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Vacuum Transitions in Two-Dimensions and their Holographic Interpretation

यह शोध पत्र 2D वैक्यूम ट्रांज़िशन (vacuum transitions) की गणना के लिए यूक्लिडियन और हैमिल्टोनियन विधियों की तुलना करता है, जो यह प्रकट करता है कि जहाँ मानक दृष्टिकोण सामान्यीकृत एंट्रॉपी अंतरों से संबंधित हैं और एक AdS $_2$ /CFT $_1 \subset$ AdS $_3$ /CFT $_2$ पत्राचार (correspondence) के भीतर समाहित हैं, वहीं आइलैंड्स (islands) की उपस्थिति इस होलोग्राफिक संरचना को बदल देती है और अप-टनलिंग (up-tunnelling) को सक्षम बनाती है।

मूल लेखक: Veronica Pasquarella, Fernando Quevedo

प्रकाशित 2026-07-01

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Veronica Pasquarella, Fernando Quevedo

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल, पहाड़ी परिदृश्य है। भौतिकी में, इस परिदृश्य के विभिन्न "घाटियाँ" (valleys) खाली स्थान के विभिन्न प्रकारों, या वैक्यूआ (vacua) का प्रतिनिधित्व करती हैं। कुछ घाटियाँ गहरी और स्थिर हैं (जैसे हमारा वर्तमान ब्रह्मांड हो सकता है), जबकि अन्य ऊपर की ओर हैं या अलग आकार की हैं। कभी-कभी, एक नए प्रकार के स्थान का बुलबुला बन सकता है और फैल सकता है, जो प्रभावी रूप से एक घाटी से दूसरी घाटी में "टनलिंग" (tunneling) करता है। इसे वैक्यूम ट्रांज़िशन (vacuum transition) कहा जाता है।

वेरोनिका पास्कुएरा और फर्नांडो क्वेवेडो का यह शोध पत्र जांच करता है कि ये ट्रांज़िशन कैसे होते हैं, इसके लिए उन्होंने ब्रह्मांड के एक सरलीकृत, दो-आयामी (2D) संस्करण का उपयोग किया है। वे एक ही घटना पर रोशनी डालने के लिए तीन अलग-अलग गणितीय "फ्लैशलाइट्स" (प्रकाशों) का उपयोग करते हैं, ताकि खेल के नियमों को समझा जा सके।

यहाँ उनके सफर का सरल उपमाओं (analogies) के माध्यम से विवरण दिया गया है:

1. तीन फ्लैशलाइट्स (विधियाँ)

लेखकों ने वैक्यूम ट्रांज़िशन की संभावना की गणना करने के लिए तीन स्थापित तरीकों का उपयोग किया। इसे एक ही घटना की तस्वीर लेने वाले तीन अलग-अलग कैमरों के रूप में सोचें:

यूक्लिडियन कैमरा (CDL और BT): ये विधियाँ प्रक्रिया को इस तरह देखती हैं जैसे समय जम गया हो या उसे एक स्थानिक आयाम (spatial dimension) में बदल दिया गया हो (जैसे किसी फिल्म के बजाय एक मानचित्र को देखना)। वे ट्रांज़िशन की "लागत" (action) की गणना करते हैं।
हैमिल्टोनियन कैमरा (FMP): यह विधि प्रक्रिया को "वास्तविक समय" (Lorentzian signature) में देखती है, इसे एक गतिशील फिल्म की तरह मानती है जहाँ ऊर्जा संरक्षित रहती है।

निष्कर्ष: 4D (हमारे वास्तविक ब्रह्मांड) में, ये कैमरे कभी-कभी भ्रमित करने वाले या विरोधाभासी उत्तर देते हैं, विशेष रूप से "फ्लैट" स्पेस (Minkowski space) की ओर ट्रांज़िशन करने के दौरान। हालाँकि, उनके 2D मॉडल में, उन्होंने पाया कि यदि आप परिणामों की सही व्याख्या करें, तो ये विधियाँ वास्तव में एक-दूसरे के साथ सहमत होती हैं।

2. एंट्रॉपी का संबंध (द "स्कोर")

