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The structure of networks that evolve under a combination of growth, via node addition and random attachment, and contraction, via random node deletion

यह शोध पत्र यादृच्छिक नोड जुड़ाव और विलोपन के संतुलन के तहत विकसित होने वाले नेटवर्क के समय-निर्भर और अनंत (asymptotic) डिग्री वितरण के विश्लेषणात्मक परिणाम प्रस्तुत करता है, जो यह प्रकट करता है कि जहाँ बढ़ते नेटवर्क पॉइसन-जैसे टेल (Poisson-like tail) वाले एक स्थिर-अवस्था वितरण की ओर अभिसरित होते हैं, वहीं सिकुड़ते नेटवर्क नेटवर्क के अंततः विलुप्त होने की विशिष्ट दर के सापेक्ष नेटवर्क के संकुचन की दर के आधार पर भिन्न अभिसरण व्यवहार प्रदर्शित करते हैं।

मूल लेखक: Barak Budnick, Ofer Biham, Eytan Katzav

प्रकाशित 2026-08-21

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Barak Budnick, Ofer Biham, Eytan Katzav

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दशकों से, वैज्ञानिक इस बात से मंत्रमुग्ध रहे हैं कि कैसे हमारे संसार के जटिल जाल में संबंध बनते और टूटते हैं, चाहे वह मानव मस्तिष्क के न्यूरॉन्स हों या सोशल मीडिया प्लेटफॉर्म पर मित्रता। ये नेटवर्क स्थिर नहीं हैं; ये जीवित प्रणालियाँ हैं जो निरंतर बदलती रहती हैं। कई मामलों में, हम समझते हैं कि वे कैसे बढ़ते हैं: नए सदस्य आते हैं और मौजूदा सदस्यों के साथ जुड़ जाते हैं, जिससे अक्सर कुछ अत्यधिक जुड़े हुए केंद्र (हब्स) और कई अलग-थलग व्यक्ति बन जाते हैं। विस्तार की यह प्रक्रिया अच्छी तरह से प्रलेखित है। हालाँकि, विपरीत परिदृश्य—कि जब सदस्य यादृच्छिक (रैंडम) रूप से छोड़ देते हैं तो एक नेटवर्क कैसे सिकुड़ता है—पर बहुत कम ध्यान दिया गया है, भले ही यह पावर ग्रिड के पतन से लेकर उम्र बढ़ने और बीमारी के दौरान मस्तिष्क की कोशिकाओं के क्रमिक नुकसान तक को समझने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। हालांकि हम जानते हैं कि बहुत अधिक हिस्सों को हटाने से एक प्रणाली बिखर सकती है, लेकिन उस अंतिम पतन से पहले, सिकुड़ने की प्रक्रिया के बीच में होने वाले सूक्ष्म परिवर्तन एक रहस्य बने हुए हैं।

जेरूसलम के हिब्रू यूनिवर्सिटी के शोधकर्ताओं की एक टीम ने एक ऐसे गणितीय मॉडल का अध्ययन करके इस अंतर को भर दिया है जो एक साथ बढ़ भी रहा है और सिकुड़ भी रहा है। उन्होंने एक ऐसी प्रणाली की कल्पना की जहाँ, प्रत्येक चरण में, एक नया नोड जोड़ा जाता है और मौजूदा नोड्स के साथ जोड़ा जाता है, लेकिन साथ ही, एक यादृच्छिक नोड को उसके सभी कनेक्शनों के साथ हटा दिया जाता है। परिणाम पूरी तरह से जुड़ाव की दर और विलोपन (डिलीशन) की दर के बीच के संतुलन पर निर्भर करता है। यदि नए नोड्स के आने की दर उनके जाने की दर से अधिक है, तो नेटवर्क बढ़ता है। यदि वे तेजी से जाते हैं, तो नेटवर्क सिकुड़ता है। यदि दरें बिल्कुल समान हैं, तो आकार लगभग एक जैसा रहता है। शोधकर्ताओं ने इन प्रतिस्पर्धी बलों के तहत नोड्स के "डिग्री" (कनेक्शन की संख्या) के विकास को ट्रैक करने के लिए उन्नत गणितीय उपकरणों का उपयोग किया।

