⚛️ high-energy theory

Spontaneous symmetry breaking in a non-Abelian topological gauge theory

यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि एक ट्विस्टेड $\mathcal{N}=2$ सुपर-यांग-मिल्स सिद्धांत में फुजिकावा-प्रकार के विभव (potential) को सम्मिलित करने से एक गैर-अबेलियन टोपोलॉजिकल गेज थ्योरी में स्वतःस्फूर्त समरूपता भंग (spontaneous symmetry breaking) उत्पन्न होती है, जिससे सह-संबद्ध द्रव्यमानों ( $m_F = m_B = v$ ) वाले विशाल वेक्टर बोसॉन और फर्मियॉन उत्पन्न होते हैं, बशर्ते कि गेज समूह कम से कम $SU(3)$ हो और तीन वैक्यूम दिशाओं का उपयोग किया गया हो।

मूल लेखक: Octavio C. Junqueira, Rodrigo F. Sobreiro, Nelson R. F. Braga

प्रकाशित 2026-04-02

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Octavio C. Junqueira, Rodrigo F. Sobreiro, Nelson R. F. Braga

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य चित्र: "भूतिया" गणित को वास्तविक भौतिकी में बदलना

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक जादुई, अदृश्य दुनिया है जहाँ भौतिकी के नियम अलग हैं। इस दुनिया में, किसी का कोई वजन नहीं है, किसी का कोई विशिष्ट स्थान नहीं है, और सब कुछ पूरी तरह से सममित (symmetrical) है। यह एक भूतिया कहानी की तरह है जहाँ भूत किसी चीज़ को छू नहीं सकते या गुरुत्वाकर्षण से भारी नहीं हो सकते। भौतिकी में, इसे टोपोलॉजिकल फील्ड थ्योरी (Topological Field Theory) कहा जाता है। यह गणितीय रूप से सुंदर है, लेकिन यह उस वास्तविक दुनिया का वर्णन नहीं करता जिसमें हम रहते हैं, जहाँ कणों का द्रव्यमान (mass) होता है और बल विशिष्ट तरीकों से काम करते हैं।

इस शोध पत्र के लेखकों ने एक बड़ा सवाल पूछा: "हम इस भूतिया, वजनहीन दुनिया को कैसे लें और इसमें 'मांस' (ठोसता) भरें? हम इन अदृश्य कणों को द्रव्यमान कैसे दे सकते हैं और उन्हें वास्तविक चीजों की तरह परस्पर क्रिया करने के योग्य कैसे बना सकते हैं?"

उन्होंने इस भूतिया दुनिया की पूर्ण समरूपता (symmetry) को तोड़ने का एक तरीका खोजा, जिससे यह एक वास्तविक, भौतिक दुनिया में "धंस" (collapse) जाती है जहाँ कणों का द्रव्यमान होता है। वे इस प्रक्रिया को स्पोंटेनियस सिमेट्री ब्रेकिंग (Spontaneous Symmetry Breaking - SSB) कहते हैं।

कहानी के पात्र

उनके समाधान को समझने के लिए, आइए पात्रों से मिलें:

भूत (मूल सिद्धांत): ये "ट्विस्टेड N=2 सुपर-यांग-मिल्स" (Twisted N=2 Super-Yang-Mills) सिद्धांत के कण हैं। ये पूरी तरह से संतुलित हैं। प्रत्येक बोसोन (एक कण जो बल वहन करता है, जैसे फोटॉन) के लिए, एक मिलान वाला फर्मियन (एक पदार्थ का कण, जैसे इलेक्ट्रॉन) होता है। वे इतने सटीक रूप से मेल खाते हैं कि वे एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं, जिससे ब्रह्मांड में कोई द्रव्यमान और कोई स्थानीय "अनुभूति" नहीं बचती।
वास्तुकार (फूजीकावा): यह शोध पत्र भौतिक विज्ञानी फूजीकावा द्वारा विकसित एक पद्धति का उपयोग करता है। उन्हें एक ऐसे वास्तुकार के रूप में सोचें जो भूतिया दुनिया के भीतर एक "जाल" बनाना जानता है।
जाल (पोटेंशियल/Potential): वास्तुकार भूतिया दुनिया के भीतर एक विशेष ऊर्जा परिदृश्य (एक "पोटेंशियल") बनाते हैं। एक चिकनी, सपाट पहाड़ी की कल्पना करें जहाँ एक गेंद कहीं भी लुढ़क सकती है। वास्तुकार उस पहाड़ी में एक गहरी घाटी खोद देते हैं।
गेंद (वैक्यूम/Vacuum): भौतिकी में, "वैक्यूम" निम्नतम ऊर्जा अवस्था है। इस सपाट भूतिया दुनिया में, गेंद कहीं भी बैठ सकती थी। लेकिन इस नई घाटी में, गेंद को अनिवार्य रूप से नीचे की ओर लुढ़कना ही होगा। यह निचला हिस्सा "नॉन-ट्रिवियल वैक्यूम" (non-trivial vacuum) है।

