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Variational Quantum Solutions to the Advection-Diffusion Equation for Applications in Fluid Dynamics

यह शोध पत्र एडवेक्शन-डिफ्यूजन समीकरण को हल करने के लिए एक हाइब्रिड क्वांटम-क्लासिकल विधि प्रस्तुत करता है जो सिस्टम आयाम के साथ कुशलतापूर्वक स्केल करती है और वर्तमान शोर वाले IBM क्वांटम हार्डवेयर पर विश्वसनीय परिणाम प्रदर्शित करती है, जो संख्यात्मक मौसम पूर्वानुमान में कम्प्यूटेशनल और शक्ति सीमाओं को दूर करने के लिए एक संभावित मार्ग प्रदान करती है।

मूल लेखक: Reuben Demirdjian, Daniel Gunlycke, Carolyn A. Reynolds, James D. Doyle, Sergio Tafur

प्रकाशित 2026-05-13

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Reuben Demirdjian, Daniel Gunlycke, Carolyn A. Reynolds, James D. Doyle, Sergio Tafur

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

बड़ी समस्या: मौसम के मॉडल बहुत भारी होते जा रहे हैं

कल्पना कीजिए कि आप मौसम की भविष्यवाणी करने की कोशिश कर रहे हैं। इसे सटीक रूप से करने के लिए, वैज्ञानिक विशाल कंप्यूटर मॉडलों का उपयोग करते हैं जो वायुमंडल को छोटे ग्रिड वर्गों में विभाजित करते हैं, जैसे कि एक विशाल 3D चेकरबोर्ड। वर्ग जितने छोटे होंगे, पूर्वानुमान उतना ही सटीक होगा।

हालाँकि, इसमें एक पेंच है। उन वर्गों को छोटा बनाने के लिए घातांकीय (exponentially) रूप से अधिक शक्ति की आवश्यकता होती है। लेखक इसकी तुलना "स्केल के अत्याचार" (tyranny of scales) से करते हैं। यदि हम अपने मौसम मॉडलों के रिज़ॉल्यूशन को छोटे तूफानों को देखने के लिए दोगुना करना चाहते हैं, तो हमें एक ऐसे सुपरकंप्यूटर की आवश्यकता होगी जो एक छोटे शहर जितनी बिजली की खपत करता हो। हम एक ऐसी दीवार से टकरा रहे हैं जहाँ हमारे वर्तमान कंप्यूटर बिना बहुत अधिक ऊर्जा जलाए और तेज़ या अधिक शक्तिशाली नहीं हो सकते। साथ ही, वह तकनीक जिसने दशकों से कंप्यूटरों को तेज़ बनाया है (मूर का नियम/Moore's Law), अब दम तोड़ रही है।

प्रस्तावित समाधान: एक क्वांटम "जादुई ट्रिक"

लेखक इस ऊर्जा बाधा को तोड़ने के लिए क्वांटम कंप्यूटिंग का उपयोग करने का सुझाव देते हैं। एक क्लासिकल कंप्यूटर की तुलना एक ऐसे लाइब्रेरियन से करें जिसे किसी विशिष्ट तथ्य को खोजने के लिए शेल्फ पर मौजूद हर एक किताब को एक-एक करके जांचना पड़ता है। एक क्वांटम कंप्यूटर एक ऐसे लाइब्रेरियन की तरह है जो जादुई रूप से एक ही समय में शेल्फ की हर किताब की जांच कर सकता है।

इस अध्ययन में, टीम ने एक बार में पूरा मौसम पूर्वानुमान हल करने की कोशिश नहीं की। इसके बजाय, उन्होंने एक विशिष्ट, सरल भौतिक समस्या पर ध्यान केंद्रित किया जिसे एडवेक्शन-डिफ्यूजन समीकरण (Advection-Diffusion Equation) कहा जाता है।

उपमा (Analogy): कल्पना कीजिए कि पानी के गिलास में स्याही की एक बूंद गिरती है। "एडवेक्शन" (Advection) का अर्थ है स्याही का धारा के साथ बहना, और "डिफ्यूजन" (Diffusion) का अर्थ है स्याही का फैलना और धुंधला होना। यह समीकरण उस गति का वर्णन करता है। यह फ्लूइड डायनेमिक्स (हवा और पानी कैसे चलते हैं) का एक बुनियादी घटक है, जो मौसम के पूर्वानुमान का केंद्र है।

