1423 पेपर
यह शोधपत्र ए-प्रकार (A-type) की उच्च संख्या वाली बीजगणितीय सतहों के हालिया निर्माणों का विस्तार करता है ताकि अतिरिक्त मामलों में ऐसी विलक्षणताओं (singularities) की अधिकतम संख्या के लिए नए निम्नतम आउंड (lower bounds) स्थापित किए जा सकें।
यह शोध पत्र एक चिकनी प्रक्षेपित सतह (smooth projective surface) के पंक्टुअल हिल्बर्ट स्कीम (punctual Hilbert scheme) के टेंजेंट बंडल के अविभाज्य घटकों (indecomposable components) को अभिलक्षित करता है, जिससे ऐसी स्कीमों के उत्पादों के वर्गीकरण पर एक अनुमान (conjecture) को सिद्ध किया जाता है और उन स्थितियों को निर्धारित किया जाता है जिनके अंतर्गत एक चिकनी किस्म (smooth variety) के सममित घातों (symmetric powers) के उत्पाद समरूप (isomorphic) होते हैं।
यह लेख एक चिकने जटिल अर्ध-परियोजना योग्य किस्म (smooth complex quasi-projective variety) और उस पर एक नियमित फलन (regular function) की जोड़ी से जुड़े विभिन्न द्वैतता कथनों (duality statements) का सर्वेक्षण करता है, जो बम्सिग किम (Bumsig Kim) को एक श्रद्धांजलि के रूप में है।
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि परिमेय भार (rational weights) वाले -हुरwitz संख्याएँ टाइप -बीजगणितों के व्हिटेकर वेक्टर्स (Whittaker vectors) के स्पष्ट सीमाओं (explicit limits) के रूप में उभरती हैं, जिससे पिछले परिणामों का सामान्यीकरण होता है, सामान्यीकृत शाखित आवरणों (generalized branched coverings) के माध्यम से एक ज्यामितीय व्याख्या प्रदान की जाती है, और यह स्थापित होता है कि शास्त्रीय हाइपरजियोमेट्रिक हुरwitz संख्याएँ एयर्ड-ऑरेंटिन टोपोलॉजिकल रिकर्शन (Eynard-Orantin topological recursion) द्वारा नियंत्रित होती हैं।
यह शोध पत्र एक "कंकाल" (skeleton) विधि प्रस्तुत करता है जो धनात्मक अभिलक्षण (positive characteristic) से अभिलक्षण शून्य (characteristic zero) में आइडियल्स (ideals) को उठाने में सक्षम बनाती है, जिससे सिंगुलैरिटी इनवेरियंट्स (singularity invariants) की तुलना करना और धनात्मक अभिलक्षण वाले मल्टी-आइडियल्स (multi-ideals) के साथ स्मूथ सतहों के लिए लॉग डिसक्रीपेंसी (log discrepancies) की विविक्तता (discreteness) को सिद्ध करना संभव होता है।
यह शोध पत्र शून्य विशेषता वाले एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र (algebraically closed field) पर शास्त्रीय समूहों (classical groups) के लिए संवर्धित मानक निरूपण (enhanced standard representation) में बंद कक्षाओं (closed orbits) को वर्गीकृत करता है, उनकी MVW-विस्तार के तहत स्थिरता को सिद्ध करता है और उनके स्टेबलाइज़र समूहों (stabilizer groups) तथा सामान्य स्थान क्रियाओं (normal space actions) को स्पष्ट रूप से निर्धारित करता है।
यह शोध पत्र ReLU सक्रियण फलन (activation function) की अवकलनीयता न होने (non-differentiability) का लाभ उठाकर शैलो ReLU नेटवर्क के लिए पैरामीटर स्पेस समरूपताओं (parameter space symmetries) का एक पूर्ण वर्गीकरण प्रदान करता है, जिससे उन पिछली सीमाओं पर विजय प्राप्त होती है जिनके लिए विश्लेषणात्मक सक्रियणों (analytic activations) की आवश्यकता थी।
यह शोध पत्र रैंक- हिग्स बंडल्स (Higgs bundles) के मॉड्युली स्पेस और एक रीमैन सतह (Riemann surface) पर होलोमॉर्फिक कनेक्शन्स एवं विशिष्ट हिल्बर्ट स्कीम्स (Hilbert schemes) के बीच लैग्रेंजियन कोरेस्पोंडेंस (Lagrangian correspondences) का निर्माण करता है, जिसमें डिविज़र्स (divisors) और पैरामीटर्स को प्रेरित करने के लिए ट्रांसवर्सल बंडल्स (transversal bundles) का उपयोग किया गया है, जिससे डोलबौल्ट ज्योमेट्रिक लैंगलैंड्स कोरेस्पोंडेंस (Dolbeault geometric Langlands correspondence) का एक ज्यामितीय निरूपण और इसके डी रॅम क्वांटाइजेशन (de Rham quantization) की ओर एक मार्ग प्रशस्त होता है।
यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि कॉनिफोल्ड स्मूथिंग (conifold smoothing) का कॉम्पैक्टली सपोर्टेड सिम्पलेक्टिक मैपिंग क्लास ग्रुप (compactly-supported symplectic mapping class group) अनंत रूप से जनरेटेड है और कॉनिफोल्ड रेजोल्यूशन (conifold resolution) के डेरिव्ड कैटेगरी (derived category) में गोलाकार ऑब्जेक्ट्स (spherical objects) को वर्गीकृत करता है, जो इन परिणामों को स्थापित करने के लिए मिरर सिमेट्री (mirror symmetry) का उपयोग करता है।
यह शोध पत्र उष्णकटिबंधीय (ट्रॉपिकल) टेवेलेव डिग्री को उष्णकटिबंधीय मापांक स्थानों के बीच एक स्वाभाविक रूपांतरण (मॉर्फिज्म) के माध्यम से परिभाषित करता है, यह सिद्ध करने के लिए एक संयोजन संबंधी प्रमाण प्रदान करता है कि ये डिग्री के बराबर हैं, और उनके संगत बीजगणितीय गणनात्मक अपरिवर्तों (इनवेरिएंट्स) के साथ उनके सामंजस्य को स्थापित करता है।