कथानक: समरूपता को तोड़ना

यहाँ बताया गया है कि यह कहानी चरण-दर-चरण कैसे आगे बढ़ती है:

1. पूर्ण संतुलन (ब्रेक होने से पहले)
एक घूमते हुए लट्टू की कल्पना करें जो पूरी तरह से संतुलित है। यह सभी दिशाओं में समान रूप से घूमता है। क्योंकि यह इतना संतुलित है, यह किसी विशिष्ट दिशा में संकेत नहीं करता। शोध पत्र के सिद्धांत में, कण इस लट्टू की तरह हैं। वे "द्रव्यमान रहित" (massless) हैं क्योंकि समरूपता बहुत अधिक पूर्ण है। कुछ भी भारी नहीं है; सब कुछ वजनहीन है।

2. "फूजीकावा पोटेंशियल" पेश करना (जाल)
लेखक एक नया नियम (एक पोटेंशियल) पेश करते हैं जो एक चुंबक की तरह कार्य करता है। यह चुंबक "गेंद" (वैक्यूम अवस्था) को पूर्ण समरूपता के केंद्र से दूर खींचता है।

उपमा: एक पेंसिल की कल्पना करें जो उसके सिरे पर पूरी तरह संतुलित है। यह सममित है। यदि आप इसे थोड़ा सा भी धकेलते हैं, तो यह गिर जाती है। एक बार गिरने के बाद, यह एक विशिष्ट दिशा में संकेत करती है। इसने अपनी पूर्ण समरूपता खो दी है, लेकिन अब इसके पास एक परिभाषित अवस्था है।

3. "हिग्स" प्रभाव (द्रव्यमान प्राप्त करना)
जब गेंद घाटी में लुढ़कती है (नई वैक्यूम अवस्था), तो यह समरूपता को तोड़ देती है।

परिणाम: जो कण कभी वजनहीन थे, अब उन्हें इस नई घाटी में "तैरना" पड़ता है। उनके लिए हिलना कठिन हो जाता है। गति के प्रति इस प्रतिरोध को ही हम द्रव्यमान (Mass) कहते हैं।
ट्विस्ट: अधिकांश भौतिकी कहानियों में (जैसे स्टैंडर्ड मॉडल), केवल बल-वहन करने वाले कण (बोसोन) भारी होते हैं। लेकिन यहाँ, इस विशेष "सुपरसिमेट्री" (भूतों और पदार्थ के बीच पूर्ण मिलान) के कारण, पदार्थ के कण (फर्मियॉन) भी भारी हो जाते हैं!
उपमा: एक डांस फ्लोर की कल्पना करें जहाँ साथी (बोसोन और फर्मियन) एक-दूसरे का हाथ पकड़े हुए हैं। यदि संगीत रुक जाता है (सिमेट्री ब्रेकिंग), तो वे दोनों एक साथ लड़खड़ाते हैं और भारी हो जाते हैं। यह शोध पत्र दिखाता है कि फर्मियॉन का द्रव्यमान बोसोन के द्रव्यमान से सीधे जुड़ा हुआ है।

4. आवश्यकता: आपको तीन दिशाओं की जरूरत है
लेखकों ने पाया कि इसे काम करने के लिए एक सख्त नियम है। समरूपता को तोड़ने और द्रव्यमान बनाने के लिए, "गेंद" को एक साथ तीन अलग-अलग दिशाओं में लुढ़कना होगा।