उन्होंने यह कैसे किया: हाइब्रिड टीम

चूंकि वर्तमान क्वांटम कंप्यूटर अभी भी "शोर वाले" (noisy) हैं (वे आसानी से गलतियाँ करते हैं, जैसे शोर वाला रेडियो), टीम केवल क्वांटम कंप्यूटर से पूरा काम अकेले नहीं करवा सकती थी। इसके बजाय, उन्होंने एक हाइब्रिड क्वांटम-क्लासिकल दृष्टिकोण का उपयोग किया।

इसे एक शेफ और उसके सहायक (Sous-Chef) के साथ मिलकर काम करने के रूप में सोचें:

क्लासिकल कंप्यूटर (शेफ): यह भारी योजना को संभालता है। यह समस्या को सेट करता है और क्वांटम कंप्यूटर को बताता है कि क्या करना है।
क्वांटम कंप्यूटर (सहायक शेफ): यह एक बहुत ही विशिष्ट, कठिन कार्य करता है: यह एक जटिल गणितीय पहेली का उत्तर देने की कोशिश करता है।
लूप (Loop): सहायक शेफ एक अनुमान लगाता है, शेफ यह जांचता है कि वह सही उत्तर के कितने करीब है, और फिर सहायक शेफ को अपने अनुमान में थोड़ा बदलाव करने के लिए कहता है। वे इसे तब तक बार-बार दोहराते हैं जब तक कि अनुमान एकदम सही न हो जाए।

इस पद्धति को वैरिएशनल क्वांटम लीनियर सॉल्वर (VQLS) कहा जाता है।

प्रयोग: वास्तविक हार्डवेयर पर परीक्षण

टीम अपने "शेफ और सहायक" की टीम को क्लाउड पर ले गई और IBM के तीन वास्तविक, मौजूदा क्वांटम कंप्यूटरों (जिनके नाम कैरो, हनोई और मॉन्ट्रियल हैं) का उपयोग किया। ये मशीनें शुरुआती प्रोटोटाइप की तरह हैं; वे छोटी हैं और त्रुटियों के प्रति संवेदनशील हैं।

उन्होंने स्याही-पानी वाली समस्या का एक छोटा संस्करण तैयार किया।

उन्होंने समस्या को एक मैट्रिक्स (संख्याओं का ग्रिड) में विभाजित किया।
उन्होंने उन संख्याओं को उस भाषा में अनुवादित किया जिसे क्वांटम कंप्यूटर समझता है ( "क्यूबिट्स" का उपयोग करके, जो ऐसे स्विच की तरह हैं जो ऑन, ऑफ या दोनों एक साथ हो सकते हैं)।
उन्होंने यह देखने के लिए कि क्या परिणाम सुसंगत हैं, सिमुलेशन को 24 बार चलाया।

परिणाम: यह काम करता है, लेकिन इसमें 'शोर' है

परिणाम उत्साहजनक थे:

सफलता: क्वांटम कंप्यूटर समीकरण को हल करने में सक्षम थे। 24 रन का औसत परिणाम एक मानक, शक्तिशाली क्लासिकल कंप्यूटर द्वारा गणना किए गए समाधान के बहुत समान था।
सटीकता: त्रुटि दर कम थी (समय के चरण के आधार पर लगभग 6% से 15%), जिसे लेखक इतने शोर वाले मशीन के लिए एक "विश्वसनीय समाधान" मानते हैं।
पेंच (The Catch): हालांकि सभी रन का औसत अच्छा था, लेकिन व्यक्तिगत रन अलग-अलग थे। कुछ एक दिशा में थोड़े गलत थे, तो कुछ दूसरी दिशा में। यह 24 लोगों से गाय का वजन अनुमान लगाने के लिए पूछने जैसा है; औसत बिल्कुल सटीक हो सकता है, लेकिन व्यक्तिगत अनुमान बहुत अधिक या बहुत कम हो सकते हैं। लेखकों ने नोट किया कि इस "शोर" का अर्थ है कि उन्हें एक भरोसेमंद उत्तर प्राप्त करने के लिए सिमुलेशन को कई बार चलाने और परिणामों का औसत निकालने की आवश्यकता हो सकती है।

