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Efficient frontiers for portfolios under SSD and law-invariant risk measures with hyperbolic return distributions

यह शोध पत्र सामान्य माध्य-विचलन मिश्रण मॉडलों (normal mean-variance mixture models) के भीतर स्टोकेस्टिक डोमिनेंस संबंधों को स्थापित करके, मनमाने लॉ-इनवेरिएंट उत्तल जोखिम मापों (arbitrary law-invariant convex risk measures) के तहत कुशल पोर्टफोलियो के लिए क्लोज्ड-फॉर्म अभिव्यक्तियों को व्युत्पन्न करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि ऐसे प्रश्नों को एक रूपांतरित मार्कविट्ज़ माध्य-विचलन ढांचे के माध्यम से हल किया जा सकता है और इस संदर्भ में CAPM का विस्तार किया जा सकता है।

मूल लेखक: Hasanjan Sayit

प्रकाशित 2026-08-18

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Hasanjan Sayit

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निवेशकों ने लंबे समय से वित्तीय बाजारों के अशांत समुद्रों में नेविगेट करने के लिए एक विश्वसनीय मानचित्र की तलाश की है। सबसे प्रसिद्ध मानचित्र, जिसे बीसवीं सदी के मध्य में बनाया गया था, एक सरल धारणा पर आधारित है: कि परिसंपत्तियों की कीमतों के दैनिक उतार-चढ़ाव एक अनुमानित, घंटी के आकार (बेल-शेप्ड) के पैटर्न का पालन करते हैं। यह क्लासिक दृष्टिकोण जोखिम को उस घंटी के वक्र की चौड़ाई के रूप में मानता है, जो यह मापता है कि कीमतें आमतौर पर अपने औसत से कितनी विचलित होती हैं। यह तब अच्छा काम करता है जब बाजार विनम्र व्यवहार करते हैं, लेकिन वास्तविक दुनिया का डेटा अक्सर एक अलग कहानी बताता है। वास्तविक बाजार रिटर्न अक्सर औसत के आसपास कसकर केंद्रित होते हैं, फिर भी वे घंटी के वक्र द्वारा अनुमानित तुलना में कहीं अधिक बार अत्यधिक, अप्रत्याशित उछाल पैदा करते हैं। इसके अलावा, ये रिटर्न अक्सर एकतरफा होते हैं, जो दूसरे पक्ष की तुलना में एक तरफ अधिक झुके होते हैं। जब अंतर्निहित डेटा घंटी के वक्र के साफ, सममित आकार में फिट होने से इनकार कर देता है, तो पुराने मानचित्र अविश्वसनीय हो जाते हैं, जिससे निवेशक सुरक्षा और लाभ के बीच सर्वोत्तम संभव संतुलन के लिए स्पष्ट मार्ग के बिना रह जाते हैं।

हसनजन सायित का एक नया अध्ययन इन अधिक जटिल, वास्तविक दुनिया की स्थितियों के लिए संशोधित निर्देशांक (कोऑर्डिनेट्स) प्रदान करता है। यह शोध प्रायिकता मॉडलों के एक परिष्कृत परिवार पर केंद्रित है जिन्हें 'नॉर्मल मीन-वैरिएंस मिक्सचर्स' के रूप में जाना जाता है। ये मॉडल शक्तिशाली हैं क्योंकि वे पारंपरिक बेल कर्व की तुलना में वास्तविक वित्तीय डेटा के अव्यवस्थित, भारी-पूंछ (हेवी-टेल्ड) और विषम व्यवहार की बहुत बेहतर नकल कर सकते हैं। इस ढांचे के भीतर, लेखक पोर्टफोलियो अनुकूलन (पोर्टफोलियो ऑप्टिमाइजेशन) की मौलिक समस्या को संबोधित करता है: परिसंपत्तियों का वह विशिष्ट मिश्रण खोजना जो जोखिम के एक दिए गए स्तर के लिए उच्चतम अपेक्षित रिटर्न प्रदान करता है, या इसके विपरीत, वांछित रिटर्न के लिए न्यूनतम जोखिम। चुनौती यह रही है कि जब रिटर्न एक साधारण बेल कर्व का पालन नहीं करते हैं, तो इन अनुकूलित मिश्रणों की गणना करने के लिए आमतौर पर जटिल, कंप्यूटर-भारी सिमुलेशन की आवश्यकता होती है जो कोई स्पष्ट, सरल सूत्र प्रदान नहीं करते हैं।

