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Preference Analysis Using Random Spanning Trees: A Stochastic Sampling Approach to Inconsistent Pairwise Comparisons

यह शोध पत्र असंगत और अपूर्ण युग्म तुलनाओं (pairwise comparisons) को संभाव्य वरीयता मेट्रिक्स में बदलने के लिए रैंडम स्पैनिंग ट्रीज़ का उपयोग करते हुए एक स्टोकेस्टिक सैंपलिंग दृष्टिकोण प्रस्तावित करता है, जिससे रैंकिंग अनिश्चितता का लक्षण वर्णन होता है और पूर्ण गणनात्मक गणना (exhaustive enumeration) के बोझ के बिना सुदृढ़ निर्णय लेना सक्षम होता है।

मूल लेखक: Salvatore Greco, Sajid Siraj, Michele Lundy

प्रकाशित 2026-02-27

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Salvatore Greco, Sajid Siraj, Michele Lundy

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप अपने बच्चे के लिए सबसे अच्छा हाई स्कूल चुनने की कोशिश कर रहे हैं, या शायद अपने शहर के लिए एक नया पुल बनाने का निर्णय ले रहे हैं। आपके पास विकल्पों की एक सूची है (स्कूल A, स्कूल B, स्कूल C) और उन चीजों की एक सूची है जो आपके लिए मायने रखती हैं (लागत, सुरक्षा, स्थान)।

निर्णय लेने के लिए, आप आमतौर पर जोड़ों में तुलना करते हैं: "क्या सुरक्षा लागत से अधिक महत्वपूर्ण है?" "क्या स्कूल A, स्कूल B से बेहतर है?"

समस्या: इंसान अव्यवस्थित होते हैं
यहाँ पेच यह है: इंसान कंप्यूटर नहीं होते। वे थक जाते हैं, विचलित हो जाते हैं, या दिन के समय के आधार पर उनकी राय थोड़ी बदल जाती है।

आप कह सकते हैं: "सुरक्षा लागत से दोगुनी महत्वपूर्ण है।"
फिर आप कहते हैं: "लागत स्थान की तुलना में तीन गुना अधिक महत्वपूर्ण है।"
तर्कसंगत रूप से, आपको यह कहना चाहिए कि सुरक्षा स्थान से छह गुना अधिक महत्वपूर्ण है ( $2 \times 3 = 6$ )।
लेकिन फिर आप कहते हैं: "दरअसल, सुरक्षा स्थान से केवल चार गुना अधिक महत्वपूर्ण है।"

पुराने समय में, निर्णय लेने के विशेषज्ञों के लिए, वे इसे देखते और कहते, "आपने गलती की! आप असंगत हैं। आइए हम आपकी संख्याओं को एक सटीक गणितीय सूत्र में फिट होने के लिए मजबूर करें ताकि हम आपको एक एकल उत्तर दे सकें।"

नया विचार: असंगति एक विशेषता है, त्रुटि नहीं
यह शोध पत्र तर्क देता है कि हमें आपकी असंगति को "ठीक करने" की कोशिश करना बंद कर देना चाहिए। इसके बजाय, हमें इसे एक संकेत के रूप रूप में देखना चाहिए। वह "गलती" कोई त्रुटि नहीं है; यह इस बात का प्रमाण है कि आपके पास एक ही समय में समस्याओं को देखने के कई वैध तरीके हैं। शायद एक बरसाती दिन में, आप सुरक्षा को अधिक महत्व देते हैं। एक धूप वाले दिन में, आप लागत को अधिक महत्व देते हैं। आप अपने दिमाग में एक साथ दो अलग-अलग "मानसिकता" (mindsets) रखे हुए हैं।

लेखक इन सभी अलग-अलग मानसिकताओं को पकड़ने के लिए एक विधि प्रस्तावित करते हैं, न कि उन्हें एक औसत में कुचलने के लिए।