सीमाएँ: हम अभी मौसम की भविष्यवाणी क्यों नहीं कर सकते

पेपर इस बारे में बहुत स्पष्ट है कि यह अभी क्या नहीं है।

यह एक प्रूफ ऑफ कॉन्सेप्ट है: उन्होंने तरल पदार्थ की समस्या का एक छोटा, सरल संस्करण हल किया। उन्होंने पूर्ण वैश्विक मौसम पूर्वानुमान हल नहीं किया।
अवरोध (The Bottleneck): जैसे-जैसे समस्या बड़ी होती जाती है (अधिक ग्रिड वर्ग, अधिक जटिल समीकरण), क्वांटम कंप्यूटर को जितने चरणों की आवश्यकता होती है, वह बहुत तेजी से बढ़ता है (द्विघाती रूप से)। लेखकों ने पाया कि बहुत बड़ी समस्याओं के लिए, आवश्यक चरणों की संख्या इतनी अधिक हो जाएगी जिसे वर्तमान क्वांटम कंप्यूटर संभाल नहीं पाएंगे।
भविष्य: लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि हालांकि यह विशिष्ट पद्धति आज छोटी समस्याओं के लिए काम करती है, लेकिन वास्तविक दुनिया के मौसम के बड़े पैमाने को संभालने के लिए इसमें महत्वपूर्ण सुधारों की आवश्यकता है। हालांकि, यह साबित करता है कि क्वांटम कंप्यूटर अंततः हमें आज के सुपरकंप्यूटरों की भारी ऊर्जा लागत के बिना इन कठिन फ्लूइड डायनेमिक्स पहेलियों को हल करने में मदद कर सकते हैं।

सारांश

संक्षेप में, लेखकों ने एक बुनियादी तरल भौतिकी समस्या को हल करने के लिए क्लासिकल और क्वांटम कंप्यूटिंग के बीच एक छोटा पुल बनाया है। उन्होंने दिखाया कि आज की "शोर वाली" क्वांटम मशीनों के साथ भी, आप एक अच्छा उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। यह एक नए प्रकार के इंजन के काम करने के प्रमाण जैसा है; इसका मतलब यह नहीं है कि यह एक ट्रक को देश भर में चलाने के लिए तैयार है, लेकिन यह साबित करता है कि इंजन की अवधारणा व्यवहार्य है।

तकनीकी सारांश: एडवेक्शन-डिफ्यूजन समीकरण के लिए वेरिएशनल क्वांटम समाधान

समस्या विवरण
परिचालन संबंधी संख्यात्मक मौसम पूर्वानुमान (NWP) महत्वपूर्ण बाधाओं का सामना कर रहा है, जिसे "स्केल्स की निरंकुशता" (tyranny of scales) कहा जाता है, जहाँ आणविक से लेकर ग्रहीय पैमानों तक तरल गतिकी को हल करने के लिए तेजी से महीन ग्रिड स्पेसिंग की आवश्यकता होती है। यह प्रवृत्ति बिजली की खपत और कम्प्यूटेशनल मांगों को अस्थिर स्तरों तक बढ़ा रही है; उदाहरण के लिए, एक मॉडल को 10 किमी से 1 किमी रिज़ॉल्यूशन तक डाउनस्केल करने से बिजली की खपत में तीन क्रम (orders of magnitude) की वृद्धि हो सकती है। इसके अलावा, मूर के नियम (Moore's law) का निकटतम अंत भविष्य के पूर्वानुमान कौशल के लिए उपलब्ध कम्प्यूटेशनल शक्ति को सीमित करने की धमकी देता है। जबकि शास्त्रीय विधियाँ इन सीमाओं के साथ संघर्ष करती हैं, क्वांटम कंप्यूटिंग (QC) बिजली की खपत की बाधाओं को दूर करने और जटिल आंशिक अंतर समीकरणों (PDEs) को अधिक कुशलता से हल करने के लिए एक संभावित मार्ग प्रदान करती है।

कार्यप्रणाली
लेखक एक आयामी एडवेक्शन-डिफ्यूजन समीकरण को हल करने के लिए एक हाइब्रिड क्वांटम-क्लासिकल फ्रेमवर्क का प्रस्ताव करते हैं, जो तरल गतिकी का एक मौलिक गैर-रेखीय (non-linear) PDE है। कार्यप्रणाली तीन प्राथमिक चरणों के माध्यम से आगे बढ़ती है:

रैखिकीकरण और विविक्तीकरण (Linearization and Discretization): चूंकि क्वांटम यांत्रिकी स्वाभाविक रूप से रैखिक है, इसलिए गैर-रेखीय एडवेक्शन-डिफ्यूजन समीकरण को रैखिक समीकरणों के एक समूह में परिवर्तित किया जाता है। यह एक रैखिकीकरण विधि का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है जो गैर-रेखीय अंतर समीकरण को रैखिक समीकरणों के एक अनंत युग्मित (coupled) अनुक्रम में मैप करता है, जिन्हें सटीकता बनाए रखते हुए अभिसरण (convergence) सुनिश्चित करने के लिए एक निम्न क्रम ( $\tau \le 5$ ) पर ट्रंकेट (truncate) किया जाता है। सिस्टम को मैट्रिक्स समीकरण $A|x\rangle = |b\rangle$ बनाने के लिए फॉरवर्ड यूलर विधि का उपयोग करके विविक्त (discretize) किया जाता है।
मैट्रिक्स अपघटन (Matrix Decomposition): क्वांटम रजिस्टर पर संचालन निष्पादित करने के लिए, रैखिक ऑपरेटर $A$ को यूनिटरी ऑपरेटरों के रैखिक संयोजन में विभाजित किया जाता है ( $A = \sum c_l A_l$ )। प्रत्येक यूनिटरी ऑपरेटर $A_l$ को व्यक्तिगत क्वबिट्स पर कार्य करने वाले पाउली ऑपरेटरों ( $I, X, Y, Z$ ) के टेंसर उत्पाद के रूप में निर्मित किया जाता है।
वेरिएशनल क्वांटम लीनियर सॉल्वर (VQLS): रैखिक प्रणाली को VQLS एल्गोरिदम का उपयोग करके हल किया जाता है, जो एक हाइब्रिड दृष्टिकोण है जहाँ एक क्वांटम कंप्यूटर एक पैरामीटराइज्ड क्वांटम अवस्था $|x(\theta)\rangle = V(\theta)|0\rangle$ $∣ x (θ)⟩ = V (θ) ∣0 ⟩$ तैयार करता है और एक क्लासिकल ऑप्टिमाइज़र लागत फलन (cost function) $C(\theta)$ $C (θ)$ को न्यूनतम करने के लिए मापदंडों $\theta$ $θ$ को अपडेट करता है।
- एन्सेत्ज़ (Ansatz): अध्ययन पूर्व साहित्य के संशोधित 'एन्सेत्ज़ सर्किट 9' का उपयोग करता है, जिसे वास्तविक समाधान उत्पन्न करने के लिए सीमित किया गया है।
- लागत फलन (Cost Function): बैरन प्लेटो (barren plateaus) से बचने के लिए एक स्थानीय लागत फलन का उपयोग किया जाता है, जिसकी गणना एक विशिष्ट हैमिल्टनियन के प्रत्याशा मान (expectation value) के माध्यम से की जाती है।
- मापन रणनीति (Measurement Strategy): हैडामार्ड टेस्ट पर निर्भर विधियों के विपरीत, यह कार्यान्वयन QISKIT पाउली प्रत्याशा विधि का उपयोग करता है। यह दृष्टिकोण एन्सेत्ज़ सर्किट को पाउली आधारों में विकीर्ण (diagonalize) करता है और प्रत्येक क्वबिट को व्यक्तिगत रूप से मापता है, जिससे व्यक्तिगत क्वबिट रीडआउट की कीमत पर दो-क्वबिट गेट्स (जो शोर का प्राथमिक स्रोत हैं) की संख्या कम हो जाती है।
- अनुकूलन (Optimization): लागत फलन को न्यूनतम करने के लिए स्टोकेस्टिक पर्टर्बेशन सिमुल्टेनियस एप्रोक्सिमेशन (SPSA) एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है, जिसे कम फंक्शन इवैल्यूएशन के साथ ग्रेडिएंट्स का अनुमान लगाने में इसकी दक्षता के लिए चुना गया है।

प्रायोगिक सेटअप
एल्गोरिदम को तीन IBM क्वांटम सिस्टम्स: कैरो, हनोई और मॉन्ट्रियल (सभी 27-क्वबिट फाल्कन प्रोसेसर) पर निष्पादित किया गया था। विशिष्ट समस्या उदाहरण में $n=4$ ग्रिड पॉइंट्स और $\tau=1$ ट्रंकेशन ऑर्डर के साथ एक 1D एडवेक्शन-डिफ्यूजन समीकरण शामिल था। कम्प्यूटेशनल वेक्टर स्पेस को 3-क्वबिट हिल्बर्ट स्पेस ( $2^3=8$ ) में फिट होने के लिए आयाम $N=12$ से घटाकर $N=8$ कर दिया गया था। तीनों मशीनों में रन के एक 24-सदस्यीय एन्सेबल का निष्पादन किया गया, जिसमें प्रति सर्किट अधिकतम 8,192 शॉट्स का उपयोग किया गया।