शोध पत्र की केंद्रीय खोज यह है कि इन जटिल, यथार्थवादी वितरणों के साथ भी, एक स्पष्ट और सीधा समाधान मौजूद है। लेखक प्रदर्शित करता है कि आधुनिक जोखिम मापों की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए इष्टतम पोर्टफोलियो को एक मानक, सुस्थापित समस्या को हल करके पाया जा सकता है, बशर्ते कि पहले इनपुट डेटा को थोड़ा समायोजित किया जाए। परिसंपत्तियों के कच्चे औसत रिटर्न और कच्चे उतार-चढ़ाव (वोलाटिलिटी) का उपयोग करने के बजाय, इस पद्धति में इन इनपुट्स को एक नए, संशोधित मानों के सेट में बदलना शामिल है। एक बार जब यह रूपांतरण लागू हो जाता है, तो समस्या क्लासिक मीन-वैरिएंस गणना के परिचित रूप में सिमट जाती है। इसका अर्थ है कि निवेशकों और वित्तीय इंजीनियरों को उन कुशल, क्लोज्ड-फॉर्म सूत्रों को छोड़ने की आवश्यकता नहीं है जिन्हें वे पहले से जानते हैं; उन्हें बस सही, समायोजित संख्याएं फीड करने की आवश्यकता है। अध्ययन सिद्ध करता है कि यह दृष्टिकोण किसी भी ऐसे जोखिम माप के लिए काम करता है जो इस सिद्धांत का सम्मान करता है कि परिणामों के बेहतर वितरण वाला पोर्टफोलियो हमेशा पसंदीदा होता है, एक ऐसी श्रेणी जिसमें 'कंडीशनल वैल्यू-एट-रिस्क' जैसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले उपकरण शामिल हैं।

सर्वश्रेष्ठ पोर्टफोलियो मिश्रण खोजने के अलावा, यह शोध 'कैपिटल एसेट प्राइसिंग मॉडल' का विस्तार करता है, जो एक आधारभूत सिद्धांत है जो बताता है कि जोखिम के आधार पर परिसंपत्तियों को कैसे मूल्यित किया जाना चाहिए। पारंपरिक संस्करण यह मानता है कि एक पूर्ण समरूपता और बेल-शेप्ड रिटर्न वाली दुनिया है। सायित का कार्य दिखाता है कि यह मूल्य निर्धारण तर्क भी बना रह सकता है जब रिटर्न विषम और भारी-पूंछ वाले हों, बशर्ते कि सभी परिसंपत्तियां एक सामान्य अंतर्निहित यादृच्छिकता (रैंडमनेस) के स्रोत को साझा करती हों। परिणाम एक नया मूल्य निर्धारण नियम है जो रिटर्न के विशिष्ट आकार को ध्यान में रखता है। यह प्रकट करता है कि जोखिम और रिटर्न के बीच का संबंध रैखिक और अनुमानित रहता है, लेकिन "जोखिम" की परिभाषा सरल विचरण (वैरिएंस) से बदलकर एक ऐसे माप में बदल जाती है जो बाजार की अद्वितीय, विषम प्रकृति को पकड़ता है। यह निष्कर्ष चरम घटनाओं और विषमता के सामान्य होने वाली दुनिया में परिसंपत्तियों के मूल्य निर्धारण के लिए एक मजबूत सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है, जो आधुनिक वित्त में निर्णय लेने के लिए अधिक यथार्थवादी मार्ग प्रस्तुत करता है।

तकनीकी सारांश: SSD और लॉ-इनवेरिएंट रिस्क मेजर्स के तहत पोर्टफोलियो के लिए एफिशिएंट फ्रंटियर्स (Efficient Frontiers)