रचनात्मक उपमा: रास्तों का जंगल

कल्पना कीजिए कि आपकी निर्णय लेने की प्रक्रिया एक विशाल जंगल है।

पेड़: इस जंगल में प्रत्येक "पेड़" आपकी प्राथमिकताओं को देखने के एक विशिष्ट, सुसंगत तरीके का प्रतिनिधित्व करता है। यदि आप एक पेड़ चुनते हैं, तो आपको एक स्पष्ट रैंकिंग मिलती है: स्कूल A नंबर 1 है, स्कूल B नंबर 2 है।
जंगल: क्योंकि आप असंगत हैं, इसलिए केवल एक पेड़ नहीं है। पेड़ों का एक पूरा जंगल है। कुछ पेड़ कहते हैं कि स्कूल A सबसे अच्छा है; अन्य कहते हैं कि स्कूल B सबसे अच्छा है।
पुराना तरीका: पुराने तरीके पूरे जंगल को काट देंगे, उसे बुरादा बना देंगे और सब कुछ मिलाकर एक एकल "औसत" तख्ता बना देंगे। आपको एक उत्तर मिल जाता है, लेकिन आप उस विवरण को खो देते हैं कि वह जंगल इतना विविध क्यों था।
नया तरीका: यह शोध पत्र इस जंगल का पता लगाने का सुझाव देता है। हम जानना चाहते हैं: "कितने पेड़ कहते हैं कि स्कूल A विजेता है?" "कितने पेड़ कहते हैं कि स्कूल B विजेता है?"

चुनौती: जंगल बहुत बड़ा है

यहाँ समस्या यह है: यदि आपके पास विकल्पों की मध्यम संख्या भी है, तो इस जंगल में पेड़ों की संख्या अत्यधिक है।

एक सरल समस्या के लिए, दस लाख पेड़ हो सकते हैं।
एक वास्तविक दुनिया की समस्या (जैसे टेलीकॉम नेटवर्क बनाना) के लिए, 21 अरब पेड़ हो सकते हैं।

आप संभवतः जंगल के हर पेड़ के माध्यम से नहीं जा सकते। इसमें पूरा जीवन लग जाएगा।

समाधान: "रैंडम वॉक" करने वाला यात्री

चूंकि आप हर पेड़ पर नहीं जा सकते, इसलिए लेखक एक "रैंडम वॉक" (यादृच्छिक भ्रमण) करने वाले यात्री को भेजने का सुझाव देते हैं।

यात्री एक यादृच्छिक स्थान से शुरू करता है।
वह एक पड़ोसी पेड़ की ओर कदम बढ़ाता है, फिर एक और, और फिर एक और।
वह हर पेड़ जाने की कोशिश नहीं करता है। वह बस कुछ समय के लिए इधर-उधर घूमता है, यादृच्छिक रूप से हजारों पेड़ों का दौरा करता है।
क्योंकि "रैंडम वॉक" गणितीय रूप से सिद्ध है कि निष्पक्ष है, इसलिए यात्री जिन पेड़ों का दौरा करता है, वे पूरे जंगल का एक सटीक नमूना (sample) होते हैं।

केवल 20,000 पेड़ों को देखकर (जिसमें कंप्यूटर को कुछ सेकंड लगते हैं), यात्री आपको उच्च विश्वास के साथ बता सकता है कि पूरा जंगल कैसा दिखता है।

आपको क्या मिलता है

एक एकल, कठोर उत्तर जैसे "स्कूल A विजेता है" देने के बजाय, यह विधि आपको संभावनाएं (probabilities) देती है (यह मौसम के पूर्वानुमान की तरह है):

