A Simple Model for Quantum Gravity I: the one-dimensional case
यह शोध पत्र U(1) हार माप (Haar measure) का उपयोग करते हुए एक सरल एक-आयामी यूक्लिडियन क्वांटम ग्रेविटी मॉडल का प्रस्ताव और विश्लेषणात्मक समाधान प्रस्तुत करता है, जिससे यह स्पष्ट होता है कि जहाँ खुली वक्र रेखाएँ (open curves) निरंतरता सीमा (continuum limit) में एक अनंत ब्रह्मांड उत्पन्न करती हैं, वहीं धनात्मक ब्रह्मांडीय स्थिरांक (positive cosmological constant) वाली बंद वक्र रेखाएँ एक परिमित-आकार के ब्रह्मांड का परिणाम देती हैं।
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ब्रह्मांड के आकार को समझने की कल्पना करें जब इसे इसके पूर्णतः सरलतम रूप में बदल दिया जाए: समय की एक एकल रेखा जिसमें कोई चौड़ाई, ऊँचाई या गहराई न हो। सैद्धांतिक भौतिकी के क्षेत्र में, यह केवल एक वैचारिक प्रयोग नहीं है, बल्कि गुरुत्वाकर्षण को नियंत्रित करने वाले नियमों का परीक्षण करने के लिए एक आवश्यक प्रारंभिक बिंदु है। भौतिक विज्ञानी इन सूक्ष्म, विविक्त (discrete) ब्रह्मांडों का अध्ययन करने के लिए 'रेगे कैलकुलस' (Regge calculus) नामक एक विधि का उपयोग करते हैं। इसे एक मुड़ी हुई सतह को सपाट, सीधी छड़ियों से बनाने के मॉडल के रूप में समझें। इस दृष्टिकोण में, स्थान की "वक्रता" (curvature) इस बात से निर्धारित होती है कि वे छड़ें कितनी लंबी हैं और उन्हें कैसे व्यवस्थित किया गया है। हालाँकि, जब वैज्ञानिक इस पारंपरिक विधि का उपयोग करके इन छड़ियों के एक बंद लूप के व्यवहार की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो गणित एक उलझे हुए जाल जैसा हो जाता है। छड़ियों की लंबाई को एक वैध आकार बनाने के लिए सख्त नियमों का पालन करना पड़ता है, और ये नियम हाथ से समीकरणों को हल करना लगभग असंभव बना देते हैं, जिससे शोधकर्ता कंप्यूटर सिमुलेशन पर निर्भर होने के लिए मजबूर हो जाते हैं जो केवल उत्तर का अनुमान लगा सकते हैं।
रिकार्डो पाज़को नामक एक शोधकर्ता ने इस समस्या को देखने का एक अलग तरीका प्रस्तावित किया है, जो पूरी तरह से जटिल गणनाओं को दरकिनार कर देता है। छड़ियों की लंबाई को सीधे मापने के बजाय, पाज़को समय की रेखा की कल्पना एक निश्चित वृत्त के स्पर्शरेखीय (tangent) सीधे खंडों के रूप में करते हैं, जैसे पहिए के रिम को छूते हुए स्पोक्स (spokes)। इस मॉडल में, ब्रह्मांड का आकार इस बात से परिभाषित नहीं होता कि छड़ें कितनी लंबी हैं, बल्कि इस बात से होता है कि वे वृत्त को किन कोणों पर छूती हैं। दृष्टिकोण में यह बदलाव शक्तिशाली है क्योंकि यह समस्या को सटीक रूप से हल करने के लिए वृत्तों के अध्ययन से प्राप्त एक विशिष्ट, सुस्थापित गणितीय उपकरण का उपयोग करने की अनुमति देता है। कोणों को प्राथमिक चर (variables) मानकर, शोधकर्ता पूरे सिस्टम के व्यवहार की गणना बिना उन जटिल असमानताओं में फंसे कर सकता है जो पारंपरिक छड़ी-आधारित दृष्टिकोण में बाधा डालती हैं।