उनका कार्य प्रकट करता है कि इन नेटवर्कों की संरचना विकास और हानि के संतुलन के आधार पर आश्चर्यजनक तरीकों से बदलती है। जब नेटवर्क शुद्ध रूप से बढ़ता है, तो कनेक्शनों का वितरण एक अनुमानित पैटर्न में स्थिर हो जाता है जो धीरे-धीरे घटता है। हालाँकि, जैसे ही थोड़ा सा भी यादृच्छिक विलोपन पेश किया जाता है, नेटवर्क की प्रकृति मौलिक रूप रूप से बदल जाती है। शुद्ध विकास में देखे गए धीमे क्षय के बजाय, कनेक्शन एक ऐसे पैटर्न का पालन करने लगते हैं जो पूरी तरह से यादृच्छिक नेटवर्क की तरह एक यादृच्छिक बिखराव जैसा दिखता है। यह बदलाव तुरंत होता है, चाहे विलोपन की दर कितनी भी कम क्यों न हो, जो नेटवर्क की वास्तुकला में एक तीव्र संक्रमण (ट्रांजिशन) को चिह्नित करता है।

अध्ययन ने एक दूसरे, अधिक सूक्ष्म संक्रमण को भी उजागर किया जो तब होता है जब नेटवर्क सिकुड़ रहा होता है। शोधकर्ताओं ने पाया कि नेटवर्क की संरचना के अनुकूल होने की गति इस बात पर निर्भर करती है कि विलोपन कितनी तेजी से हो रहा है। जब विलोपन की दर कम होती है, तो नेटवर्क तेजी से एक स्थिर, सिकुड़ने वाले पैटर्न में सेट हो जाता है जो एक यादृच्छिक वेब की तरह दिखता है। लेकिन जब विलोपन की दर उच्च होती है, तो नेटवर्क इस परिवर्तन का विरोध करता है। यह अपने अधिकांश जीवन के लिए अपनी मूल संरचना को थामे रखता है, और गायब होने से ठीक पहले के अंतिम क्षणों में ही एक नए, यादृच्छिक जैसे पैटर्न में बदल जाता है। यह उन नेटवर्कों के बीच एक स्पष्ट विभाजन बनाता है जो नुकसान के प्रति तेजी से अनुकूल होते हैं और वे जो अंत तक डटे रहते हैं।

ये निष्कर्ष केवल सैद्धांतिक अनुमान नहीं थे; शोधकर्ताओं ने अपने समीकरणों का परीक्षण करने के लिए कंप्यूटर सिमुलेशन बनाए, और परिणाम उनकी भविष्यवाणियों से उच्च सटीकता के साथ मेल खाते थे। उन्होंने दिखाया कि इन नेटवर्कों का व्यवहार एक अवस्था से दूसरी अवस्था में एक सहज, निरंतर फिसलन नहीं है, बल्कि महत्वपूर्ण टिपिंग पॉइंट्स द्वारा अलग किए गए विशिष्ट चरणों की एक श्रृंखला है। एक संक्रमण शुद्ध विकास से विकास और हानि के मिश्रण की ओर बदलाव को चिह्नित करता है। दूसरा, एक बढ़ते नेटवर्क से सिकुड़ने वाले नेटवर्क में बदलाव को चिह्नित करता है। तीसरा, एक अधिक गतिशील संक्रमण तेजी से अनुकूल होने वाले सिकुड़ने वाले नेटवर्कों और धीमे अनुकूल होने वाले नेटवर्कों के बीच अंतर करता है।

इस कार्य के निहितार्थ अमूर्त गणित से परे हैं। क्योंकि मॉडल यादृच्छिक विलोपन का उपयोग करता है, यह उन परिदृश्यों पर लागू होता है जहाँ विफलताएं या प्रस्थान विशिष्ट, महत्वपूर्ण नोड्स को लक्षित नहीं करते हैं बल्कि संयोग से होते हैं। यह समझने के लिए प्रासंगिक है कि सामाजिक नेटवर्क सामान्य अरुचि के कारण उपयोगकर्ताओं को कैसे खोते हैं, जीन नेटवर्क कैसे बदलते हैं जब जीव आनुवंशिक सामग्री खो देते हैं, या मस्तिष्क सामान्य उम्र बढ़ने और न्यूरोडीजेनेरेटिव रोगों के दौरान न्यूरॉन्स को कैसे खो देता है। शोध यह सुझाव देता है कि एक नेटवर्क का पतन केवल हिस्सों को खोने के बारे में नहीं है, बल्कि इस बारे में है कि शेष हिस्से उस नुकसान के जवाब में खुद को कैसे पुनर्गठित करते हैं। नुकसान की दर के आधार पर, नेटवर्क या तो जल्दी और कुशलता से पुनर्गठित हो सकता है, या वह अंतिम सेकंड तक अपनी पुरानी संरचना को थामे रख सकता है। यह अंतर समझाने में मदद करता है कि क्यों कुछ प्रणालियाँ धीरे-धीरे विफल होती हैं जबकि अन्य अचानक बिखर जाती हैं।

