⚛️ quantum physics

Qubit fidelity under stochastic Schrödinger equations driven by colored noise

यह शोधपत्र भविष्य के क्वांटम कंप्यूटिंग सिस्टमों के लिए शोर सहनशीलता मूल्यांकन और इष्टतम नियंत्रण में सहायता करने हेतु, क्यूबिट फिडेलिटी (qubit fidelity) के पूर्ण वितरण और सांख्यिकीय क्षणों (statistical moments) की भविष्यवाणी करने के लिए, ऑर्नस्टीन-उलेनबेक (Ornstein-Uhlenbeck) जैसी यथार्थवादी रंगीन शोर (colored noise) द्वारा संचालित स्टोकेस्टिक श्रोडिंगर समीकरणों को हल करने की एक विधि प्रस्तुत करता है।

मूल लेखक: Robert de Keijzer, Luke Visser, Oliver Tse, Servaas Kokkelmans

प्रकाशित 2026-03-04

📖 6 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: Robert de Keijzer, Luke Visser, Oliver Tse, Servaas Kokkelmans

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य चित्र: एक क्वांटम सिक्के को संतुलित रखना

कल्पना कीजिए कि आप एक घूमते हुए सिक्के को उसके किनारे पर संतुलित करने की कोशिश कर रहे हैं। क्वांटम कंप्यूटरों की दुनिया में, यह "सिक्का" एक qubit है। उपयोगी कार्य करने के लिए, इस सिक्के को लंबे समय तक संतुलित (या एक विशिष्ट अवस्था में) रहने की आवश्यकता होती है।

हालाँकि, वास्तविक दुनिया अव्यवस्थित है। हवा में झोंके हैं, मेज हिल रही है, और लोग इससे टकरा रहे हैं। क्वांटम शब्दों में, यह शोर (noise) है।

लंबे समय तक वैज्ञानिकों ने यह अनुमान लगाने के लिए कि सिक्का कब तक संतुलित रहेगा, एक मानक नियम पुस्तिका (जिसे Lindblad equation कहा जाता है) का उपयोग किया। लेकिन इस नियम पुस्तिका में दो बड़ी कमियां थीं:

इसने माना कि शोर "सफेद" (white) था। सफेद शोर की कल्पना एक पुराने टीवी पर आने वाले स्टैटिक (static) की तरह करें—जहाँ उच्च-पिच और निम्न-पिच वाले स्टैटिक की समान मात्रा होती है। वास्तविकता में, शोर एक गड़गड़ाहट की तरह होता है; कम-आवृत्ति वाले कंपन (जैसे किसी दूर चलते ट्रक की आवाज़) आमतौर पर उच्च-पिच वाली चीखों की तुलना में बहुत अधिक मजबूत होते हैं।
यह केवल एक औसत देता था। नियम पुस्तिका ने आपको बताया कि सिक्का औसतन कितने समय तक खड़ा रहेगा, लेकिन इसने यह नहीं बताया कि सिक्का कितना डगमगाएगा। कभी-कभी यह तुरंत गिर सकता है; अन्य समय में यह युगों तक घूम सकता है। विश्वसनीय कंप्यूटर बनाने के लिए संभावनाओं के इस फैलाव (spread) को जानना अत्यंत महत्वपूर्ण है।

यह शोध पत्र एक नया, अधिक यथार्थवादी तरीका पेश करता है जिससे यह सटीक रूप से अनुमान लगाया जा सके कि जब शोर "रंगीन" (रंबल/गड़गड़ाहट वाला) हो तो वह सिक्का वास्तव में कैसा व्यवहार करता है और कैसे परिणामों की पूरी श्रृंखला देखी जा सकती है, न कि केवल औसत।

पुराने मानचित्र के साथ समस्या

पुराने तरीके (Lindblad equation) को मौसम के पूर्वानुमान की तरह समझें जो केवल यह कहता है, "कल का औसत तापमान 70°F होगा।"

खामी: यह आपको यह नहीं बताता कि आपको कोट की आवश्यकता होगी या स्विमिंग सूट की। यह इस तथ्य को ध्यान में नहीं रखता कि हवा (शोर) यादृच्छिक (random) रूप से बहने के बजाय एक विशिष्ट, लयबद्ध पैटर्न में चल सकती है।
वास्तविकता: क्वांटम सिस्टम संवेदनशील होते हैं। यदि शोर में एक विशिष्ट लय (जैसे कि पेपर में उल्लेखित Ornstein-Uhlenbeck शोर, जो एक थमती हुई स्प्रिंग की तरह है) है, तो सिस्टम उस तरह से व्यवहार करता है जैसे कि शोर यादृच्छिक अराजकता (random chaos) के बजाय एक विशिष्ट लयबद्ध पैटर्न हो।