"जीतने की संभावना" (Pairwise Winning Index):
- पुराना तरीका: "स्कूल A, स्कूल B से बेहतर है।"
- नया तरीका: "स्कूल A के बेहतर होने की 91% संभावना है, लेकिन स्कूल B के जीतने की 9% संभावना है। इसलिए, आप बहुत आश्वस्त हो सकते हैं, लेकिन 100% निश्चित नहीं हैं।"
"रैंकिंग की संभावना" (Rank Acceptability Index):
- पुराना तरीका: "स्कूल A नंबर 1 है।"
- नया तरीका: "स्कूल A के नंबर 1 होने की 51% संभावना है, नंबर 2 होने की 49% संभावना है, और नंबर 3 होने की 0% संभावना है।"

यह आपको न केवल यह बताता है कि कौन जीतता है, बल्कि यह भी बताता है कि वह जीत कितनी स्थिर है। यदि स्कूल A 99% पेड़ों में नंबर 1 है, तो यह एक ठोस विकल्प है। यदि यह केवल 51% पेड़ों में नंबर 1 है, तो यह एक सिक्के के उछाल (coin flip) जैसा है, और आपको अपने मानदंडों पर पुनर्विचार करने की आवश्यकता हो सकती है।

यह वास्तविक दुनिया में क्यों मायने रखता है

शोध पत्र ने एक बड़े पैमाने की समस्या पर इसका परीक्षण किया: ग्रामीण क्षेत्रों के लिए दूरसंचार बैकबोन (telecommunications backbone) चुनना।

डेटा: उनके पास अधूरी जानकारी थी (लोगों ने हर एक सवाल का जवाब नहीं दिया था)।
पैमाना: उनके पास संयोजनों के 21.7 अरब संभावित तरीके थे।
परिणाम: अपने "रैंडम वॉक" यात्री का उपयोग करके, उन्हें अत्यधिक सटीक चित्र प्राप्त करने के लिए केवल 20,000 संयोजनों की जांच करने की आवश्यकता थी। उन्होंने पाया कि दो विकल्प स्पष्ट रूप से खराब थे, और दो बहुत करीब थे, जिसमें एक का मामूली बढ़त के साथ पलड़ा भारी था।

निष्कर्ष

यह शोध पत्र हमें असंगति से डरना बंद करने की शिक्षा देता है। जब आपकी प्राथमिकताएं पूरी तरह से मेल नहीं खातीं, तो इसका मतलब यह नहीं है कि आप गलत हैं; इसका मतलब है कि आप जटिल हैं।

संभावनाओं के इस जंगल के माध्यम से "रैंडम वॉक" का उपयोग करके, हम उस भ्रम को उपयोगी संभावनाओं में बदल सकते हैं। यह निर्णय लेने वालों को यह कहने में मदद करता है कि: "मैं 100% निश्चित नहीं हूँ, लेकिन मैं 90% आश्वस्त हूँ कि यही सही रास्ता है," जो अक्सर एक एकल, पूर्ण उत्तर होने का ढोंग करने की तुलना में बहुत अधिक ईमानदार और सहायक होता है।

यहाँ शोध पत्र "Preference Analysis Using Random Spanning Trees: A Stochastic Sampling Approach to Inconsistent Pairwise Comparisons" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र मल्टी-क्राइटेरिया डिसीजन एनालिसिस (MCDA) में एक मौलिक सीमा को संबोधित करता है, विशेष रूप से पेयरवाइज कंपैरिजन (PC) के संदर्भ में।