इन विभिन्न चरणों को मैप करके, अध्ययन जटिल प्रणालियों के जीवन चक्र की एक स्पष्ट तस्वीर प्रदान करता है। यह दिखाता है कि एक नेटवर्क जो बढ़ता या सिकुड़ता है, उसका मार्ग जुड़ाव या निष्कासन की दर में छोटे बदलावों द्वारा निर्धारित होता है, जिससे नाटकीय रूप से भिन्न परिणाम निकल सकते हैं। शोधकर्ताओं ने इन प्रक्रियाओं का एक पूर्ण गणितीय विवरण प्रदान किया है, जो हमें हमारे चारों ओर के परस्पर जुड़े सिस्टमों की स्थिरता और नाजुकता को देखने के लिए एक नया दृष्टिकोण प्रदान करता है। उनका कार्य पुष्टि करता है कि यादृच्छिक जुड़ाव और विलोपन की एक अराजक प्रक्रिया में भी, एक छिपा हुआ क्रम और एक खोजा जाने वाला अनुमानित ढांचा मौजूद है।

"विकास (नोड जुड़ाव के माध्यम से) और संकुचन (यादृच्छिक नोड विलोपन के माध्यम से) के संयोजन के तहत विकसित होने वाले नेटवर्क की संरचना" का तकनीकी सारांश

समस्या विवरण
यह शोध पत्र प्रतिस्पर्धी प्रक्रियाओं—विकास और संकुचन—के अधीन जटिल नेटवर्क के संरचनात्मक विकास को संबोधित करता है। जबकि शुद्ध नेटवर्क विकास (जैसे कि स्केल-फ्री नेटवर्क के लिए प्रिफरेंशियल अटैचमेंट) और शुद्ध नेटवर्क संकुचन (जैसे कि अर्डेस-रेनी संरचनाओं के लिए यादृच्छिक नोड विलोपन) पर व्यापक साहित्य मौजूद है, वह मध्यवर्ती शासन (regime) जहाँ दोनों प्रक्रियाएं एक साथ होती हैं, अभी तक पूरी तरह से स्पष्ट नहीं किया गया है, विशेष रूप से विकास और संकुचन के बीच संक्रमण के संबंध में। लेखक एक ऐसे मॉडल की जांच करते हैं जहाँ नेटवर्क यादृच्छिक जुड़ाव के साथ अलग-थलग नोड्स को जोड़ने और मौजूदा नोड्स के यादृच्छिक विलोपन के माध्यम से विकसित होता है। प्राथमिक उद्देश्य समय-निर्भर डिग्री वितरण $P_t(k)$ को व्युत्पन्न करना और इन विपरीत दरों के आधार पर नेटवर्क के संरचनात्मक और गतिशील व्यवहार में चरण संक्रमणों (phase transitions) की पहचान करना है।

कार्यप्रणाली
लेखक जनरेटिंग फंक्शन (generating functions) के साथ मास्टर समीकरण (master equation) औपचारिकता को संयोजित करते हुए एक कठोर विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण अपनाते हैं:

मॉडल परिभाषा: नेटवर्क डिस्क्रीट टाइम स्टेप्स में विकसित होता है। प्रायिकता $P_{add}$ के साथ, एक अलग नोड जोड़ा जाता है, जिसके बाद मौजूदा यादृच्छिक नोड्स के जोड़ों को जोड़ने के लिए $m$ किनारों (edges) का जोड़ा जाता है। प्रायिकता $P_{del} = 1 - P_{add}$ के साथ, एक यादृच्छिक नोड और उसके संलग्न किनारों को हटा दिया जाता है।
नियंत्रण पैरामीटर: विकास और संकुचन के बीच संतुलन को $\eta = P_{add} - P_{del}$ $η = P_{a dd} - P_{d e l}$ द्वारा मापा जाता है।
- $\eta = 1$ : शुद्ध विकास।
- $0 < \eta < 1$ : शुद्ध विकास (net growth)।
- $\eta = 0$ : स्थिर औसत आकार।
- $-1 < \eta < 0$ : शुद्ध संकुचन (net contraction)।
- $\eta = -1$ : शुद्ध संकुचन।
मास्टर समीकरण: $N_t(k)$ के डिग्री $k$ वाले नोड्स की संख्या के समय-विकास के लिए एक मास्टर समीकरण व्युत्पन्न किया गया है। यह नोड जोड़ना, किनारा जुड़ाव, नोड विलोपन और विलोपन के दौरान पड़ोसी डिग्री में कमी को ध्यान में रखता है।
जनरेटिंग फंक्शन: इन युग्मित अवकल समीकरणों (coupled differential equations) को हल करने के लिए, लेखक जनरेटिंग फंक्शन $G_t(u) = \sum u^k P_t(k)$ का उपयोग करते हैं। यह मास्टर समीकरण को एक प्रथम-क्रम असंगत रैखिक आंशिक अवकल समीकरण (first-order inhomogeneous linear PDE) में बदल देता है।
समाधान: अभिलक्षणों की विधि (method of characteristics) का उपयोग करके, लेखक $G_t(u)$ के लिए एक क्लोज्ड-फॉर्म समाधान प्राप्त करते हैं, जिससे $P_t(k)$ का समय-निर्भर डिग्री वितरण निकाला जाता है। समाधान को प्रारंभिक स्थिति पर निर्भर पद (जो समय के साथ क्षय होता है) और एक स्पर्शोन्मुखी (asymptotic) पद के योग के रूप में व्यक्त किया गया है जो प्रारंभिक स्थितियों से स्वतंत्र है।

मुख्य परिणाम
विश्लेषणात्मक व्युत्पत्ति $P_t(k)$ के लिए एक क्लोज्ड-फॉर्म अभिव्यक्ति प्रदान करती है जो तीन विशिष्ट चरण संक्रमणों को प्रकट करती है:

$\eta = 1$ पर संरचनात्मक चरण संक्रमण:
- शुद्ध विकास ( $\eta = 1$ ) के लिए, स्पर्शोन्मुखी डिग्री वितरण $P_{st}(k)$ एक घातांकीय (exponential/geometric) वितरण का अनुसरण करता है।
- किसी भी दर पर विलोपन ( $\eta < 1$ ) के लिए, स्पर्शोन्मुखी वितरण गुणात्मक रूप से बदल जाता है। यह पॉइसन-जैसे पदों के योग से बना होता है और इसमें पॉइसन-जैसा टेल (tail) होता है। लेखक नोट करते हैं कि यहाँ तक कि विलोपन की एक सूक्ष्म दर ( $\eta \to 1^-$ ) भी घातांकीय से पॉइसन-जैसे वितरण में संरचनात्मक परिवर्तन प्रेरित करती है। यह संक्रमण जनरेटिंग फंक्शन के लिए अवकल समीकरण में एक विलक्षणता (singularity) के अनुरूप है।
$\eta = 0$ पर विकास-संकुचन संक्रमण:
- यह संक्रमण समग्र नेटवर्क विकास ( $\eta > 0$ ) और समग्र संकुचन ( $\eta < 0$ ) के बीच के शासन को अलग करता है।
- हालांकि विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति $P_t(k)$ इस सीमा के पार औपचारिक रूप से समान रहती है, लेकिन क्षय गुणांक $\alpha_t$ का व्यवहार मौलिक रूप से भिन्न होता है। $\eta > 0$ के लिए, नेटवर्क अनिश्चित काल तक बढ़ता रहता है, और प्रारंभिक स्थिति की स्मृति स्पर्शोन्मुखी रूप से क्षय होती है। $\eta < 0$ के लिए, नेटवर्क एक परिमित समय $t_{vanish}$ में लुप्त हो जाता है, और प्रारंभिक स्थिति की स्मृति का क्षय इस परिमित जीवनकाल द्वारा सीमित होता है।
$\eta = -1/3$ पर गतिशील संक्रमण:
- संकुचन शासन ( $-1 < \eta < 0$ ) के भीतर, स्पर्शोन्मुखी वितरण $P_{st}(k)$ की ओर अभिसरण (convergence) की गति के संबंध में $\eta = -1/3$ पर एक संक्रमण होता है।
- धीमा संकुचन ( $-1/3 < \eta < 0$ ): डिग्री वितरण $P_t(k)$ , $P_{st}(k)$ की ओर अपेक्षाकृत तेजी से अभिसरित होता है और नेटवर्क के शेष जीवनकाल के एक महत्वपूर्ण हिस्से के दौरान इसके निकट रहता है।
- तेज संकुचन ( $-1 < \eta < -1/3$ ): अभिसरण शुरू में बहुत धीमा होता है। वितरण $P_t(k)$ नेटवर्क के लुप्त होने से ठीक पहले $P_{st}(k)$ के करीब पहुँचता है। इसे $t_{vanish}$ पर भार गुणांक $w_t$ के समय व्युत्पन्न (time derivative) में विच्छिन्नता (discontinuity) द्वारा पहचाना जाता है।