परिणाम

अभिसरण (Convergence): 24 रन में से अधिकांश के लिए लागत फलन पहले 40 पुनरावृत्तियों (iterations) के भीतर तेजी से अभिसरित हुआ, और $10^{-2}$ के मान के पास स्थिर हुआ।
सटीकता: 24 क्वांटम समाधानों का औसत शास्त्रीय रैखिक प्रणाली के समाधान के बहुत करीब था। शास्त्रीय रैखिक प्रणाली समाधान के सापेक्ष रूट मीन स्क्वायर एरर (RMSE) $t=0.25$ s पर 0.010 m/s (6% सापेक्ष त्रुटि) और $t=0.5$ s पर 0.021 m/s (15% सापेक्ष त्रुटि) था।
बायस विश्लेषण (Bias Analysis): जबकि एन्सेबल मीन ने एक विश्वसनीय समाधान प्रदान किया, व्यक्तिगत रन स्वाभाविक पूर्वाग्रह (biases) प्रदर्शित करते हैं। पूरक डेटा के विश्लेषण से संकेत मिला कि व्यक्तिगत समाधानों में त्रुटि का चिह्न अक्सर अभिसरण प्रक्रिया के शुरुआती चरण में ही निर्धारित हो जाता था, न कि यादृच्छिक (random) रूप से, जो सुझाव देता है कि एक निष्पक्ष अनुमान प्राप्त करने के लिए कई एकीकरण (integrations) आवश्यक हो सकते हैं।
स्केलेबिलिटी बाधाएं (Scalability Constraints): अध्ययन ने इस विशिष्ट VQLS दृष्टिकोण को स्केल करने में एक महत्वपूर्ण बाधा की पहचान की। प्रति पुनरावृत्ति आवश्यक सर्किटों की संख्या पाउली अपघटन में पदों ( $L$ ) की संख्या के साथ द्विघाती (quadratically) रूप से स्केल करती है ( $N_C \approx (Q+1)L^2$ )। वर्तमान हार्डवेयर सीमाओं (जैसे, IBM की 900 सर्किट सबमिशन सीमा) को देखते हुए, यह द्विघाती स्केलिंग इस पद्धति को छोटे $L$ वाले प्रश्नों तक सीमित करती है, जो किसी भी मनमाने, बड़े पैमाने के गैर-रेखीय अंतर समीकरणों के तत्काल अनुप्रयोग को रोकता है।

महत्व और दावे
लेखक दावा करते हैं कि यह कार्य वास्तविक क्वांटम हार्डवेयर पर एक मौसम विज्ञान संबंधी प्रासंगिक कम्प्यूटेशनल समस्या (एडवेक्शन-डिफ्यूजन समीकरण) को हल करने का पहला प्रदर्शन है। प्राथमिक महत्व इस बात को सिद्ध करने में है कि वर्तमान शोर युक्त इंटरमीडिएट-स्केल क्वांटम (NISQ) उपकरणों पर, उनके शोर और डिकोहेरेंस सीमाओं के बावजूद, फ्लुइड डायनेमिक्स समीकरणों के लिए विश्वसनीय समाधान प्राप्त करना संभव है।

यह शोध भविष्य के अनुप्रयोगों के संबंध में एक मध्यम दायरे को बनाए रखता है। यह दावा नहीं करता है कि यह विशिष्ट एल्गोरिदम परिचालन NWP के लिए तुरंत तैयार है। इसके बजाय, यह रेखांकित करता है कि जबकि वर्तमान VQLS कार्यान्वयन सर्किट काउंट आवश्यकताओं के कारण स्केलिंग बाधाओं का सामना करता है, सफल प्रूफ-ऑफ-कॉन्सेप्ट यह सुझाव देता है कि जैसे-जैसे हार्डवेयर में सुधार होगा और एल्गोरिदम विकसित होंगे, क्वांटम कंप्यूटर अंततः पारंपरिक विधियों की जगह ले सकते हैं। लेखक नोट करते हैं कि फॉल्ट-टोलरेंट सिस्टम के लिए, पूरी तरह से अलग एल्गोरिदम का उपयोग किया जाएगा, लेकिन यह अध्ययन मौसम पूर्वानुमान के लिए क्वांटम संसाधनों का लाभ उठाने की दिशा में एक आधारभूत कदम स्थापित करता है।