1995 पेपर
यह शोधपत्र रैंडम एनवायरनमेंट में रिवर्सिबल डिफ्यूजन के लिए आइंस्टीन संबंध का एक मात्रात्मक संस्करण स्थापित करता है, जिसमें सीमित वेग और बल परिमाण के अनुपात के लिए एक स्पष्ट क्वेंचड बीजगणितीय अभिसरण दर सिद्ध की गई है।
यह शोध पत्र एक -सम्मेय (p-summable) टेल स्थिति के तहत स्थानीय - अनुमान और एक सुदृढ़ हार्नाक असमानता (strong Harnack inequality) स्थापित करके नॉनलोकल हाइपोएलिप्टिक काइनेटिक समीकरणों के लिए डी जॉर्गी-नाश-मोसर सिद्धांत का विस्तार करता है, जिससे ज्ञात काइनेटिक व्यवस्थाओं और हालिया प्रति-उदाहरणों के अनुरूप असमानता का एक ज्यामितीय लक्षण वर्णन प्रदान किया जाता है।
यह शोधपत्र एक विशिष्ट अर्धशास्त्रीय (semiclassical) छद्म-विभेदक कलन (pseudodifferential calculus) और सूक्ष्म-स्थानिक (microlocal) लैंडौ प्रोजेक्टरों का उपयोग करके, एर्गोडिक रीब प्रवाह (ergodic Reeb flows) वाले कॉन्टैक्ट मेट्रिक मैनिफोल्ड्स पर सब-लैप्लासियन आइजनफंक्शंस के लिए एक क्वांटम एर्गोडिसिटी प्रमेय सिद्ध करता है।
यह शोध पत्र अनुकूलित बौगेइन-प्रकार के स्थानों (Bourgain-type spaces), अनिसोट्रोपिक स्मूथिंग (anisotropic smoothing) और सीमा ट्रेस अनुमानों (boundary trace estimates) का उपयोग करते हुए, एक अर्ध-पट्टी (half-strip) पर गैर-समांगी सीमा स्थितियों (nonhomogeneous boundary conditions) के साथ एक रैखिक परिवहन पद (linear transport term) वाले ज़खारोव-कुज़नेत्सोव समीकरण की निम्न-नियमितता स्थान में स्थानीय सुव्यवस्थितता (local well-posedness) को स्थापित करता है।
यह शोध पत्र माउंटेन पास थ्योरम (Mountain Pass Theorem) को लागू करके, डिरिचलेट (Dirichlet) और न्यूमैन (Neumann) दोनों सीमा स्थितियों के तहत, एक गैर-स्थानीय ऑपरेटर और सुपर-क्वाड्रेटिक नॉनलिनियतिटी (super-quadratic nonlinearity) से संबंधित एक नॉनलिनियर समीकरण के लिए गैर-तुच्छ समाधानों (nontrivial solutions) की उपस्थिति स्थापित करता है, साथ ही संख्यात्मक सिमुलेशन भी प्रदान करता है जो समस्या के ऊर्जा परिदृश्य (energy landscape) के अनुकूल एक ग्रेडिएंट डिसेंट एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं।
यह शोधपत्र बेसेल ऑपरेटर द्वारा संचालित गैररेखीय न्यूमैन सीमा अंतःक्रियाओं (nonlinear Neumann boundary interactions) के साथ ऊपरी अर्ध-स्थान में श्रोडिंगर समीकरणों के लिए एक पूर्ण रैखिक सिद्धांत और तीक्ष्ण स्ट्रिच्वार्ट्ज़ अनुमान (sharp Strichartz estimates) स्थापित करता है, जो उप-क्रांतिक (subcritical) और क्रांतिक (critical) डेटा व्यवस्थाओं दोनों के लिए स्थानीय सु-संगतता (local well-posedness) और अस्तित्व परिणामों को सिद्ध करने के लिए एक नवीन डुहामेल प्रतिनिधित्व (Duhamel representation) का उपयोग करता है।
यह शोधपत्र एक लिप्सचिट्ज़ गुणांकों (Lipschitz coefficients) वाले एलिप्टिक समीकरण के दो समाधानों के अनुपात के लिए इष्टतम नियमितता अनुमान स्थापित करता है, जब हर (denominator) का शून्य सेट दो-आयामी नोडल सेट्स की एक उत्पाद संरचना (product structure) रखता है, जिससे उच्च आयामों में पिछले दो-आयामी परिणामों का विस्तार किया जा सके।
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि एक-आयामी डैम्प्ड स्टोकेस्टिक क्लेन-गॉर्डन समीकरण में यादृच्छिक विलक्षणताएं (random singularities), स्टोकेस्टिक वेव समीकरण की तरह ही समान रूप से प्रसारित होती हैं, बावजूद इसके कि इसके लिए मौलिक रूप से भिन्न और अधिक सहज प्रमाण तकनीकों की आवश्यकता होती है जो सामान्य समस्या को सरल बनाने के लिए क्रिटिकली डैम्प्ड मामले का लाभ उठाती हैं।
यह शोध पत्र गैलेरकिन सन्निकटन (Galerkin approximations) और एक विशिष्ट कार्यात्मक ढांचे (specialized functional framework) का उपयोग करते हुए, पृथ्वी के क्रोड के एक भौतिक रूप से यथार्थवादी गणितीय मॉडल के लिए लेरे-हॉप प्रकार के दुर्बल समाधानों (Leray-Hopf type weak solutions) के अस्तित्व को सिद्ध करता है, जो तरल बाहरी क्रोड में मैग्नेटो-हाइड्रोडायनामिक्स को चालक आंतरिक क्रोड में ठोस भौतिकी और विसंवाहक बाहरी भाग में मैक्सवेल के समीकरणों के साथ युग्मित करता है।
यह शोध पत्र एक केलर-ओसर्मन-प्रकार की स्थिति को व्युत्पन्न करके और डोमेन की सीमा के निकट समाधान के व्यवहार पर अनिसोट्रोपिक नॉर्म (anisotropic norm) के प्रभाव का विश्लेषण करके, फिन्स्लर p-लैपलेसियन (Finsler p-Laplacian) से संबंधित अर्धरेखीय समीकरणों (semilinear equations) के लिए ब्लो-अप समाधानों के अस्तित्व, सीमा स्पर्शोन्मुखी व्यवहार (boundary asymptotic behavior) और अद्वितीयता को स्थापित करता है।