उपमा: एक मेज पर पिरामिड को संतुलित करने की कोशिश करने की कल्पना करें। यदि आप इसे केवल एक दिशा में धकेलते हैं, तो यह केवल डगमगा सकता है। इसे पूरी तरह से झुकाने और एक नई, स्थिर स्थिति में स्थापित करने के लिए आपको इसे तीन विशिष्ट दिशाओं में धकेलना होगा।
गणित: इसका अर्थ है कि यह सिद्धांत तभी काम करता है जब कणों का समूह पर्याप्त बड़ा हो (विशेष रूप से $N \ge 3$ )। यदि आप इसे छोटे समूह (जैसे $N=2$ ) के साथ आज़माते हैं, तो आप उन तीन दिशाओं को नहीं पा सकते, और समरूपता पूर्ण बनी रहती है, और कोई द्रव्यमान उत्पन्न नहीं होता है।

"आहा!" क्षण: यह क्यों मायने रखता है

शोध पत्र एक दिलचस्प खोज के साथ समाप्त होता है: द्रव्यमान संक्रामक है।

चूंकि बोसोन और फर्मियन "सुपरसिमेट्री" नियमों द्वारा इतने मजबूती से जुड़े हुए हैं, इसलिए जब बोसोन भारी होते हैं (जैसे हमारे वास्तविक दुनिया में हिग्स बोसोन), तो फर्मियॉन को भी भारी होना ही पड़ता है।

मुख्य बात: लेखकों ने दिखाया कि एक तंत्र (mechanism) जहाँ एक "टोपोलॉजिकल फेज" (एक अजीब, अमूर्त पदार्थ की अवस्था) स्वाभाविक रूप से बल वाहकों और पदार्थ कणों दोनों के लिए द्रव्यमान उत्पन्न कर सकता है।
पैमाना: उन्हें जो द्रव्यमान मिलता है वह उस "घाटी" की गहराई (ऊर्जा स्तर $v^2$ ) द्वारा निर्धारित होता है जिसे लेखकों ने बनाया है।

सामान्य दर्शकों के लिए सारांश

इस शोध पत्र को एक भूतिया कहानी को वास्तविकता शो में बदलने के ब्लूप्रिंट के रूप में देखें।

सेटअप: उन्होंने "भूतों" (द्रव्यमान रहित, वजनहीन कणों) के एक सिद्धांत से शुरुआत की जो पूरी तरह से सममित थे।
क्रिया: उन्होंने एक विशेष "जाल" (फूजीकावा पोटेंशियल) बनाया जिसने भूतों को रहने के लिए एक विशिष्ट दिशा चुनने के लिए मजबूर किया।
परिणाम: उन्हें एक दिशा चुनने के लिए मजबूर करके, पूर्ण समरूपता टूट गई।
प्रभाव: भूत अचानक भारी हो गए। उन्होंने द्रव्यमान प्राप्त किया।
आश्चर्य: चूंकि भूत "पदार्थ" के कणों के साथ जोड़े गए थे, इसलिए पदार्थ के कण भी ठीक उसी समय और ठीक उसी वजन के साथ भारी हो गए।

यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि आप एक ऐसा ब्रह्मांड बना सकते हैं जहाँ कण न केवल बलों के लिए, बल्कि स्वयं पदार्थ के लिए भी द्रव्यमान प्राप्त करते हैं, और यह सब एक टोपोलॉजिकल फील्ड थ्योरी की समरूपता को तोड़कर संभव होता है। यह सोचने का एक नया तरीका है कि ब्रह्मांड की शुरुआत में उसे अपना "वजन" कैसे मिला होगा।

यहाँ जुन्क्वेरा, सोब्रेरो और ब्रागा के शोध पत्र "Spontaneous symmetry breaking in a non-Abelian topological gauge theory" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या का विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड थ्योरी (TQFT) की एक मौलिक चुनौती को संबोधित करता है: स्थानीय स्वतंत्रता की कोटियों (local degrees of freedom) को मुक्त करने के लिए टोपोलॉजिकल समरूपता (topological symmetry) को स्वतः कैसे तोड़ा जाए?

