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Quantum speedups for linear programming via interior point methods

यह शोध पत्र एक क्वांटम इंटीरियर पॉइंट विधि प्रस्तुत करता है जो क्वांटम लीवरेज स्कोर सैंपलिंग और मीन एस्टीमेशन का उपयोग करके बैरियर फंक्शन के हेसियन (Hessian) और ग्रेडिएंट को कुशलतापूर्वक अनुमानित करके टॉल लीनियर प्रोग्राम्स (tall linear programs) को हल करने के लिए एक सबलीनियर $\sqrt{n}$ स्पीडअप प्राप्त करता है।

मूल लेखक: Simon Apers, Sander Gribling

प्रकाशित 2026-02-02

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Simon Apers, Sander Gribling

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक डिलीवरी ट्रक के लिए सबसे अच्छा संभव रास्ता खोजने की कोशिश कर रहे हैं। आपके पास कुछ चीजें हैं जिन्हें आप नियंत्रित कर सकते हैं (जैसे गति या आप कौन सा हाईवे लेते हैं), लेकिन आपको हजारों नियमों का पालन करना होगा (जैसे "60 से तेज़ न चलें," "इस पुल से बचें," "इस गैस स्टेशन पर रुकना ही होगा")। गणित में, इसे लीनियर प्रोग्राम (Linear Program) कहा जाता है।

आमतौर पर, नियमों (constraints) की संख्या उन चीजों (variables) की तुलना में बहुत अधिक होती जिन्हें आप बदल सकते हैं। शोध पत्र की भाषा में, यह एक "टॉल" (tall) समस्या है (कई पंक्तियाँ, कम कॉलम)।

समस्या: "न्यूटन स्टेप" (Newton Step) की बाधा

दशकों से, इन समस्याओं को हल करने का सबसे तेज़ तरीका इनटिरियर पॉइंट मेथड्स (Interior Point Methods - IPM) नामक एक विधि रही है। इस विधि को एक ऐसे हाइकर (पदमयात्री) के रूप में सोचें जो एक विशाल, धुंधली घाटी में सबसे निचले बिंदु को खोजने की कोशिश कर रहा है।

तेजी से नीचे पहुँचने के लिए, हाइकर केवल अनुमान नहीं लगाता; वह अपने पैरों के नीचे जमीन के आकार को देखता है। वह दो चीजें गणना करता है:

ढलान (Gradient): नीचे जाने का रास्ता कौन सा है?
वक्रता (Curvature/Hessian): क्या जमीन समतल है, या यह एक खड़ी ढलान है?

शास्त्रीय दुनिया (classical world) में, जब आपके पास हजारों नियम होते हैं, तो "वक्रता" की गणना करना अविश्वसनीय रूप से धीमा होता है। यह एक पहाड़ के आकार को मापने के लिए उसकी सतह के हर एक पत्थर को छूने जैसा है। शोध पत्र नोट करता है कि कई नियमों वाली समस्याओं के लिए, इसमें बहुत समय लगता है।

समाधान: एक क्वांटम शॉर्टकट

लेखक, साइमन एपर्स और सैंडर ग्रिब्लिंग ने एक क्वांटम एल्गोरिदम बनाया है जो हमारे हाइकर के लिए एक सुपर-पावर्ड ड्रोन की तरह काम करता है। हर पत्थर को छूने के बजाय, ड्रोन केवल कुछ प्रमुख स्थानों का नमूना (sample) लेकर जमीन के आकार को "महसूस" कर सकता है, लेकिन वह इसे इस तरह से करता है कि यह गणितीय रूप से पर्याप्त सटीक होने की गारंटी देता है।

वे इन दो विशिष्ट कार्यों को तेज करके इसे प्राप्त करते हैं:

1. "स्पेक्ट्रल एप्रोक्सिमेशन" (आकार खोजना)

कल्पना कीजिए कि आपके पास किताबों का एक विशाल पुस्तकालय है (आपके नियम), लेकिन आपको केवल सामान्य विषय को समझने की आवश्यकता है। आपको हर किताब पढ़ने की आवश्यकता नहीं है।