जब पाज़को ने इस पद्धति को एक खुले ब्रह्मांड पर लागू किया, जो एक सीधी रेखा की तरह है जिसके दो छोर हैं, तो परिणाम अनुमानित था: ब्रह्मांड अनंत रूप से बड़ा हो जाएगा, चाहे उसे फैलाने वाली ऊर्जा कितनी भी हो। यह कुछ ऐसा है जैसे एक गुब्बारा जिसमें छेद हो; आप उसमें कितनी भी हवा भर लें, वह कभी भी एक आकार नहीं पकड़ पाएगा। हालाँकि, असली आश्चर्य तब आया जब इस मॉडल को एक बंद ब्रह्मांड पर लागू किया गया, जो एक लूप है जिसका न कोई आरंभ है और न ही अंत। इस परिदृश्य में, गणित ने 'कॉस्मोलॉजिकल कांस्टेंट' (cosmological constant) नामक एक मान पर निर्भर करते हुए एक विशिष्ट और आश्चर्यजनक व्यवहार प्रकट किया, जो एक दबाव की तरह कार्य करता है जो ब्रह्मांड को या तो फैला सकता है या सिकोड़ सकता है। यदि यह दबाव नकारात्मक या शून्य है, तो ब्रह्मांड बिना किसी सीमा के फैलता है। लेकिन यदि यह दबाव सकारात्मक है, तो ब्रह्मांड अनंत काल तक बढ़ने से इनकार कर देता है। इसके बजाय, यह एक विशिष्ट, सीमित आकार में स्थिर हो जाता है।
यह अध्ययन दर्शाता है कि इस बंद, एक-आयामी दुनिया में, एक सकारात्मक कॉस्मोलॉजिकल कांस्टेंट ब्रह्मांड को उस त्रिज्या (radius) द्वारा निर्धारित आकार पर स्थिर होने के लिए मजबूर करता है, जिसका उपयोग मॉडल में आधारभूत वृत्त के रूप में किया गया है। जैसे-जैसे लूप बनाने के लिए उपयोग किए जाने वाले खंडों की संख्या बढ़ती है, जो एक चिकनी वक्रता (smooth curve) के करीब पहुँचते हैं, ब्रह्मांड का आकार अनंत तक नहीं बढ़ता। इसके बजाय, यह एक निश्चित परिधि (circumference) के करीब पहुँच जाता है। यह पारंपरिक विधि के बिल्कुल विपरीत है, जहाँ ब्रह्ंद परिस्थितियों के बावजूद बस अनंत रूप से बड़ा हो जाता। शोधकर्ता ने यह भी परीक्षण किया कि क्या होता है यदि इस प्रणाली में पदार्थ का एक सरल क्षेत्र (field of matter) जोड़ा जाता है। इस अतिरिक्त घटक के साथ भी, मौलिक व्यवहार समान रहता है: एक सकारात्मक दबाव एक सीमित ब्रह्मांड बनाता है, जबकि दबाव की कमी इसे अनिश्चित रूप से फैलने की अनुमति देती है।
यह कार्य सुझाव देता है कि स्थान की ज्यामिति को मापने का हमारा तरीका मौलिक रूप से इस बात को बदल सकता है कि हम ब्रह्मांड के व्यवहार को कैसे समझते हैं। लंबाई मापने से हटकर कोणों पर ध्यान केंद्रित करके, शोधकर्ता ने एक ऐसी समस्या का स्वच्छ, विश्लेणात्मक समाधान खोजा है जिसके लिए पहले जटिल कंप्यूटर सिमुलेशन की आवश्यकता होती थी। निष्कर्ष बताते हैं कि एक सरल, बंद ब्रह्मांड में, ब्रह्मांड का आकार एक मनमाना नंबर नहीं है, बल्कि इसके भीतर के दबाव का एक सीधा परिणाम है। हालांकि यह एक एक-आयामी दुनिया का मॉडल है, शोधकर्ता का सुझाव है कि यही तर्क उच्च आयामों (higher dimensions) पर भी लागू हो सकता है, जहाँ सकारात्मक दबाव से भरा ब्रह्मांड स्वाभाविक रूप से अनंत काल तक फैलने के बजाय एक सीमित, स्थिर आकार में बस सकता है। यह अध्ययन यह दावा नहीं करता है कि उसने हमारे वास्तविक त्रि-आयामी ब्रह्मांड के रहस्यों को सुलझा लिया है, बल्कि यह एक स्पष्ट, सटीक उदाहरण प्रदान करता है कि कैसे गुरुत्वाकर्षण और ज्यामिति एक सीमित ब्रह्मांड बनाने के लिए आपस में क्रिया कर सकते हैं।
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