मुख्य मुद्दा: पारंपरिक विधियाँ (जैसे, एनालिटिक हायरार्की प्रोसेस - AHP, आइजनवेक्टर मेथड्स) विसंगत मानवीय निर्णयों को एक एकल "प्रायोरिटी वेक्टर" में संकलित करने के लिए मजबूर करती हैं। यह प्रक्रिया विसंगतियों के भीतर निहित जानकारी को त्याग देती है, उन्हें केवल न्यूनतम किए जाने वाले त्रुटियों के रूप में मानती है, न कि प्राथमिकता अनिश्चितता के संकेत के रूप में।
कंप्यूटेशनल बाधा: जबकि स्पैनिंग ट्री दृष्टिकोण स्वतंत्र निर्णयों के उपसमुच्चयों से प्राप्त सभी संभावित सुसंगत प्राथमिकता क्रमों (mindsets) को सूचीबद्ध करके एक सैद्धांतिक रूप से बेहतर विधि प्रदान करता है, यह घातांकीय कंप्यूटेशनल जटिलता (exponential computational complexity) से ग्रस्त है। $m$ मानदंडों और $n$ विकल्पों वाली समस्या के लिए, स्पैनिंग ट्री संयोजनों की संख्या $m^{m-2} \times n^{n(m-2)}$ होती है। 4 विकल्पों और 6 मानदंडों जैसी मध्यम समस्या भी अरबों संयोजन उत्पन्न करती है, जिससे पूर्ण सूची बनाना (complete enumeration) गणनात्मक रूप से असंभव हो जाता है।
डेटा अपूर्णता: वास्तविक दुनिया के निर्णय लेने वाले अक्सर सभी संभावित जोड़ों के लिए निर्णय प्रदान नहीं कर पाते (अपूर्ण मैट्रिक्स)। पारंपरिक विधियों के लिए डेटा इमप्यूटेशन (data imputation) की आवश्यकता होती है, जो पूर्वाग्रह पेश कर सकता है, जबकि मौजूदा स्पैनिंग ट्री विधियाँ बिना संशोधन के अधूरे डेटा के साथ संघर्ष करती हैं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक स्टोकेस्टिक सैंपलिंग फ्रेमवर्क प्रस्तावित करते हैं जो पूर्ण सूची बनाने के बजाय प्राथमिकताओं के वितरण का अनुमान लगाने के लिए रैंडम वॉक एल्गोरिदम का लाभ उठाता है।

A. वैचारिक बदलाव: त्रुटि के बजाय अनिश्चितता (Uncertainty over Error)

विसंगतियों को ठीक करने के बजाय, लेखक उन्हें प्राथमिकता अनिश्चितता के प्रमाण के रूपas देखते हैं। उनका मानना है कि एक निर्णयकर्ता एक साथ कई वैध, सुसंगत "माइंडसेट्स" रख सकता है। लक्ष्य एक एकल औसत खोजने के बजाय इन माइंडसेट्स के वितरण को चरित्रित करना है।

B. स्पैनिंग ट्री तंत्र (The Spanning Tree Mechanism)

परिभाषा: एक PC मैट्रिक्स में $(n-1)$ परस्पर स्वतंत्र निर्णय होते हैं। प्रत्येक स्पैनिंग ट्री एक विशिष्ट, सुसंगत प्रायोरिटी वेक्टर प्रदान करता है।
एकत्रीकरण (Aggregation): मानदंड मैट्रिक्स और प्रत्येक मानदंड के लिए विकल्प मैट्रिसेस से स्पैनिंग ट्री को मिलाकर, एक समग्र प्राथमिकता वेक्टर्स का सेट तैयार किया जाता है।
मेट्रिक्स:
- पेयरवाइज विनिंग इंडेक्स (PWI): वह प्रायिकता कि विकल्प $A$ को सभी संभावित स्पैनिंग ट्री संयोजनों में विकल्प $B$ से बेहतर माना जाएगा।
- रैंक एक्सेप्टेबिलिटी इंडेक्स (RAI): वह प्रायिकता कि एक विकल्प एक विशिष्ट रैंक (1st, 2nd, आदि) प्राप्त करता है।

C. रैंडम वॉक के माध्यम से स्टोकेस्टिक सैंपलिंग

संयोजनों की घातांकीय वृद्धि से निपटने के लिए, लेखक स्पैनिंग ट्री के सांख्यिकीय रूप से प्रतिनिधि नमूने को उत्पन्न करने के लिए रैंडम वॉक प्रक्रियाओं (Aldous और Broder के कार्य पर आधारित) का उपयोग करते हैं।