सबसे रोमांचक खोज यह है कि इन ट्रांज़िशन की "लागत" को एंट्रॉपी (अव्यवस्था या सूचना का माप) के रूप में समझा जा सकता है।

गुरुत्वाकर्षण के बिना (CDL): ट्रांज़िशन की लागत दो संख्याओं के गुणनफल (product) की तरह है। ऐसा है जैसे ट्रांज़िशन दो आंतरिक अवस्थाओं के बीच एक हाथ मिलाना (handshake) है।
गुरुत्वाकर्षण के साथ (BT और FMP): लागत दो संख्याओं के अंतर (difference) की तरह है। कल्पना करें कि आपके पास पानी की दो बाल्टियाँ हैं (जो दो अलग-अलग ब्रह्मांडों का प्रतिनिधित्व करती हैं)। ट्रांज़िशन की दर इस बात पर निर्भर करती है कि एक बाल्टी में दूसरे बाल्टी के पानी से कितना अधिक या कम पानी है।

3. "आइलैंड" (द्वीप) की समस्या और ब्लैक होल

यहाँ कहानी पेचीदा हो जाती है।

फ्लैटलैंड की समस्या: जब लेखकों ने बिना किसी ब्लैक होल के (बिना गुरुत्वाकर्षण या वक्रता के) एक पूरी तरह से सपाट ब्रह्मांड में ट्रांज़िशन की गणना करने की कोशिश की, तो गणित विफल हो गया। संख्याएँ अनंत (infinity) हो गईं, जो सुझाव देती हैं कि ऐसा ट्रांज़िशन असंभव है। यह उस क्षितिज (horizon) तक की दूरी की गणना करने जैसा है जो आपके चलते रहने पर भी दूर होता जा रहा है।
ब्लैक होल समाधान: उन्होंने पाया कि यदि वे इसमें एक ब्लैक होल पेश करते हैं, तो गणित अचानक काम करने लगता है! ब्लैक होल एक स्टेबलाइजर की तरह कार्य करता है। यह संख्याओं को अनियंत्रित होने से रोकता है।
"आइलैंड" (द्वीप): आधुनिक भौतिकी में, "आइलैंड" नामक एक अवधारणा है। कल्पना करें कि ब्रह्मांड एक बड़ा महासागर है। आमतौर पर, आप केवल अपने सामने के पानी को ही देख सकते हैं। लेकिन यदि ब्लैक होल मौजूद है, तो सूचना का एक छिपा हुआ "आइलैंड" दिखाई देता है जिसे आप सीधे नहीं देख सकते, लेकिन वह गणितीय रूप से आपसे जुड़ा हुआ है।
- शोध पत्र दिखाता है कि "अप-टनलिंग" (कम ऊर्जा वाली अवस्था से उच्च ऊर्जा वाली अवस्था में कूदना) तभी संभव है जब यह "आइलैंड" मौजूद हो।
- ब्लैक होल (और इस प्रकार आइलैंड) के बिना, यह ट्रांज़िशन वर्जित है। ब्लैक होल के साथ, "आइलैंड" उभरता है, और ट्रांज़िशन संभव हो जाता है।

4. होलोग्राफिक व्याख्या (द प्रोजेक्शन)

लेखक होलोग्राफी की अवधारणा का उपयोग करते हैं। एक होलोग्राम की तरह सोचें: एक 2D सतह जिसमें 3D छवि बनाने के लिए आवश्यक सभी जानकारी होती है।

वे प्रस्तावित करते हैं कि ये 2D वैक्यूम ट्रांज़िशन वास्तव में एक उच्च-आयामी कहानी (3D) के प्रोजेक्शन हैं।
सेटअप: कल्पना करें कि दो अलग-अलग ब्रह्मांड दो अलग-अलग "ब्रेन्स" (sheets of paper की तरह) पर रह रहे हैं। ये शीट एक बड़े 3D स्थान के भीतर तैर रही हैं।
दीवार: ट्रांज़िशन उस दीवार पर होता है जो इन दो शीटों को अलग करती है।
CFT (कन्फॉर्मल फील्ड थ्योरी): ट्रांज़िशन के गणित को इन शीटों की सीमा (boundary) पर रहने वाले एक क्वांटम सिस्टम की भाषा में अनुवादित किया जा सकता है।
- यदि कोई ब्लैक होल नहीं है, तो ट्रांज़िशन एक स्थानीय घटना है, जैसे सतह पर एक छोटी सी लहर।
- यदि ब्लैक होल हैं, तो ट्रांज़िशन एक "फेज चेंज" (अवस्था परिवर्तन) को शामिल करता है, जैसे पानी का बर्फ में बदलना। यहीं पर "आइलैंड" प्रकट होता है, जो खेल के नियमों को बदल देता है।