शास्त्रीय दृष्टिकोण (Classical approach): आप एक अच्छा सारांश प्राप्त करने के लिए किताबों का एक बड़ा हिस्सा पढ़ते हैं।
क्वांटम दृष्टिकोण (Quantum approach): लेखक ग्रोवर सर्च (Grover's Search) (एक प्रसिद्ध क्वांटम ट्रिक) को लीवरेज स्कोर सैंपलिंग (Leverage Score Sampling) के साथ मिलाते हैं।
- उपमा: कल्पना कीजिए कि आपके पास कंचों (marbles) का एक थैला है, और उनमें से कुछ "भारी" (महत्वपूर्ण नियम) हैं और कुछ "हल्के" (कम महत्वपूर्ण नियम) हैं। क्वांटम एल्गोरिदम एक जादुई हाथ की तरह है जो तुरंत महसूस कर सकता है कि कौन से कंचे भारी हैं और उन्हें चुन सकता है, जबकि हल्के वालों को अनदेखा कर देता है। यह एक छोटा, "मिनी-लाइब्रेरी" बनाता है जो अभी भी पूरी कहानी बताता है।
- परिणाम: सभी $n$ नियमों की जांच करने के बजाय, क्वांटम कंप्यूटर को केवल लगभग $\sqrt{n}$ नियमों की जांच करने की आवश्यकता होती है। यदि आपके पास दस लाख नियम हैं, तो एक क्लासिकल कंप्यूटर को दस लाख नियमों की जांच करनी पड़ सकती है, लेकिन क्वांटम वाला केवल लगभग 1,000 की जांच करेगा।

2. "ग्रेडिएंट एस्टीमेशन" (ढलान खोजना)

एक बार जब हाइकर को आकार का पता चल जाता है, तो उसे यह जानने की आवश्यकता होती है कि किस दिशा में कदम बढ़ाना है।

चुनौती: सटीक दिशा की गणना करना कठिन है क्योंकि जैसे-जैसे आप आगे बढ़ते हैं, "जमीन" का आकार बदलता रहता है।
समाधान: लेखक मीन एस्टीमेशन (mean estimation) के लिए एक क्वांटम विधि का उपयोग करते हैं। कल्पना कीजिए कि आप स्टेडियम में लोगों की औसत ऊंचाई का अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं। एक क्लासिक व्यक्ति को बहुत से लोगों को मापना होगा। क्वांटम एल्गोरिदम भीड़ का नमूना (sample) एक सुपरपोजिशन (एक क्वांटम अवस्था जहाँ वह एक साथ कई लोगों को देखता है) में ले सकता है और बहुत कम नमूनों के साथ बहुत सटीक औसत प्राप्त कर सकता है।
ट्रिक: वे समस्या को "प्री-कंडीशन" (pre-condition) करने के लिए चरण 1 से मिली "मिनी-लाइब्रेरी" का उपयोग करते हैं। यह विशेष चश्मे पहनने जैसा है जो जमीन को अधिक समतल और मापने में आसान बना देते हैं, ताकि क्वांटम सेंसर ढलान के कारण भ्रमित न हो।

बड़ी जीत

इन दो क्वांटम ट्रिक्स को जोड़कर, लेखकों ने इन "टॉल" लीनियर प्रोग्राम्स को हल करने का एक नया तरीका बनाया है।

गति: इसे हल करने में लगने वाला समय नियमों की संख्या के बजाय, नियमों की संख्या के वर्गमूल (square root) के साथ बढ़ता है।
"टॉल" का लाभ: जब आपके पास वेरिएबल्स की तुलना में बहुत अधिक नियम होते हैं (जैसे 10 लाख नियम और 100 वेरिएबल्स), तो यह एक बड़ी बढ़त है।
परिणाम: वे एक ऐसा समाधान पा सकते हैं जो पूर्णता के "काफी करीब" (एक बहुत ही सूक्ष्म त्रुटि मार्जिन $\epsilon$ के भीतर) है, और यह किसी भी क्लासिकल कंप्यूटर की तुलना में बहुत तेजी से किया जा सकता है।

वे क्या दावा नहीं करते

यह महत्वपूर्ण है कि हम जो शोध पत्र वास्तव में कहता है उस पर टिके रहें:

उन्होंने यह दावा नहीं किया कि यह हर प्रकार की समस्याओं के लिए काम करता है। यह विशेष रूप से "टॉल" समस्याओं (अधिक बाधाएं, कम वेरिएबल्स) के लिए अनुकूलित है।
उन्होंने यह दावा नहीं किया कि यह समस्या को तुरंत हल कर देता है। इसमें अभी भी समय लगता है, लेकिन पहले की तुलना में काफी कम।
उन्होंने यह दावा नहीं किया कि यह आपके स्मार्टफोन के लिए तैयार है। इसके लिए एक विशिष्ट क्षमताओं वाले क्वांटम कंप्यूटर (जैसे QRAM) की आवश्यकता होती है जो अभी भी सैद्धांतिक या शुरुआती विकास के चरण में हैं।
उन्होंने इस शोध पत्र में चिकित्सा निदान या दवा की खोज तक इसका विस्तार नहीं किया है। उन्होंने विशेष रूप से लीनियर प्रोग्रामिंग के लिए गणितीय गति (speedup) पर ध्यान केंद्रित किया है।

सारांश

इस शोध पत्र को एक विशिष्ट प्रकार के गणितीय परिदृश्य के लिए क्वांटम टेलीस्कोप का आविष्कार करने के रूप में समझें। घाटी के निचले हिस्से को खोजने के लिए पूरे रास्ते पर चलने के बजाय, क्वांटम एल्गोरिदम घाटी के आकार को दूर से देखने के लिए एक विशेष लेंस का उपयोग करता है, जिससे यह क्लासिकल कंप्यूटर की तुलना में बहुत कम समय में सीधे समाधान तक पहुँचने में सक्षम होता है।

तकनीकी सारांश: इंटीरियर पॉइंट मेथड्स के माध्यम से लीनियर प्रोग्रामिंग के लिए क्वांटम स्पीडअप्स

समस्या विवरण

यह शोध पत्र लीनियर प्रोग्राम्स (LPs) को हल करने के मौलिक कार्य को संबोधित करता है जो $Ax \geq b$ के रूप में होते हैं, जहाँ $A \in \mathbb{R}^{n \times d}$ , $b \in \mathbb{R}^n$ , और $c \in \mathbb{R}^d$ है। ध्यान विशेष रूप से "टॉल" (tall) लीनियर प्रोग्राम्स पर केंद्रित है जहाँ बाधाओं (constraints) की संख्या $n$ , चरों (variables) की संख्या $d$ की तुलना में काफी अधिक होती है ( $n \gg d$ )।

जबकि क्लासिकल इंटीरियर पॉइंट मेथड्स (IPMs) LPs को हल करने के लिए स्टेट-ऑफ-द-आर्ट हैं, उनके जटिलता (complexity) का मान घने (dense) इंस्टेंस के लिए लगभग $\tilde{O}(nd + d^{2.5})$ है। लेखक इस बात की जांच कर रहे हैं कि क्या क्वांटम एल्गोरिदम IPMs के लिए स्पीडअप प्रदान कर सकते हैं, जिसका लक्ष्य रनटाइम को इनपुट साइज (विशेष रूप से $n$ में) के सबलीनियर (sublinear) बनाना है।

कार्यप्रणाली (Methodology)

प्रस्तावित दृष्टिकोण एक क्वांटम इंटीरियर पॉइंट मेथड है जो IPM इटरेशन के मूल में न्यूटन स्टेप (Newton step) का अनुमान लगाता है। सटीक हेसियन (Hessian) और ग्रेडिएंट की गणना करने के बजाय, एल्गोरिदम हेसियन के स्पेक्ट्रल एप्रोक्सिमेशन (spectral approximations) और इनवर्स-लोकल नॉर्म में ग्रेडिएंट के एप्रोक्सिमेशन प्राप्त करने के लिए क्वांटम सबरूटीन्स का उपयोग करता है।

कार्यप्रणाली तीन प्राथमिक क्वांटम घटकों पर निर्भर करती है:

क्वांटम स्पेक्ट्रल एप्रोक्सिमेशन:
एल्गोरिदम $B^T B$ के स्पेक्ट्रल एप्रोक्सिमेशन का निर्माण करता है जहाँ $B \in \mathbb{R}^{n \times d}$ एक टॉल मैट्रिक्स है। यह एक "रिपीटेड हाल्विंग" (repeated halving) रणनीति और लीवरेज स्कोर सैंपलिंग (leverage score sampling) का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।
- तंत्र (Mechanism): एल्गोरिदम $B$ की $n$ पंक्तियों में से महत्वपूर्ण पंक्तियों को खोजने के लिए ग्रोवर सर्च (Grover search) का उपयोग करता है, जो क्लासिकली आवश्यक $\tilde{O}(n)$ के बजाय $\tilde{O}(\sqrt{n})$ क्वेरीज़ में होता है।
- बूटस्ट्रैपिंग (Bootstrapping): इस चक्रीय निर्भरता (circular dependency) से बचने के लिए कि लीवरेज स्कोर प्राप्त करने के लिए पंक्तियों को सैंपल करने हेतु $B^T B$ की आवश्यकता होती है, लेखक क्लासिकल बूटस्ट्रैपिंग तकनीक (कोहेन एट अल.) को क्वांटम सेटिंग में अनुकूलित करते हैं। वे जनरलाइज्ड लीवरेज स्कोर का अनुमान लगाने के लिए यूनिफॉर्मली डाउनसैंपल किए गए मैट्रिसेस की एक श्रृंखला का उपयोग करते हैं, जिनका उपयोग बाद में वेटिंग (weighting) के लिए किया जाता है।
क्वांटम लीवरेज वेट्स (Lewis Weights) का एप्रोक्सिमेशन:
उन्नत बैरियर्स (Volumetric और Lewis weight barriers) के लिए, एल्गोरिदम $\ell_p$ -लीवरेज वेट्स का अनुमान लगाने की आवश्यकता होती है।
- तंत्र: लीवरेज वेट्स को एक रीस्केल्ड मैट्रिक्स के लीवरेज स्कोर से जुड़ी एक फिक्स्ड-पॉइंट इक्वेशन के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। लेखक एक लो-प्रिसिजन क्लासिकल एल्गोरिदम (एपर्स, ग्रिबलिंग और सिडरफोर्ड) पर आधारित एक इटरेटिव क्वांटम एल्गोरिदम लागू करते हैं।
- दक्षता: चूंकि $n$ वेट्स को स्पष्ट रूप से लिखना बहुत महंगा है, इसलिए एल्गोरिदम ऐसे इंप्लिसिट डेटा स्ट्रक्चर्स बनाए रखता है जो पूर्ण मटेरियलइजेशन के बिना कुशल क्वेरीइंग की अनुमति देते हैं।
क्वांटम ग्रेडिएंट एप्रोक्सिमेशन (मैट्रिक्स-वेक्टर प्रोडक्ट):
एल्गोरिदम "इनवर्स-लोकल नॉर्म" $\|\cdot\|_{H(x)^{-1}}$ में ग्रेडिएंट $g(x)$ का अनुमान लगाता है।
- तंत्र: ग्रेडिएंट को एक रैंडम वेरिएबल के मीन (mean) के रूप में देखा जाता है। लेखक मल्टीवेरिएट मीन एस्टीमेशन के लिए एक हालिया क्वांटम एल्गोरिदम (कोर्नेलिसेन, हमौदी और जेर्बी) का उपयोग करते हैं।
- प्रीकंडीशनिंग (Preconditioning): कंडीशन नंबर पर निर्भरता से बचने के लिए, एल्गोरिदम पहले हेसियन के स्पेक्ट्रल एप्रोक्सिमेशन $\tilde{H}$ का निर्माण करता है। इसके बाद, एल्गोरिदम $\tilde{H}^{-1/2}$ का उपयोग करके एक "प्री-कंडीशन्ड" रैंडम वेरिएबल से सैंपल करता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि कोवेरिएंस मैट्रिक्स का ट्रेस नियंत्रित रहे और परिणामी एस्टिमेटर आवश्यक नॉर्म बाउंड को पूरा करे।

