1423 पेपर
यह शोध पत्र एफाइन ग्रासमैनियन्स और फ्लैग वेरिएटीज़ पर सिमेट्रिक लूप ग्रुप ऑर्बिट्स और रियल पॉलिनोमियल लूप ग्रुप ऑर्बिट्स के बीच एक बाइजेक्शन स्थापित करता है, जिससे लूप ग्रुप सेटिंग में मात्सुकी द्वैतता (Matsuki duality) का विस्तार होता है और इन परिणामों को रियल एवं ट्विस्टर स्पेस पर वेक्टर बंडल्स तथा कोट्त्विट्ज़ सेट्स (Kottwitz sets) से जोड़ा जाता है।
यह शोध पत्र कम से कम तीन आयाम वाले एक गैर-अपभ्रंश (nondegenerate) लघुगणकीय (logarithmic) संरूप टेन्सर (conformal tensor) से सुसज्जित चिकने जटिल प्रक्षेपिक सरल सामान्य काट (simple normal crossing) युग्मों को वर्गीकृत करता है, यह दर्शाते हुए कि यदि लघु कैनोनिकल (log canonical) विभाजक 'नेफ' (nef) नहीं है, तो युग्म को एक क्वाड्रिक, एक हाइपरप्लेन के साथ प्रोजेक्टिव स्पेस, या एक विशिष्ट परिमेय फाइब्रेशन (rational fibration) को अपनाना चाहिए, जबकि वह मामला जहाँ विभाजक संख्यात्मक रूप से शून्य (numerically trivial) है, कुछ होलोनॉमी (holonomy) और वक्रता (curvature) धारणाओं के तहत यह संकेत देता है कि मैनिफोल्ड एक अर्ध-एबेलियन (semi-abelian) विविधता है।
यह शोधपत्र आवश्यक कंकाल (essential skeleton) पर एक हेसियन संरचना (Hessian structure) से व्युत्पन्न एक मानक लागत फलन (canonical cost function) का उपयोग करके फर्माट के घननीय वक्रों (Fermat family of cubic curves) के कोहोमोलॉजी समूहों के लिए एक मूल्य-स्वतंत्र आधार (valuatively independent basis) का निर्माण करता है।
यह शोधपत्र कॉर्डल नेस्टोहेड्रा (chordal nestohedra) से संबद्ध वास्तविक टोरिक मैनिफोल्ड्स (real toric manifolds) के परिमेय बेट्टी संख्याओं (rational Betti numbers) की जांच करता है, जो एक संबंधित पॉसेट (poset) की EL-शेलैबिलिटी (EL-shellability) को स्थापित करके बारी-बारी से होने वाले -क्रमपरिवर्तनों (alternating -permutations) के माध्यम से एक स्पष्ट गणना सूत्र व्युत्पन्न करता है, जिससे कॉर्डल ग्राफों के लिए -संख्या की गणना करने में सक्षम होता है और वास्तविक होचशिल्ड किस्मों (real Hochschild varieties) के लिए विस्तृत परिणाम प्रदान करता है।
यह शोध पत्र -स्नेक्स (B-snakes) के माध्यम से टाइप रियल परम्यूटोहेड्रल वैरीटीज़ (type real permutohedral varieties) के रैशनल कोहोमोलॉजी रिंग्स (rational cohomology rings) की गुणात्मक संरचना का स्पष्ट रूप से वर्णन करता है, जो पिछले परिणामों का विस्तार करता है जो केवल उनके रैशनल बेट्टी नंबरों (rational Betti numbers) तक सीमित थे।
यह शोधपत्र यह सिद्ध करता है कि संख्यात्मक क्षेत्रों (number fields) पर रैखिक बीजगणितीय समूहों (linear algebraic groups) के स्टैक्स $BG$ के वर्गीकरण के लिए स्ट्रॉन्ग एप्रोक्सिमेशन (strong approximation) हेतु एकमात्र बाधा एटाले ब्रेअर-मैनिन ऑब्स्ट्रक्शन (étale Brauer-Manin obstruction) है, जो कि बीजगणितीय स्टैक्स के टॉर्सर्स (torsors) और गैलवा ट्विस्ट्स (Galois twists) के सिद्धांत को विकसित करके प्राप्त किया गया एक परिणाम है।
यह शोध पत्र बीजगणितीय संख्याओं पर परिभाषित एक अफ़ाइन वक्र और एक प्रक्षेपिक वक्र के गुणनफल पर स्प्लिट स्व-मानचित्रों (split self-maps) के लिए डायनेमिकल मोर्डेल-लैंग अनुमान को सिद्ध करता है।
यह शोध पत्र होमोलॉजिकल पर्टर्बेशन लेम्मा (homological perturbation lemma) और मूर-पेनरोज इनवर्स (Moore-Penrose inverses) का उपयोग करते हुए, सेलुलर रेजोल्यूशन (cellular resolutions) के स्ट्रॉन्ग डिफॉर्मेशन रिट्रैक्ट्स (strong deformation retracts) के रूप में लाइन बंडल्स द्वारा टोरिक सबस्टैक्स (toric substacks) के स्ट्रक्चर शेव्स (structure sheaves) के पुशफ़ॉरवर्ड्स (pushforwards) के मिनिमल रेजोल्यूशन का निर्माण करता है, ताकि उनके डिफरेंशियल (differentials) का एक कैनोनिकल, कॉम्बिनेटोरियल विवरण प्रदान किया जा सके।
यह शोध पत्र प्लेटोनोव के 1991 के उस अनुमान को गलत सिद्ध करता है जिसमें कहा गया था कि एडजॉइंट समूह (adjoint groups) अनिश्चित अनंत क्षेत्रों (arbitrary infinite fields) पर दुर्बल सन्निकटन (weak approximation) को संतुष्ट करते हैं, जिससे लंबे समय से खुले इस प्रश्न का नकारात्मक समाधान हो गया है।
यह शोधपत्र काट्ज़ार्कोव-कोंटेविच-पेंटेव-यू के हॉज एटम ढांचे को लागू करते हुए, एक इनवोल्यूशन के माध्यम से हॉज एटम्स के परिष्कृत विश्लेषण का उपयोग करते हुए और पिक्कार्ड रैंक एक से अधिक वाले स्थानों तक पद्धति का विस्तार करने के लिए क्वांटम डिफरेंशियल ऑपरेटर से क्वांटम मल्टीप्लिकेशन मैट्रिक्स को व्युत्पन्न करते हुए, यह सिद्ध करता है कि अत्यंत सामान्य वेरा फोरफोल्ड (Verra fourfold) अपरिमेय है।