समस्या विवरण
शास्त्रीय मार्कविट्ज़ मीन-वेरिएंस (Markowitz mean–variance) ढांचा इस धारणा पर निर्भर करता है कि परिसंपत्ति रिटर्न सामान्य वितरण (normal distribution) का पालन करते हैं, जिससे पोर्टफोलियो अनुकूलन समस्याओं के लिए क्लोज्ड-फॉर्म समाधान संभव हो पाते हैं। हालांकि, अनुभवजन्य साक्ष्य लगातार यह दर्शाते हैं कि परिसंपत्ति रिटर्न में ऐसी विशेषताएं होती हैं जो सामान्यता (normality) के प्रतिकूल हैं, जैसे कि भारी पूंछ (heavy tails), माध्य के आसपास उच्च संकेंद्रण, और विषमता (skewness)। जबकि सामान्यीकृत हाइपरबोलिक वितरण और उनके उपवर्ग, नॉर्मल मीन-वेरिएंस मिक्सचर (NMVM) मॉडल, इन अनुभवजन्य विशेषताओं के लिए एक बहुमुखी और सटीक फिट प्रदान करते हैं, व्यापक मीन-रिस्क फॉर्मुलेशन (व्यापक जोखिम मापों का उपयोग करके) के तहत क्लोज्ड-फॉर्म इष्टतम पोर्टफोलियो प्राप्त करना आमतौर पर कठिन रहा है।

यह शोध पत्र एक अनुकूलन समस्या को संबोधित करता है: एक लक्षित अपेक्षित रिटर्न $E(-\omega^T X) = r$ और बजट बाधा $\omega^T \mathbf{1} = 1$ के अधीन एक जोखिम माप $\rho(-\omega^T X)$ को न्यूनतम करना, जहाँ रिटर्न वेक्टर $X$ एक NMVM वितरण का अनुसरण करता है। विशिष्ट चुनौती उन फ्रंटियर पोर्टफोलियो के लिए स्पष्ट, क्लोज्ड-फॉर्म अभिव्यक्तियों को व्युत्पन्न करने की है जहाँ $\rho$ एक लॉ-इनवेरिएंट (law-invariant), उत्तल (convex) जोखिम माप है जो केवल वेरिएंस के बजाय कंडीशनल वैल्यू-एट-रिस्क (CVaR) जैसे सेकंड-ऑर्डर स्टोकेस्टिक डोमिनेंस (SSD) के साथ संगत भी है।

कार्यप्रणाली
लेखक का दृष्टिकोण दो मुख्य चरणों में आगे बढ़ता है: NMVM परिवार के भीतर स्टोकेस्टिक डोमिनेंस संबंधों को स्थापित करना और इन संबंधों का लाभ उठाकर अनुकूलन समस्या को हल करना।

NMVM मॉडलों में स्टोकेस्टिक डोमिनेंस (SD):
शोध पत्र पहले एक-आयामी NMVM मॉडलों के लिए उच्च-क्रम स्टोकेस्टिक डोमिनेंस (kSD) संबंधों की जांच करता है। एक NMVM रैंडम वेरिएबल $\eta$ को $\eta \stackrel{d}{=} a + bZ + \sqrt{Z}N$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $Z$ एक धनात्मक मिक्सिंग वेरिएबल है और $N$ एक मानक सामान्य (standard normal) वेरिएबल है।