संदर्भ: TQFTs, जैसे कि डोनाल्डसन-विटन (DW) थ्योरी (ट्विस्टेड $N=2$ सुपर-यांग-मिल्स), मेट्रिक स्वतंत्रता द्वारा परिभाषित होती हैं। इनके प्रेक्षण (observables) वैश्विक टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट्स होते हैं, और इनमें स्थानीय प्रसारित होने वाली स्वतंत्रता की कोटियाँ (massless fields) नहीं होती हैं।
अंतराल (The Gap): जबकि मानक यांग-मिल्स थ्योरी में द्रव्यमान उत्पन्न करने के लिए हिग्स तंत्र (Higgs mechanism) अच्छी तरह से समझा गया है, TQFTs पर इसे लागू करना गैर-तुच्छ (non-trivial) है। एक विभव (potential) पेश करने से आमतौर पर सिद्धांत की टोपोलॉजिकल प्रकृति (मेट्रिक स्वतंत्रता) या उस विशिष्ट सुपरसिमेट्री (equivariant cohomology) नष्ट हो जाती है जो इस सिद्धांत को परिभाषित करती है।
लक्ष्य: लेखक एक ऐसा तंत्र बनाने का लक्ष्य रखते हैं जो DW थ्योरी की गेज समरूपता और फर्मियोनिक स्केलर सुपरसिमेट्री दोनों को स्वतः तोड़ सके, जिससे वेक्टर बोसों और फर्मियॉन्स दोनों के लिए द्रव्यमान उत्पन्न हो सके, और साथ ही सैद्धांतिक निरंतरता बनी रहे।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक फुकियावा विधि (Fujikawa method) और BRST (बेची-रू-स्टोरा-ट्यूट) कोहोमोलॉजी (cohomology) तकनीकों के संयोजन का उपयोग करते हैं।

प्रारंभिक बिंदु: ट्विस्टेड $N=2$ सुपर-यांग-मिल्स (SYM) थ्योरी (डोनाल्डसन-विटन एक्शन, $S_W$ ) जिसे वेज़-ज़ूमों गेज में लिया गया है। इस एक्शन में एक फर्मियोनिक स्केलर सुपरसिमेट्री ( $\delta$ ) होती है और यह एक BRST-एक्सैक्ट थ्योरी है जहाँ ऊर्जा-संवेग टेंसर (energy-momentum tensor) $\delta$ -एक्सैक्ट है।
फुकियावा निर्माण (The Fujikawa Construction):
- समरूपताओं को स्पष्ट रूप से तोड़ने के बजाय, लेखक इक्विवेरिएंट कोहोमोलॉजी के ट्रिवियल सेक्टर में एक BRST-एक्सैक्ट (या $\delta$ -एक्सैक्ट) विभव ( $S_F$ ) पेश करते हैं।
- इस विभव का निर्माण BRST डबलट्स (विशिष्ट घोस्ट नंबर वाले क्षेत्रों के जोड़े: $(\Xi, \xi)$ , $(\bar{\Theta}, \bar{\theta})$ , $(Z, \zeta)$ ) और एक BRST-इनवेरिएंट बोसोनिक क्षेत्र ( $\Upsilon$ ) को पेश करके किया जाता है।
- इस विभव को इस तरह डिज़ाइन किया गया है कि यह मूल समरूपताओं को लैग्रेंजियन स्तर पर स्पष्ट रूप से तोड़े बिना एक गैर-तुच्छ वैक्यूम समाधान ( $v \neq 0$ ) रख सके।
वैक्यूम विश्लेषण (Vacuum Analysis):
- लेखक परिणामी विभव ( $U_{SSB}$ ) के न्यूनतम मान का विश्लेषण करते हैं।
- वे यह निर्धारित करते हैं कि फर्मियोनिक स्केलर सुपरसिमेट्री को तोड़ने के लिए, वैक्यूम में क्षेत्र स्थान (field space) में तीन अलग-अलग दिशाओं को शामिल करना आवश्यक है: एक स्केलर क्षेत्र $v_a$ के लिए और दो अलग-अलग दिशाएँ फर्मियोनिक स्केलर क्षेत्र $\bar{\eta}_a$ के लिए।
- यह आवश्यकता गेज समूह पर एक प्रतिबंध लगाती है: इस प्रकार के लिए $G=SU(N)$ के मामले में, स्वतः समरूपता भंग (SSB) केवल तभी संभव है जब $N \geq 3$ हो (क्योंकि $SU(2)$ में केवल एक जनरेटर होता है, जो आवश्यक तीन दिशाओं के लिए अपर्याप्त है)।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