नया समाधान: एक पूर्ण वितरण मानचित्र (Full Distribution Map)

लेखकों ने Stochastic Schrödinger Equations पर आधारित एक नया गणितीय टूलकिट विकसित किया है। केवल "औसत" सिक्के के संतुलन की भविष्यवाणी करने के बजाय, उन्होंने परिणामों के संपूर्ण वितरण (entire distribution) की गणना की।

पासे (Dice) का उदाहरण:

पुराना तरीका: "यदि आप इस पासे को 1,000 बार फेंकते हैं, तो औसत परिणाम 3.5 होगा।" (यह Lindblad दृष्टिकोण है)।
नया तरीका: "यदि आप इस पासे को 1,000 बार फेंकते हैं, तो यहाँ सटीक हिस्टोग्राम है: 1 होने की 20% संभावना, 2 होने की 15% संभावना, 3 होने की 25% संभावना..." (यह नया वितरण दृष्टिकोण है)।

यह क्यों मायने रखता है? क्योंकि क्वांटम कंप्यूटिंग में, आपको केवल औसत नहीं चाहिए; आपको सबसे खराब स्थिति (worst-case scenario) और विचलन (variance) जानने की आवश्यकता है। यदि आप एक क्वांटम कंप्यूटर के लिए नियंत्रण प्रणाली (control system) डिजाइन कर रहे हैं, तो आपको यह जानने की आवश्यकता है कि क्या एक विशिष्ट प्रकार का शोर एक बार में 1% बार क्यूबिट को विफल करेगा या 50% बार।

उन्होंने इसे कैसे किया (जादुई ट्रिक)

आमतौर पर, शोर के प्रभाव में एक सिस्टम कैसे व्यवहार करता है, यह जानने के लिए वैज्ञानिक बड़े पैमाने पर कंप्यूटर सिमुलेशन (Monte Carlo methods) चलाते हैं। कल्पना कीजिए कि वायुमंडल का 10,000 बार सिमुलेशन चलाकर मौसम की भविष्यवाणी करने की कोशिश करना। इसमें बहुत समय लगता है और बहुत ऊर्जा खर्च होती है।

लेखकों ने एक "शॉर्टकट" खोजा। उन्होंने Ordinary Differential Equations (ODEs) का एक सेट तैयार किया।

उपमा: तूफान में गाड़ी चलाने वाले कार के 10,000 सिमुलेशन चलाने के बजाय, उन्होंने एक एकल, सुंदर सूत्र खोज लिया जो आपको ठीक से बताता है कि कार कहाँ होगी, उसकी गति कितनी होगी, और वह कितनी हिल रही है, और वह सब एक साथ।
परिणाम: उनकी विधि बहुत तेज़ है (घंटों के बजाय सेकंड में) और पुराने सिमुलेशन तरीकों की तुलना में अधिक विवरण (संभावना वक्र का पूरा आकार) प्रदान करती है।

मुख्य निष्कर्ष

डैम्प्ड (Damped) शोर बेहतर है: उन्होंने पाया कि "Ornstein-Uhlenbeck" शोर (जो एक ऐसी स्प्रिंग की तरह है जो थक जाती है और कंपन करना बंद कर देती है) वास्तव में शुद्ध यादृच्छिक "सफेद" शोर की तुलना में लंबे समय में क्यूबिट्स के लिए कम हानिकारक होता है। सिस्टम के पास खुद को "सुधारने" का एक मौका होता है।
एंटैंगलमेंट (Entanglement) मायने रखता है: जब दो क्यूबिट्स (दो सिक्कों) को देखते हैं जो "एंटैंगल्ड" (जादुई रूप से जुड़े हुए) हैं, तो शोर उन्हें अलग-अलग तरह से प्रभावित करता है, यह इस पर निर्भर करता है कि वे कैसे जुड़े हुए हैं। कभी-कभी, एंटैंगल्ड होना उन्हें अधिक मजबूत बनाता है; अन्य समय में, यह उन्हें अधिक नाजुक बना देता है। नया गणित इस सूक्ष्मता की भविष्यवाणी कर सकता है।
नॉन-कम्यूटिंग (Non-Commuting) शोर: उन्होंने एक पेचीदा मामले को सुलझाया जहाँ शोर और नियंत्रण संकेत (control signals) एक-दूसरे के विरुद्ध लड़ते हैं (जैसे कि कार चलाने की कोशिश करना जबकि स्टीयरिंग व्हील को हिलाया जा रहा हो)। उन्होंने पाया कि सिस्टम एक अनुमानित पैटर्न में दोलन (oscillate) करता है।

आपको इसकी परवाह क्यों करनी चाहिए?