प्रक्रिया: एल्गोरिदम एक स्पैनिंग ट्री उत्पन्न करने के लिए निर्णयों के ग्राफ पर एक रैंडम वॉक करता है। इस प्रक्रिया को $N$ बार दोहराने से $N$ आकार का एक नमूना बनता है।
सांख्यिकीय वैधता: रैंडम वॉक स्पैनिंग ट्री के स्थान पर एक यूनिफॉर्म डिस्ट्रीब्यूशन उत्पन्न करता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि नमूना निष्पक्ष है।
नमूना आकार निर्धारण: मानक सांख्यिकीय सैंपलिंग सिद्धांत का उपयोग करके, एक विशिष्ट सटीकता ( $\lambda$ ) और विश्वास स्तर ( $C$ ) प्राप्त करने के लिए आवश्यक पुनरावृत्तियों ($It$) की गणना इस प्रकार की जाती है:
$It(\lambda, C) = \frac{Z_C^2}{4\lambda^2}$
जहाँ $Z_C$ एक z-स्कोर है। उदाहरण के लिए, 99% विश्वास के साथ $\pm 1\%$ सटीकता प्राप्त करने के लिए, कुल जनसंख्या आकार (अरबों) की परवाह किए बिना, लगभग 16,641 पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होती है।

D. अपूर्ण डेटा को संभालना

यह विधि अपूर्ण पेयरवाइज कंपैरिजन मैट्रिसेस को स्वाभाविक रूप से समायोजित करती है। स्पैनिंग ट्री के लिए अनुकूलित किरचॉफ फॉर्मूला का उपयोग करके, एल्गोरिथ्म बिना किसी लापता मान को इमप्यूट किए वैध नमूने उत्पन्न कर सकता है, जिससे डेटा अखंडता बनी रहती है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

कंप्यूटेशनल सुगमता (Computational Tractability): यह शोध पत्र स्पैनिंग ट्री की सैद्धांतिक सुंदरता और व्यावहारिक अनुप्रयोग के बीच के अंतर को पाटता है। यह एक NP-hard सूची समस्या को एक सुलभ स्टोकेस्टिक सैंपलिंग समस्या में बदल देता है।
संभाव्यता आधारित निर्णय समर्थन (Probabilistic Decision Support): यह PWI और RAI मेट्रिक्स पेश करता है, जो निर्णय समर्थन को पॉइंट एस्टीमेट्स (जैसे, "विकल्प A सबसे अच्छा है") से बदलकर संभाव्यता संबंधी अंतर्दृष्टि (जैसे, "विकल्प A के सबसे अच्छा होने की 51% संभावना है, लेकिन दूसरा होने की 49% संभावना है") में स्थानांतरित करता है।
विसंगति और अपूर्णता के प्रति मजबूती: यह ढांचा विसंगत निर्णयों को सूचना के स्रोत के रूप में स्पष्ट रूप से संभालता है और अधूरे डेटा को मूल रूप से संसाधित करता है, जिससे डेटा इमप्यूटेशन से जुड़े पूर्वाग्रहों से बचा जा जा सकता है।
सांख्यिकीय कठोरता: शोध पत्र नमूना आकार आवश्यकताओं के लिए एक औपचारिक व्युत्पन्न प्रदान करता है, जिससे चिकित्सकों को कंप्यूटेशनल लागत और परिणाम की सटीकता के बीच संतुलन बनाने की अनुमति मिलती है।

4. परिणाम और सत्यापन (Results and Validation)

कार्यप्रणाली को दो अलग-अलग केस स्टडीज के माध्यम से सत्यापित किया गया था:

A. डायडैक्टिक उदाहरण (स्कूल चयन)

सेटअप: 3 स्कूलों और 6 मानदंडों वाली एक क्लासिक समस्या।
सत्यापन: लेखकों ने अपने रैंडम वॉक परिणामों की तुलना सभी ~944,000 स्पैनिंग ट्री संयोजनों के सटीक गणना (exact enumeration) से की।
परिणाम: रैंडम वॉक अनुमानों (लगभग 20,000 पुनरावृत्तियों पर आधारित) में PWI और RAI दोनों के लिए सटीक जनसंख्या मूल्यों से 1% से कम का विचलन देखा गया। इसने पुष्टि की कि स्टोकेस्टिक दृष्टिकोण माइंडसेट्स के अंतर्निहित वितरण को सटीक रूप से पकड़ता है।

B. वास्तविक दुनिया का केस स्टडी (टेलीकम्युनिकेशन इंफ्रास्ट्रक्चर)

सेटअप: ग्रामीण क्षेत्रों के लिए बैकबोन इंफ्रास्ट्रक्चर का चयन जिसमें 4 विकल्प (फाइबर, पावरलाइन, माइक्रोवेव, सैटेलाइट) और 6 मानदंड श्रेणियां शामिल थीं।
पैमाना: कुल स्पैनिंग ट्री संयोजनों की संख्या लगभग 21.7 बिलियन थी।
परिणाम:
- रैंडम वॉक दृष्टिकोण ने सफलतापूर्वक पहचान लिया कि माइक्रोवेव और सैटेलाइट प्रमुख विकल्प थे, जबकि फाइबर और पावरलाइन दब गए थे।
- महत्वपूर्ण रूप से, इसने शीर्ष दो के बीच की अनिश्चितता को उजागर किया: माइक्रोवेव को सैटेलाइट (51% बनाम 49%) की तुलना में थोड़ा प्राथमिकता दी गई, एक ऐसा सूक्ष्म अंतर जिसे सिंगल-पॉइंट एस्टीमेट छिपा या गलत तरीके से प्रस्तुत कर सकता था।
- 20 दोहराव वाले प्रयोगों में मानक विचलन नगण्य (< 0.005) था, जो उच्च विश्वसनीयता प्रदर्शित करता है।

5. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

व्यावहारिक प्रयोज्यता: यह दृष्टिकोण स्पैनिंग ट्री पद्धति को बड़े पैमाने की वास्तविक दुनिया की समस्याओं के लिए व्यवहार्य बनाता है जहाँ निर्णयकर्ता जटिल, विसंगत और अक्सर अधूरे डेटा का सामना करते हैं।
बेहतर निर्णय गुणवत्ता: प्राथमिकता की मजबूती (preference robustness) को मापकर, निर्णयकर्ता यह आकलन कर सकते हैं कि उनके विकल्प कितने स्थिर हैं। यदि किसी विकल्प के जीतने की उच्च संभावना है लेकिन स्कोर का वितरण बहुत व्यापक है, तो यह उच्च जोखिम/अनिश्चितता का संकेत देता है।
मेथोडोलॉजिकल शिफ्ट: यह शोध पत्र MCDA में एक वैचारिक बदलाव का समर्थन करता है: "सच्ची प्राथमिकता खोजने" (जो मानव संज्ञानात्मक सीमाओं के कारण मौजूद नहीं हो सकती है) से "संभावित प्राथमिकताओं के स्थान को चरित्रित करने" की ओर।
स्केलेबिलिटी: केवल ~20,000 पुनरावृत्तियों का उपयोग करके अरबों संयोजनों वाली समस्याओं को हल करने की क्षमता, निर्णय समर्थन प्रणालियों में एक बड़ी छलांग का प्रतिनिधित्व करती है।

निष्कर्षतः, यह शोध पत्र एक मजबूत, सांख्यिकीय रूप से आधारित ढांचा प्रदान करता है जो विसंगत और अपूर्ण पेयरवाइज कंपैरिजन को त्रुटि के स्रोत से बदलकर एक समृद्ध संभाव्यता संबंधी अंतर्दृष्टि के स्रोत में बदल देता है, जिससे अधिक सूचित और लचीले निर्णय लेना संभव हो जाता है।