मुख्य निष्कर्षों का सारांश

संगति (Consistency): 2D में, वैक्यूम ट्रांज़िशन की गणना करने के लिए तीन अलग-अलग गणितीय विधियाँ वास्तव में एंट्रॉपी के लेंस के माध्यम से देखने पर एक ही कहानी बताती हैं।
ब्लैक होल की कुंजी: आप ब्लैक होल की उपस्थिति के बिना एक सपाट ब्रह्मांड में ट्रांज़िशन नहीं कर सकते। ब्लैक होल गणितीय अनंतता (infinities) को ठीक करता है।
आइलैंड्स आवश्यक हैं: यदि ब्रह्मांड को उच्च ऊर्जा अवस्था में "टनल" करना है, तो सूचना का एक "आइलैंड" उभरना चाहिए। यह आइलैंड ब्लैक होल का एक सीधा परिणाम है।
होलोग्राफिक एकता: इन ट्रांज़िशनों को एक उच्च-आयामी स्थान की सीमा पर रहने वाले क्वांटम सिस्टम में एक फेज चेंज (जैसे जमना या उबलना) के रूप में देखा जा सकता है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र सुझाव देता है कि हमारे ब्रह्मांड की स्थिरता और इसके बदलने की संभावना ब्लैक होल की उपस्थिति और उनके द्वारा बनाए गए सूचना के छिपे हुए "आइलैंड्स" से गहराई से जुड़ी हुई है, और इन सभी को ट्रांज़िशन के "एंट्रॉपी स्कोर" को देखकर समझा जा सकता है।

तकनीकी सारांश: द्वि-आयामी (Two-Dimensions) में वैक्यूम ट्रांज़िशन और उनका होलोग्राफिक इंटरप्रिटेशन

समस्या विवरण (Problem Statement)
वैक्यूम ट्रांज़िशन का अध्ययन क्वांटम ग्रेविटी के पहलुओं को समझने के लिए एक महत्वपूर्ण क्षेत्र प्रदान करता है, विशेष रूप से विभिन्न कॉस्मोलॉजिकल कॉन्स्टेंट्स वाले वैकुआ की स्थिरता और यूनिटैरिटी-उल्लंघन (unitarity-violating) व्यवहारों के उद्भव के संबंध में (जो ब्लैक होल सूचना विरोधाभास के समान है)। जबकि चार-आयामी (4D) वैक्यूम ट्रांज़िशन का व्यापक रूप से तीन प्राथमिक औपचारिकताओं—कोलमैन-डी लुसिया (CDL), ब्राउन-टीटलबोइम (BT), और फिशलर-मॉर्गन-पोलिंस्की (FMP)—का उपयोग करके अध्ययन किया गया है, 2D ग्रेविटी पर उनका अनुप्रयोग अनूठी चुनौतियाँ प्रस्तुत करता है। विशेष रूप से, 4D में पिछले विश्लेषणों ने खुलासा किया कि मिंगोव्स्की स्पेस-टाइम (Minkowski spacetimes) से जुड़े ट्रांज़िशन अक्सर विचलित क्रियाओं (divergent actions) की ओर ले जाते हैं या ब्लैक होल की अनुपस्थिति में "अप-टनलिंग" (उच्च ऊर्जा वैकुआ की ओर संक्रमण) को वर्जित करते हैं। इसके अतिरिक्त, ट्रांज़िशन एम्प्लीट्यूड (transition amplitudes) की एंट्रॉपी के रूप में व्याख्या और आइलैंड्स (islands) तथा क्वांटम एक्सट्रीमल सर्फेस (QES) के संदर्भ में उनका होलोग्राफिक एम्बेडिंग (holographic embedding) एक खुला प्रश्न बना हुआ है। यह कार्य सभी तीन औपचारिकताओं का उपयोग करके 2D वैक्यूम ट्रांज़िशन एम्प्लीट्यूड की गणना करने, उनके अंतरों को सुलझाने और आइलैंड्स और एंटैंगलमेंट (entanglement) के साथ एक होलोग्राफिक व्याख्या प्रदान करने का लक्ष्य रखता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक एक स्कैलर फील्ड से युग्मित 2D जैकिव-टीटलबोइम (JT) ग्रेविटी में ट्रांज़िशन एम्प्लीट्यूड ( $\Gamma$ ) की गणना करने के लिए तीन अलग-अलग दृष्टिकोणों का उपयोग करते हैं:

यूक्लिडियन विधियाँ (CDL और BT):
- CDL: लेखक अल्महिरी-पोलिंस्की (AP) एक्शन का उपयोग करके 2D में CDL औपचारिकता का विस्तार करते हैं। वे स्कैलर काइनेटिक टर्म (kinetic term) के साथ और उसके बिना सिस्टम का विश्लेषण करते हैं। स्केलिंग के माध्यम से काइनेटिक टर्म को हटाने से बिना ग्रेविटी के गणना संभव होती है, और रिकी स्केलर टर्म (उपयुक्त बाउंड्री टर्म्स के साथ) को हटाने से BT एक्शन प्राप्त होता है।
- BT: ब्राउन-टीटलबोइम दृष्टिकोण को AP सेटअप से प्राप्त किया गया है, जिसमें काइनेटिक टर्म को वापस लाया जाता है और ADM मास को ध्यान में रखने के लिए बाउंड्री टर्म्स जोड़े जाते हैं, जिससे ब्रैन न्यूक्लिएशन (brane nucleation) के दौरान ऊर्जा संरक्षण सुनिश्चित होता है।
- बाउंस ( $B$ ) की गणना यूक्लिडियन एक्शन और बैकग्राउंड के बीच के अंतर के रूप में की जाती है ( $B = S_E|_{inst} - S_E|_{bckgr}$ )।
लोरेंत्ज़ियन विधि (FMP):
- फिशलर-मॉर्गन-पोलिंस्की औपचारिकता को 2D JT ग्रेविटी पर हैमिल्टोनियन दृष्टिकोण का उपयोग करके लागू किया गया है। ट्रांज़िशन एम्प्लीट्यूड को "शून्य से" एक दीवार वाले स्पेस-टाइम में न्यूक्लिएशन बनाम केवल बैकग्राउंड में न्यूक्लिएशन के बीच एक कंडीशनल प्रोबेबिलिटी रेश्यो के रूप में परिभाषित किया गया है।
- लेखक लैग्रेंजियन डेंसिटी में एक कांस्टेंट एनर्जी टर्म ( $B$ ) पेश करते हैं, जो ब्लैक होल मास के लिए एक पैरामीटर के रूप में कार्य करता है। यह गैर-एक्सट्रीमल ब्लैक होल्स और विशिष्ट फिजिकल टर्निंग पॉइंट्स के अस्तित्व की अनुमति देता है, जो मिंगोव्स्की लिमिट से जुड़े ट्रांज़िशन को परिभाषित करने के लिए महत्वपूर्ण हैं।
होलोग्राफिक इंटरप्रिटेशन:
- लेखक AdS $_2$ /CFT $_1$ $\subset$ AdS $_3$ /CFT $_2$ पत्राचार (correspondence) और "आइलैंड्स" (क्षेत्र जो जेनेलाइज्ड एंट्रॉपी में योगदान देते हैं) की अवधारणा का उपयोग करते हैं।
- वे बल्क वैक्यूम ट्रांज़िशन को बाउंड्री घटनाओं में मैप करते हैं, विशेष रूप से ट्रांज़िशन रेट्स को $T\bar{T}$ -डिफॉर्मड CFTs, बाउंड्री CFTs (BCFT), और इंटरनल CFTs की एंट्रॉपी से जोड़ते हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

