन सूत्रों (bifurcation formulas) से प्रेरित होकर, यह शोध पत्र फोलिएशन थ्योरी (foliation theory) के माध्यम से होलोमोर्फिक फंक्शन जर्म्स (holomorphic function germs) के युग्मों के लिए ट्ज़ुरिना संख्या (Tjurina number) प्रस्तुत करता है, इसकी विश्लेषणात्मक अपरिवर्तनीयता (analytic invariance) और स्पष्ट सूत्र को सिद्ध करता है, और इन परिणामों को मिलनोर संख्या (Milnor number) के नए गुणों के साथ लागू करते हुए सेमिटेम्युमेरिक मेरोमॉर्फिक जर्म्स (semitame meromorphic germs) को अभिलक्षणित करता है और बीजगणितीय वक्रों के जेनेरिक पेंसिल (generic pencils of algebraic curves) का विश्लेषण करता है।
यह शोधपत्र यह स्थापित करता है कि सममित मोनॉइडल श्रेणियों (symmetric monoidal categories) की 2-श्रेणी, - और -छद्म-बीजगणितों (pseudoalgebras) की विशिष्ट 2-श्रेणियों के तुल्य है, जो एक आधारभूत परिणाम प्रदान करता है जो इक्विवेरिएंट (equivariant) और मल्टीप्लिकेटिव इन्फिनिट लूप स्पेस थ्योरी को सुव्यवस्थित करता है।
यह शोध पत्र K-सैद्धांतिक विधियों और वर्टेक्स बीजगणित के अप्रत्याशित संयोजन संबंधी गुणों का उपयोग करते हुए, रैंक वाले शेफ (sheaves) के लिए डोनाल्डसन-थॉमस इनवेरियंट्स को रैंक 0 वाले शेफ के रूप में व्यक्त करके, सम कैनोनिकल क्लासेस वाले फानो 3-फोल्ड्स (Fano 3-folds) के लिए फेयज़बख्श-थॉमस कार्यक्रम का विस्तार करता है।
यह शोधपत्र एक त्रिभुज के संकुचन योग्य -वक्रों द्वारा पूर्ण की गई खुली बीजगणितीय सतहों का एक संयोजन संबंधी विवरण स्थापित करता है, एफाइन त्रिभुज सतहों को मार्कोव प्रकार की घन सतहों के रूप में पहचानता है, और उनके ऑटोमॉर्फिज्म समूहों का एक स्पष्ट विवरण प्रदान करता है।
यह शोध पत्र ज़ोनॉइड्स (zonoids) के मिश्रित आयतनों (mixed volumes) को ग्रासमैनियन (Grassmannian) के निरपेक्ष मान से जोड़ने वाला एक संयोजन ढांचा (combinatorial framework) स्थापित करता है, जिसमें दो और तीन आयामों में विशिष्ट ज़ोनॉइड्स के लिए नए मिंकोव्स्की रैखिक असमानताओं (Minkowski linear inequalities) को व्युत्पन्न करने के लिए बहुफलकीय गणनाओं (polyhedral computations) का उपयोग किया गया है।