लेखक सामान्य, एलिप्टिकल और सामान्य NMVM वेरिएबल्स के लिए उच्च-क्रम संचयी वितरण फलनों (k-CDFs) के लिए स्पष्ट सूत्र व्युत्पन्न करता है।
k-CDFs के गुणों और पूर्व साहित्य (विशेष रूप से सेंट्रल सेमी-डेविएशन के संबंध में) के परिणामों का उपयोग करते हुए, शोध पत्र इस वर्ग के भीतर kSD के लिए स्थितियां स्थापित करता है।
एक प्रमुख निष्कर्ष यह है कि NMVM वेरिएबल्स $\eta_1 \sim a_1 + b_1 Z + c_1 \sqrt{Z}N$ और $\eta_2 \sim a_2 + b_2 Z + c_2 \sqrt{Z}N$ के लिए, संबंध $\eta_1 \succeq^{(k+1)} \eta_2$ यह निहित करता है कि $a_1 + b_1 E[Z] \ge a_2 + b_2 E[Z]$ और $c_1 \le c_2$ । जबकि सामान्य $k$ के लिए इन स्थितियों की पर्याप्तता (sufficiency) स्थापित की गई है, मॉडल बाधाओं के तहत $(k+1)$ -वें क्रम के डोमिनेंस संबंध के लिए इनकी अनिवार्यता (necessity) को विशेष रूप से सिद्ध किया गया है।

पोर्टफोलियो अनुकूलन:
अनुकूलन समस्या का विश्लेषण इस धारणा के तहत किया जाता है कि $\rho$ एक परिमित-मान वाला, लॉ-इनवेरिएंट, उत्तल जोखिम माप है जो सेकंड-ऑर्डर स्टोकेस्टिक डोमिनेंस के साथ संगत (SSD-consistent) है।

लेखक एक रूपांतरित रिटर्न वेक्टर $\theta$ को परिभाषित करता है जिसका माध्य $\mu_\theta = \mu + \gamma E[Z]$ और कोवेरिएंस मैट्रिक्स $\Sigma_\theta = \Sigma$ है (जहाँ $\mu, \gamma, \Sigma$ मूल NMVM मॉडल के पैरामीटर हैं)।
प्रथम चरण में व्युत्पन्न SD संबंधों का उपयोग करते हुए, शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि किसी भी पोर्टफोलियो $\omega$ के लिए जो बाधाओं को पूरा करता है, पोर्टफोलियो रिटर्न $\omega^T X$ एक विशिष्ट "फ्रंटियर" पोर्टफोलियो के रिटर्न द्वारा स्टोकेस्टिक रूप से डोमिनेट किया जाता है, यदि और केवल यदि वह फ्रंटियर पोर्टफोलियो रूपांतरित वेक्टर $\theta$ के वेरिएंस को न्यूनतम करता है। $\rho$ की SSD-संगतता यह सुनिश्चित करती है कि $\theta$ के वेरिएंस को न्यूनतम करना $\rho$ को भी न्यूनतम करता है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