मुख्य योगदान

क्वांटम स्पेक्ट्रल एप्रोक्सिमेशन एल्गोरिदम:
यह पेपर एक टॉल मैट्रिक्स $B$ के लिए $B^T B$ का $\delta$ -स्पेक्ट्रल एप्रोक्सिमेशन $\tilde{O}(\sqrt{nd}/\delta)$ रो क्वेरीज़ का उपयोग करके वापस करने वाला क्वांटम एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है। यह पिछले क्वांटम ग्राफ स्पारसिफिकेशन परिणामों को टॉल मैट्रिसेस के लिए सामान्यीकृत करता है और इस विशिष्ट कार्य के लिए क्लासिकल $\tilde{O}(n)$ क्वेरी लोअर बाउंड पर एक क्वाड्रेटिक स्पीडअप प्राप्त करता है।
क्वांटम लीवरेज वेट कंप्यूटेशन:
लेखक $\ell_p$ -लीवरेज वेट्स के $\epsilon$ -मल्टीप्लिकेटिव एप्रोक्सिमेशन तक क्वांटम एक्सेस प्रदान करने के लिए एक क्वांटम एल्गोरिदम विकसित करते हैं। इसमें $\tilde{O}(\sqrt{n} d^{7/2})$ क्वेरीज़ के साथ एक प्रीप्रोसेसिंग चरण शामिल है और यह सबलीनियर कॉस्ट के साथ बाद की क्वेरीज़ की अनुमति देता है, जिससे सबलीनियर क्वांटम सेटिंग में लीवरेज वेट बैरियर्स का उपयोग संभव हो पाता है।
एप्रोक्सिमेशंस के प्रति IPMs की मजबूती (Robustness):
यह पेपर औपचारिक रूप से स्थापित करता है कि सेल्फ-कॉन्कॉर्डेंट बैरियर्स (लॉगारिदमिक, वॉल्यूमेट्रिक और लीवरेज वेट) पर आधारित IPMs, जब न्यूटन स्टेप को एप्रोक्सिमेट हेसियंस और ग्रेडिएंट्स का उपयोग करके लागू किया जाता है, तो भी मजबूत रहते हैं। विशेष रूप से, यह दिखाता है कि हेसियन के स्पेक्ट्रल एप्रोक्सिमेशन और इनवर्स-लोकल नॉर्म में ग्रेडिएंट के एप्रोक्सिमेशन पर्याप्त हैं ताकि कन्वर्जेंस गारंटी बनी रहे।
टॉल LPs के लिए क्वांटम IPM:
उपरोक्त सबरूटीन्स को मिलाकर, लेखक एक क्वांटम IPM का निर्माण करते हैं जो $n$ बाधाओं और $d$ चरों वाले टॉल LPs को हल करता है।
- जटिलता (Complexity): लीवरेज वेट बैरियर के लिए, एल्गोरिदम $\tilde{O}(\sqrt{n} \cdot \text{poly}(d, \log(1/\epsilon)))$ समय में चलता है।
- क्वेरी कॉम्प्लेक्सिटी: एल्गोरिदम इनपुट डेटा के $\tilde{O}(\sqrt{n} d^5)$ रो क्वेरीज़ करता है। जब $n \gg d^{10}$ हो, तब यह $n$ में सबलीनियर है।

परिणाम

शोध पत्र निम्नलिखित सैद्धांतिक परिणाम प्रदान करता है:

थ्योरम 1.1 (मुख्य परिणाम): एक क्वांटम IPM मौजूद है जो एक व्यवहार्य समाधान (feasible solution) $\tilde{x}$ लौटाता है ताकि $c^T \tilde{x} \leq \text{val} + \epsilon$ हो।
- लॉगारिदमिक बैरियर (Logarithmic barrier) के लिए: $\tilde{O}(nd)$ क्वेरीज़।
- वॉल्यूमेट्रिक बैरियर (Volumetric barrier) के लिए: $\tilde{O}(n^{3/4} d^{5/4})$ क्वेरीज़।
- लीवरेज वेट बैरियर (Lewis weight barrier) के लिए: $\tilde{O}(\sqrt{n} d^5)$ क्वेरीज़।
- लीवरेज वेट बैरियर के लिए समय जटिलता $\tilde{O}(\sqrt{n} \cdot \text{poly}(d))$ है।
लोअर बाउंड्स (Lower Bounds):
- पेपर सिद्ध करता है कि $A^T A$ के स्पेक्ट्रल एप्रोक्सिमेशन के लिए किसी भी क्वांटम एल्गोरिदम को $\Omega(\sqrt{nd})$ रो क्वेरीज़ की आवश्यकता होती है, जो दर्शाता है कि उनके एल्गोरिदम में $\sqrt{n}$ की निर्भरता इष्टतम (optimal) है।
- यह एक लोअर बाउंड को भी दोहराता है जो दिखाता है कि LPs को कांस्टेंट प्रिसिजन तक हल करने के लिए $\Omega(\sqrt{nd})$ क्वांटम क्वेरीज़ (या $\Omega(n)$ क्लासिकल क्वेरीज़) की आवश्यकता होती है, जो सुझाव देता है कि उनके एल्गोरिदम में $d$ -निर्भरता सुधार का प्राथमिक क्षेत्र है।
बेंचमार्क्स के साथ तुलना:
- लेखक अपने परिणाम की तुलना कटिंग प्लेन मेथड्स (सेपरेशन ऑरेकल पर ग्रोवर सर्च का उपयोग करके) पर आधारित क्वांटम स्पीडअप से करते हैं, जो $\tilde{O}(\sqrt{n} d)$ क्वेरीज़ प्राप्त करता है।
- वे नोट करते हैं कि हालांकि उनके IPM में $d$ पर खराब निर्भरता ( $d^5$ बनाम $d$ ) है, लेकिन यह एक "व्हाइट-बॉक्स" दृष्टिकोण का प्रतिनिधित्व करता है जो IPMs की आंतरिक संरचना का लाभ उठाता है, जबकि कटिंग प्लेन मेथड ग्रोवर सर्च का एक "ब्लैक-बॉक्स" अनुप्रयोग है।

महत्व और दावे

पेपर इस प्रश्न पर एक सकारात्मक उत्तर प्रदान करने का दावा करता है कि क्या क्वांटम एल्गोरिदम "टॉल" लीनियर प्रोग्राम्स के लिए इंटीरियर पॉइंट मेथड्स को तेज कर सकते हैं।

सबलीनियर स्पीडअप: मुख्य महत्व टॉल LPs के लिए बाधाओं की संख्या $n$ में सबलीनियर समय और क्वेरी कॉम्प्लेक्सिटी की उपलब्धि है, एक ऐसा क्षेत्र जहाँ क्लासिकल एल्गोरिदम $n$ में लीनियर होते हैं।
नवीन सबरूटीन्स: यह कार्य स्पेक्ट्रल एप्रोक्सिमेशन और लीवरेज वेट कंप्यूटेशन के लिए नवीन क्वांटम सबरूटीन्स पेश करता है जो सांख्यिकीय प्रतिगमन (statistical regression) और डायमेंशनलिटी रिडक्शन के लिए स्वतंत्र रूप से महत्वपूर्ण हैं।
कंडीशन नंबर इंडिपेंडेंस: पिछले क्वांटम LP एल्गोरिदम के विपरीत जो क्वांटम लीनियर सिस्टम सॉल्वर (जो कंडीशन नंबर निर्भरता पेश करते हैं) पर निर्भर थे, यह दृष्टिकोण स्पेक्ट्रल एप्रोक्सिमेशन और प्रीकंडीशनिंग का उपयोग करके ऐसी निर्भरताओं से बचता है।
एरर डिपेंडेंस: एल्गोरिदम $\epsilon$ की शुद्धता पर $\log(1/\epsilon)$ की निर्भरता प्राप्त करता है, जो पिछले क्वांटम LP एल्गोरिदम में सुधार करता है जिनमें अक्सर $1/\epsilon$ पर पॉलिनोमियल निर्भरता होती थी।

लेखक $d$ -निर्भरता के संबंध में विनम्र रहते हैं, यह स्वीकार करते हुए कि उनका वर्तमान बाउंड ( $d^5$ ), $\sqrt{n} d$ बेंचमार्क की तुलना में काफी खराब है। वे इस अंतर को पाटने के लिए ग्रेडिएंट एप्रोक्सिमेशन को बेहतर बनाने और डायनेमिक डेटा स्ट्रक्चर्स का लाभ उठाने को प्रमुख खुले दिशाओं के रूप में पहचानते हैं।