TQFT में हिग्स तंत्र का विस्तार: यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि टोपोलॉजिकल गेज थ्योरीज पर हिग्स जैसा तंत्र लागू किया जा सकता है। एक $\delta$ -एक्सैक्ट विभव पेश करके, सिद्धांत एक शुद्ध टोपोलॉजिकल चरण (केवल वैश्विक प्रेक्षण) से स्थानीय स्वतंत्रता की कोटियों वाले चरण में परिवर्तित हो जाता है।
सहसंबद्ध द्रव्यमान पीढ़ी (Correlated Mass Generation): एक नवीन खोज यह है कि द्रव्यमान पीढ़ी केवल वेक्टर बोसों तक सीमित नहीं है। स्केलर सुपरसिमेट्री के कारण जो बोसनों और फर्मियॉन्स को जोड़ती है, समरूपता के टूटने से फर्मिओनिक क्षेत्रों के लिए द्रव्यमान पोल (mass poles) ( $\psi_\mu, \bar{\eta}, \bar{\chi}_{\mu\nu}$ ) भी उत्पन्न होते हैं।
विशिष्ट वैक्यूम संरचना: लेखक पहचानते हैं कि टोपोलॉजिकल चरण को तोड़ने के लिए $SU(N)$ के कार्टन उप-बीजगणित (Cartan subalgebra) के साथ एक विशिष्ट वैक्यूम विन्यास की आवश्यकता होती है जहाँ $N \geq 3$ हो। वे $SU(3) \to U(1) \times U(1)$ के मामले को स्पष्ट रूप से हल करते हैं।
BRST संरचना का संरक्षण: विधि नए क्षेत्रों को BRST डबलट्स के माध्यम से पेश करती है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि कुल BRST चार्ज की निलंबनशीलता (nilpotency) ऑफ-शेल भी संरक्षित रहे, जिससे क्वांटाइजेशन प्रक्रिया की निरंतरता बनी रहती है।

4. परिणाम (Results)

समरूपता भंग पैटर्न (Symmetry Breaking Pattern): प्रारंभिक समरूपता $G=SU(N) $के लिए जहाँ$ N \geq 3 $है, सिद्धांत स्वतः समरूपता भंग करता है। लेखक विशेष रूप से अधिकतम भंग$ SU(3) \to U(1) \times U(1)$ का विश्लेषण करते हैं।
द्रव्यमान स्पेक्ट्रम (Mass Spectrum):
- वेक्टर बोसन्स: $N^2 - 1 - 2$ वेक्टर बोसों में द्रव्यमान आता है। $SU(3)$ के लिए, 8 में से 7 गेज बोसों के भारी (massive) होने के बाद भी द्रव्यमान प्राप्त होता है।
- फर्मियॉन्स: भारी वेक्टर बोसों के अनुरूप फर्मिओनिक क्षेत्र भी द्रव्यमान प्राप्त करते हैं।
- द्रव्यमान संबंध: भारी वेक्टर बोसों ( $m_B^2$ ) और फर्मिओनिक क्षेत्रों ( $m_F^2$ ) दोनों के लिए द्रव्यमान का वर्ग समान होता है और यह फुकियावा विभव द्वारा पेश किए गए ऊर्जा पैमाने $v^2$ द्वारा निर्धारित होता है:
  $m_B^2 = m_F^2 = v^2$
- द्रव्यमानहीन मोड (Massless Modes): अपरिवर्तित $U(1) \times U(1)$ समरूपता (विशेष रूप से $SU(3)$ में 8वाँ घटक) के अनुरूप घटक बोसनों और फर्मियॉन्स दोनों के लिए द्रव्यमानहीन रहते हैं।
प्रसारक (Propagators): लेखक टूटे हुए चरण में फर्मिओनिक प्रसारकों ( $\langle \bar{\eta}\bar{\eta} \rangle$ , $\langle \psi\psi \rangle$ , आदि) की गणना स्पष्ट रूप से करते हैं। वे $k^2 = v^2$ पर पोल्स (poles) की उपस्थिति की पुष्टि करते हैं, जो द्रव्यमान पीढ़ी को प्रमाणित करता है।
टोपोलॉजिकल इनवेरिएंस की हानि:
- SSB से पहले, ऊर्जा-संवेग टेंसर $T_{\mu\nu}$ एक $\delta$ -एक्सैक्ट है, जो मेट्रिक स्वतंत्रता सुनिश्चित करता है।
- SSB के बाद, $T_{\mu\nu}$ अब $\delta$ -एक्सैक्ट नहीं है। फलस्वरूप, सिद्धांत अपनी मेट्रिक स्वतंत्रता खो देता है ( $\delta Z / \delta g_{\mu\nu} \neq 0$ ), जो स्थानीय स्वतंत्रता की कोटियों के रिलीज होने और स्थानीय गतिकी वाले एक मानक भौतिक क्षेत्र सिद्धांत में संक्रमण का संकेत देता है।