SSD-संगत जोखिम मापों के लिए क्लोज्ड-फॉर्म समाधान: केंद्रीय परिणाम (थ्योरम 3.4) यह बताता है कि किसी भी लॉ-इनवेरिएंट, उत्तल जोखिम माप $\rho$ के तहत मीन-रिस्क समस्या के लिए इष्टतम पोर्टफोलियो, एक मानक मार्कविट्ज़ मीन-वेरिएंस समस्या के समाधान के समान होता है, बशर्ते कि रिटर्न वेक्टर रूपांतरित हो। विशेष रूप से, इष्टतम वेट $\omega^*$ सूत्र (8) द्वारा दिए गए हैं लेकिन इसे माध्य वेक्टर $\mu + \gamma E[Z]$ और कोवेरिएंस मैट्रिक्स $\Sigma$ पर लागू किया गया है (पूरे $X$ के कोवेरिएंस पर नहीं, जिसमें $Var(Z)$ से संबंधित पद शामिल है)।
CVaR पर अनुप्रयोग: चूंकि CVaR एक सुसंगत (coherent), लॉ-इनवेरिएंट, उत्तल और SSD-संगत जोखिम माप है, शोध पत्र NMVM-वितरित रिटर्न्स के तहत CVaR को न्यूनतम करने के लिए एक क्लोज्ड-फॉर्म समाधान प्रदान करता है (कोरोलरी 3.7)। शोध पत्र नोट करता है कि वैल्यू-एट-रिस्क (VaR) के लिए ऐसा समाधान प्राप्त करना चुनौतीपूर्ण है क्योंकि VaR उत्तल नहीं है और सेकंड-ऑर्डर स्टोकेस्टिक डोमिनेंस को संतुष्ट नहीं करता है।
CAPM का विस्तार: शोध पत्र NMVM ढांचे के तहत कैपिटल एसेट प्राइसिंग मॉडल (CAPM) का विस्तार करता है। यह मानते हुए कि सभी परिसंपत्तियां एक ही मिक्सिंग डिस्ट्रीब्यूशन $Z$ $Z$ साझा करती हैं, लेखक एक "स्क्यूनेस-इंड्यूस्ड CAPM" (SI-CAPM) व्युत्पन्न करता है।
- पारंपरिक CAPM के विपरीत, जहाँ अपेक्षित अतिरिक्त रिटर्न (expected excess return) बाजार के कोवेरिएंस के साथ रैखिक रूप से संबंधित होता है, SI-CAPM अपेक्षित अतिरिक्त रिटर्न को "स्क्यूनेस-इंड्यूस्ड बीटा" ( $\beta_{SI}$ ) से जोड़ता है।
- इसकी प्राइसिंग फॉर्मूला $E[R] - r_f = \beta_{SI}(E[R_m] - r_f)$ है, जहाँ $\beta_{SI}$ परिसंपत्ति और मार्केट रिटर्न्स के स्टैंडर्ड नॉर्मल कंपोनेंट्स के बीच सहसंबंध पर निर्भर करता है, जिसे मिक्सचर पैरामीटर्स के आधार पर समायोजित किया गया है।
एफिशिएंट फ्रंटियर ज्योमेट्री: शोध पत्र मीन- $\rho$ एफिशिएंट फ्रंटियर कर्व का स्पष्ट समीकरण व्युत्पन्न करता है। यह दिखाता है कि फ्रंटियर (एक विशिष्ट डेविएशन मेजर के तहत) मीन-स्टैंडर्ड डेविएशन प्लेन में हाइपरबोलिक आकार बनाए रखता है और निर्दिष्ट रूप के किसी भी जोखिम माप $\rho$ का प्रतिनिधित्व करने के लिए इसे ट्रांसलेट और रीस्केल किया जा सकता है।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि इसका प्राथमिक योगदान यह प्रदर्शित करना है कि सामान्य लॉ-इनवेरिएंट उत्तल जोखिम मापों के तहत पोर्टफोलियो अनुकूलन की जटिलता को एक उपयुक्त रूपांतरित रिटर्न वेक्टर के साथ मानक मार्कविट्ज़ समस्या को हल करके कम किया जा सकता है, जब रिटर्न्स NMVM संरचना का पालन करते हैं और जोखिम माप SSD के साथ संगत होता है। यह निष्कर्ष बताता है कि "मीन-वेरिएंस" अंतर्ज्ञान तब भी मजबूत रहता है जब रिटर्न गैर-सामान्य (non-normal) होते हैं और जोखिम को CVaR जैसे अधिक परिष्कृत मानदंडों द्वारा मापा जाता है।

इसके अलावा, व्युत्पन्न SI-CAPM उन बाजारों में एसेट प्राइसिंग के लिए एक सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है जहाँ रिटर्न में स्क्यूनेस और भारी पूंछ (heavy tails) मौजूद होती है, जो शास्त्रीय CAPM की प्रतिबंधात्मक सामान्यता धारणा से आगे बढ़ता है। लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि हालांकि सभी परिसंपत्तियों के लिए एक समान मिक्सिंग डिस्ट्रीब्यूशन का अनुमान लगाना प्रतिबंधात्मक है, लेकिन इस श्रेणी के वितरणों के लिए CAPM के कठोर सैद्धांतिक विस्तार को प्राप्त करने के लिए यह आवश्यक है। यह कार्य पोर्टफोलियो चयन और जोखिम प्रबंधन के लिए एक व्यावहारिक उपकरण प्रदान करता है जहाँ अनुभवजन्य सटीकता के लिए सामान्यीकृत हाइपरबोलिक वितरणों को प्राथमिकता दी जाती है।

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