औपचारिकता का एकीकरण (Unification of Formalisms): पेपर यह प्रदर्शित करता है कि हालांकि CDL, BT, और FMP अलग-अलग इंटरमीडिएट एक्सप्रेशन देते हैं, वे विशिष्ट पैरामेट्रिक रिडेफिनेशन के तहत सुसंगत हैं।
- CDL (बिना काइनेटिक टर्म के): ग्रेविटी की अनुपस्थिति में ट्रांज़िशन का वर्णन करता है। कुल बाउंस को एक इंटरनल CFT $_2$ की रिलेटिव एंट्रॉपी के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
- BT और FMP (बिना ब्लैक होल के): ये विधियाँ, जिनमें ग्रेविटी शामिल है, ट्रांज़िशन रेट्स को $T\bar{T}$ -डिफॉर्मड CFTs की एंट्रॉपी के अंतर के रूप में व्यक्त करती हैं।
- FMP (ब्लैक होल के साथ): ब्लैक होल मास पैरामीटर ( $B$ ) पेश करके, लेखक दिखाते हैं कि कुल एक्शन को एक आइलैंड वाले जेनेलाइज्ड एंट्रॉपीज ( $S_{gen}$ ) के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है।
फ्लैट लिमिट डायवर्जेंस का समाधान (Resolution of Flat Limit Divergences):
- ब्लैक होल की अनुपस्थिति में, लेखक पुष्टि करते हैं कि मिंगोव्स्की स्पेस से अप-टनलिंग और डी सिटर (dS) से मिंगोव्स्की स्पेस में ट्रांज़िशन के लिए एक्शन डायवर्जेंट होते हैं, जो शुद्ध 2D dS/AdS सेटअप में बिना ब्लैक होल के इन प्रक्रियाओं को प्रभावी रूप से वर्जित करते हैं।
- महत्वपूर्ण रूप से, ब्लैक होल (पैरामीटर $B$ के माध्यम से) का परिचय फ्लैट लिमिट को परिमित (finite) बनाता है। ब्लैक होल मास एक रेगुलेटर के रूप में कार्य करता है, जो सुव्यवस्थित ट्रांज़िशन एम्प्लीट्यूड को सक्षम बनाता है और अप-टनलिंग को संभव बनाता है।
आइलैंड्स और यूनिटैरिटी (Islands and Unitarity):
- एक केंद्रीय निष्कर्ष यह है कि "आइलैंड" का उद्भव (एक क्षेत्र जो क्वांटम एक्सट्रीमल सतह के माध्यम से एंट्रॉपी में योगदान देता है) गैर-एक्सट्रीमल ब्लैक होल्स की उपस्थिति पर निर्भर है।
- जब आइलैंड मौजूद होता है (अर्थात, जब ब्लैक होल मास सिद्धांत के मापदंडों द्वारा परिभाषित एक विशिष्ट रेंज में होता है), तो अप-टनलिंग संभव हो जाती है। ट्रांज़िशन रेट फिर जेनेलाइज्ड एंट्रॉपी, $S_{gen} = \text{Area}(\partial I)/4G_N + S_{EE}$ द्वारा नियंत्रित होता है।
- ब्लैक होल की अनुपस्थिति में, कोई आइलैंड उभरता नहीं है, और ट्रांज़िशन एक AdS $_2$ /CFT $_1$ $\subset$ AdS $_3$ /CFT $_2$ एम्बेडिंग के अनुरूप होता है जहाँ प्रक्रिया स्थानीय (local) होती है। ब्लैक होल के साथ, एम्बेडिंग AdS $_2$ /CFT $_1$ $\not\subset$ AdS $_3$ /CFT $_2$ हो जाती है।
होलोग्राफिक इंटरप्रिटेशन:
- CDL: बाउंस को एक इंटरनल CFT $_2$ के एंट्रॉपी प्रोडक्ट के रूप में व्याख्यायित किया जाता है, जो विभिन्न डाइलटन वैल्यूज के बीच RG-फ्लो को जियोमेट्राइज़ करता है।
- BT/FMP (बिना ब्लैक होल के): ट्रांज़िशन रेट $T\bar{T}$ -डिफॉर्मड CFTs की एंट्रॉपी के अंतर के अनुरूप है, जो न्यूक्लिएशन प्रक्रिया की लोकैलिटी को दर्शाता है।
- BT/FMP (ब्लैक होल के साथ): एक्शन जेनेलाइज्ड एंट्रॉपी के अंतर के अनुरूप है। ब्लैक होल मास पैरामीटर $B$ , हॉकिंग इवेपोरेशन में समय के समान भूमिका निभाता है, जो ब्रैन एक्शन में एक फेज ट्रांज़िशन को संचालित करता है (जो पेज ट्रांज़िशन के समान है) जो आइलैंड के उद्भव का संकेत देता है।
- लेखक प्रस्तावित करते हैं कि बल्क में वैक्यूम ट्रांज़िशन बाउंड्री CFT पक्ष पर कन्फाइनमेंट/डीकन्फाइनमेंट फेज ट्रांज़िशन के अनुरूप होते हैं।