सत्यापन
विश्लेषणात्मक परिणामों को कंप्यूटर सिमुलेशन के विरुद्ध सत्यापित किया गया है। सिमुलेशन, विभिन्न $\eta$ मानों के लिए स्पर्शोन्मुखी वितरण और समय-निर्भर विकास दोनों के लिए विश्लेषणात्मक भविष्यवाणियों के साथ बहुत अच्छा तालमेल दिखाते हैं। विशेष रूप से, सिमुलेशन $\eta = 1$ के पास धीमी अभिसरण और $\eta = -1/3$ के दोनों ओर विशिष्ट गतिशील व्यवहारों की पुष्टि करते हैं।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह एक साथ विकास और यादृच्छिक संकुचन के तहत विकसित होने वाले नेटवर्क का पहला व्यापक विश्लेषणात्मक विवरण प्रदान करता है। इसका महत्व निम्नलिखित में निहित है:

एकीकृत ढांचा: डिग्री वितरण के लिए एक एकल क्लोज्ड-फॉर्म अभिव्यक्ति प्रदान करना जो बढ़ते और सिकुड़ते दोनों शासनों पर लागू होती है।
चरण संक्रमणों की पहचान: स्पष्ट रूप से तीन चरण संक्रमणों ( $\eta=1$ पर संरचनात्मक, $\eta=0$ पर विकास/संकुचन, और $\eta=-1/3$ पर गतिशील) की पहचान करना जो नेटवर्क के संरचनात्मक और अस्थायी व्यवहार को परिभाषित करते हैं।
मध्यवर्ती अवस्थाओं में अंतर्दृष्टि: यह कार्य संकुचित नेटवर्कों में "मध्यवर्ती स्पर्शोन्मुखी अवस्थाओं" (intermediate asymptotic states) की अवधारणा को स्पष्ट करता है। यह दर्शाता है कि कुछ विलोपन दरों के लिए, नेटवर्क विघटन से पहले एक निश्चित अवधि के लिए एक स्थिर संरचनात्मक रूप ( $P_{st}(k)$ ) प्रदर्शित करता है, जबकि उच्च विलोपन दरों के लिए, नेटवर्क इस संरचना के उभरने से पहले ही ढह जाता है।
विलोपन के प्रति संवेदनशीलता: परिणाम यह उजागर करते हैं कि यादृच्छिक नोड विलोपन की एक न्यूनतम दर का परिचय भी स्पर्शोन्मुखी डिग्री वितरण की प्रकृति को घातांकीय से पॉइसन-जैसे में मौलिक रूप से बदल देता है, जो कि विशुद्ध रूप से विकास-आधारित मॉडलों की मजबूती को चुनौती देता है।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि उनके विश्लेषणात्मक परिणाम सिमुलेशन के साथ बहुत अच्छे तालमेल में हैं, जो नोड जोड़ना और विलोपन के बीच परस्पर क्रिया नेटवर्क टोपोलॉजी को कैसे आकार देती है, इसकी सटीक गणितीय समझ प्रदान करते हैं।

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