5. महत्व (Significance)

द्रव्यमान पीढ़ी तंत्र: यह शोध पत्र एक ऐसा सैद्धांतिक ढांचा प्रदान करता है जहाँ फर्मियन द्रव्यमान एक टोपोलॉजिकल चरण संक्रमण के माध्यम से उत्पन्न होते हैं, और उनका द्रव्यमान गेज बोसों के द्रव्यमान से सख्ती से सहसंबद्ध होता है। यह सुपरसिमेट्रिक और टोपोलॉजिकल संदर्भों में द्रव्यमान पीढ़ी तंत्रों के लिए एक नया दृष्टिकोण प्रदान करता है।
गुरुत्वाकर्षण और कॉस्मोलॉजी से जुड़ाव: लेखक सुझाव देते हैं कि यह तंत्र बैकग्राउंड-इंडिपेंडेंट टोपोलॉजिकल फील्ड थ्योरीज से उत्पन्न होने वाले गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों के लिए प्रासंगिक हो सकता है। यह एक टोपोलॉजिकल शुरुआती बिंदु से स्थानीय स्वतंत्रता की कोटियों (जो भौतिक गुरुत्वाकर्षण के लिए आवश्यक हैं) को उत्पन्न करने का एक संभावित मार्ग प्रदान करता है।
AdS/CFT और CFT से संबंध: यह कार्य TQFTs और कन्फॉर्मल फील्ड थ्योरीज (CFTs) के बीच के संबंध को सुदृढ़ करता है। चूंकि टूटा हुआ चरण एक द्रव्यमान पैमाने पेश करता है, यह सिद्धांत को कन्फॉर्मल सीमा से दूर ले जाता है, जो संभावित रूप से यह अंतर्दृष्टि दे सकता है कि टोपोलॉजिकल चरण उच्च-ऊर्जा भौतिकी और होलोग्राफिक मॉडल से कैसे संबंधित हैं।
क्वांटम सुधार (Quantum Corrections): भारी फर्मिओनिक लूप्स की उपस्थिति यह सुझाव देती है कि ये टोपोलॉजिकल चरण क्वांटम सुधारों के माध्यम से गेज कपलिंग के रनिंग (beta function) को प्रभावित कर सकते हैं, जो गैर-एबेलियन गेज डायनेमिक्स के अध्ययन के लिए नए मार्ग खोलता है।

निष्कर्षतः, यह शोध पत्र सफलतापूर्वक प्रदर्शित करता है कि फुकियावा विधि को ट्विस्टेड $N=2$ SYM में लागू किया जा सकता है ताकि स्वतः समरूपता भंग की जा सके। यह प्रक्रिया स्थानीय स्वतंत्रता की कोटियों को मुक्त करती है, सिद्धांत की टोपोलॉजिकल प्रकृति को तोड़ती है, और बोसोनिक तथा फर्मिओनिक दोनों क्षेत्रों के लिए एक एकीकृत द्रव्यमान पैमाना उत्पन्न करती है, बशर्ते कि गेज समूह का रैंक पर्याप्त ( $N \geq 3$ ) हो।