महत्व (Significance)
पेपर दावा करता है कि सीधे वैक्यूम ट्रांज़िशन प्रक्रियाओं से जुड़ा कुल एक्शन (या बाउंस) एक आंतरिक एंट्रॉपी व्याख्या वहन करता है। विशेष रूप से:

एंट्रॉपी पदानुक्रम (Entropic Hierarchy): परिणाम स्थापित करते हैं कि एक पदानुक्रम जहाँ CDL (नो ग्रेविटी) रिलेटिव एंट्रॉपी से संबंधित है, जबकि BT और FMP (विद ग्रेविटी) जेनेलाइज्ड एंट्रॉपी डिफरेंस से संबंधित हैं।
आइलैंड्स की आवश्यकता: यह कार्य साक्ष्य प्रदान करता है कि 2D में अप-टनलिंग को संभव बनाने और फ्लैट लिमिट को परिमित बनाए रखने के लिए, एक आइलैंड का होना आवश्यक है, जिसके लिए गैर-एक्सट्रीमल ब्लैक होल्स की उपस्थिति आवश्यक है।
होलोग्राफिक एम्बेडिंग: अध्ययन सफलतापूर्वक वेज होलोग्राफी (wedge holography) और BCFTs से जुड़े होलोग्राफिक फ्रेमवर्क में 2D वैक्यूम ट्रांज़िशन को एम्बेड करता है, यह दिखाते हुए कि ट्रांज़िशन एम्प्लीट्यूड अलग-अलग CFTs से संबंधित बाउंड्री स्टेट्स के म्यूचुअल एप्रोक्सिमेशन के रूप में समझे जा सकते हैं।
यूनिटैरिटी: फ्लैट लिमिट में डायवर्जेंस के मुद्दों को ब्लैक होल्स और आइलैंड्स के परिचय के माध्यम से हल करके, पेपर सुझाव देता है कि यह वैक्यूम ट्रांज़िशन में यूनिटैरिटी को संरक्षित करने के लिए एक तंत्र प्रदान करता है, जो ब्लैक होल सूचना विरोधाभास के समाधान के समानांतर है।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि हालांकि तीनों औपचारिकताएं (CDL, BT, FMP) अलग दिखाई देती हैं, वे 2D वैक्यूम ट्रांज़िशन के लिए पूरक होलोग्राफिक परिप्रेक्ष्य प्रदान करती हैं, जहाँ FMP औपचारिकता आइलैंड्स और अप-टनलिंग का वर्णन करने के लिए आवश्यक सेटअप (ब्लैक होल मास पैरामीटर के माध्यम से) प्रदान करती है।

1. तीन फ्लैशलाइट्स (विधियाँ)

2. एंट्रॉपी का संबंध (द "स्कोर")

3. "आइलैंड" (द्वीप) की समस्या और ब्लैक होल

4. होलोग्राफिक व्याख्या (द प्रोजेक्शन)

मुख्य निष्कर्षों का सारांश

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