यह केवल अमूर्त गणित नहीं है। यह अगली पीढ़ी के क्वांटम कंप्यूटर बनाने का ब्लूप्रिंट है।

खरीद निर्णय: यदि कोई कंपनी क्वांटम कंप्यूटर खरीदना चाहती है, तो वे इस मॉडल का उपयोग यह पूछने के लिए कर सकते हैं: "यदि हमारे नियंत्रण लेजर में इस विशिष्ट प्रकार का शोर है, तो क्या कंप्यूटर काम करेगा?"
बेहतर नियंत्रण: इंजीनियर विशेष रूप से इन "रंबल" (गड़गड़ाहट वाले) शोरों का मुकाबला करने के लिए नियंत्रण प्रणालियों को डिजाइन कर सकते हैं, बजाय इसके कि वे केवल यादृच्छिक स्टैटिक मान लें।
दक्षता (Efficiency): चूंकि उनकी विधि पुराने सिमुलेशन तरीकों की तुलना में बहुत तेज़ है, इसलिए इंजीनियर एक परीक्षण करने में लगने वाले समय में हजारों अलग-अलग शोर परिदृश्यों का परीक्षण कर सकते हैं।

सारांश

लेखकों ने एक जटिल, अव्यवस्थित समस्या (यथार्थवादी, लयबद्ध शोर के तहत क्वांटम बिट्स के व्यवहार की भविष्यवाणी करना) को एक चतुर गणितीय शॉर्टकट के साथ हल किया। औसत परिणाम का अनुमान लगाने के बजाय, उन्होंने संभावनाओं के पूरे परिदृश्य का मानचित्र बनाया, जिससे इंजीनियरों के लिए अधिक मजबूत, विश्वसनीय और वास्तविक दुनिया के लिए तैयार क्वांटम कंप्यूटर बनाना संभव हो गया।

यहाँ R.J.P.T. डी केइज़र और अन्य द्वारा लिखित शोध पत्र "Qubit fidelity under stochastic Schrödinger equations driven by colored noise" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

वर्तमान क्वांटम कंप्यूटिंग सिस्टम, विशेष रूप से नोइजी इंटरमीडिएट-स्केल क्वांटम (NISQ) युग में, पर्यावरणीय और नियंत्रण-प्रणाली के शोर (noise) से प्रभावित होते हैं। मानक मॉडलिंग दृष्टिकोण लिंडब्लाड मास्टर इक्वेशन (Lindblad master equation) पर निर्भर करते हैं, जो व्हाइट नॉइज़ (white noise) (मार्कोवियन धारणा) के तहत एक सिस्टम के डेंसिटी मैट्रिक्स ( $\rho$ ) के औसत विकास का वर्णन करता है।

लेखक लिंडब्लाड दृष्टिकोण की तीन महत्वपूर्ण सीमाओं की पहचान करते हैं:

अवास्तविक शोर प्रोफाइल (Unrealistic Noise Profiles): वास्तविक दुनिया के नियंत्रण शोर (जैसे लेजर तीव्रता या आवृत्ति उतार-चढ़ाव) अक्सर कलर्ड नॉइज़ (colored noise) (गैर-मार्कोवियन) होते हैं, जहाँ पावर स्पेक्ट्रल डेंसिटी (PSD) में कम आवृत्तियाँ हावी होती हैं। व्हाइट नॉइज़ यह मानता है कि सभी आवृत्तियाँ समान योगदान देती हैं, जो नियंत्रण प्रणालियों के लिए भौतिक रूप से सटीक नहीं है।
एन्सेम्बल सूचना की हानि (Loss of Ensemble Information): डेंसिटी मैट्रिक्स $\rho$ औसत अवस्था का वर्णन करता है लेकिन शुद्ध अवस्थाओं के संभाव्य एन्सेम्बल $\{|\psi_j\rangle\}$ को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं करता है। दो अलग-अलग एन्सेम्बल एक ही $\rho$ साझा कर सकते हैं लेकिन बाद के ऑपरेशनों के तहत अलग तरह से विकसित होते हैं। फलस्वरूप, लिंडब्लाड समीकरण फिडेलिटी वितरण के विचरण (variance) या उच्च-क्रम के क्षणों (higher-order moments) की भविष्यवाणी नहीं कर सकता, केवल माध्य (mean) की ही भविष्यवाणी कर सकता है।
इष्टतम नियंत्रण के लिए अपर्याप्तता (Inadequacy for Optimal Control): मजबूत नियंत्रण संचालन डिजाइन करने के लिए फिडेलिटी वितरण (पूंछ और विचरण सहित) के पूर्ण ज्ञान की आवश्यकता होती है, न कि केवल औसत प्रदर्शन की।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक सामान्य शोर प्रोफाइल के तहत क्यूबिट विकास को मॉडल करने के लिए स्टोकेस्टिक श्रोडिंगर इक्वेशन (SSE) पर आधारित एक ढांचे का प्रस्ताव करते हैं, जिसमें विशेष रूप से कलर्ड नॉइज़ के एक यथार्थवादी मॉडल के रूप में ऑर्नस्टीन-उलेनबेक (Ornstein-Uhlenbeck - OU) प्रक्रियाओं पर ध्यान केंद्रित किया गया है।

A. गणितीय सूत्रीकरण (Mathematical Formulation)

SSE की परिभाषा: वे एक शोर ऑपरेटर $S$ और एक शोर स्रोत $X_t$ (एक इटो प्रक्रिया जिसका परिमित द्विघात विचरण/finite quadratic variation है) के तहत अवस्था के विकास को इस प्रकार मॉडल करते हैं:
$d\psi = -iH\psi dt - \frac{1}{2}S^2 d[X]_t - iS\psi dX_t$
जहाँ $H$ हैमिल्टोनियन है और $[X]_t$ द्विघात विचरण है।
शोर वर्ग (Noise Classes): वे शोर ऑपरेटरों को तीन वर्गों में वर्गीकृत करते हैं:
1. पॉली नॉइज़ (Pauli Noise): $[H, S]=0, S^2=I$ (जैसे तीव्रता शोर)।
2. प्रोजेक्शन नॉइज़ (Projection Noise): $[H, S]=0, S^2=S$ (जैसे आवृत्ति/डिट्यूनिंग शोर)।
3. गैर-कम्यूटिंग (Non-commuting): $[H, S] \neq 0$ (जैसे एक साथ डिट्यूनिंग और राबी फ्रीक्वेंसी शोर)।
शोर के प्रकार (Noise Types):
- व्हाइट नॉइज़ (White Noise - WN): $X_t = \gamma W_t$ (मानक ब्राउनियन मोशन)।
- ऑर्नस्टीन-उलेनबेक (Ornstein-Uhlenbeck - OU): $dX_t = -kX_t dt + \gamma dW_t$ (डैम्प्ड शोर, जो नियंत्रण प्रणालियों के लिए यथार्थवादी है)।

B. विश्लेषणात्मक समाधान रणनीति (Analytical Solution Strategy)

महंगे मोंटे कार्लो सिमुलेशन या उच्च-क्रम क्षणों को ट्रंकेट करने वाले अनुमानों (जो फिडेलिटी $>1$ जैसे गैर-भौतिक परिणाम दे सकते हैं) पर निर्भर रहने के बजाय, लेखक फिडेलिटी $F = |\langle \phi | \psi \rangle|^2$ के पूर्ण वितरण के लिए सटीक साधारण अवकल समीकरण (ODE) प्रणालियों को व्युत्पन्न करते हैं।

वेक्टर निर्माण (Vector Construction): वे एक वेक्टर $V \in \mathbb{R}^m$ (जहाँ पॉली/प्रोजेक्शन शोर के लिए $m=3$ और गैर-कम्यूटिंग के लिए $m=10$ है) को परिभाषित करते हैं जिसमें फिडेलिटी और शोर ऑपरेटर से संबंधित सहायक पद शामिल होते हैं।
विकेंद्रीकरण (Diagonalization): पॉली और प्रोजेक्शन शोर के लिए, $V$ के लिए परिणामी स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन (SDEs) रैखिक है और इसे विकेंद्रीकृत (diagonalize) किया जा सकता है:
$dZ = \left(-\frac{1}{2}\gamma^2 \Lambda^\dagger \Lambda dt + \Lambda dX_t\right)(Z - c)$
यह $V$ के वितरण के लिए एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक समाधान की अनुमति देता है, जिससे अपेक्षित मान $E[F]$ और विचरण $Var(F)$ प्राप्त होता है।
गैर-कम्यूटिंग मामले के लिए सन्निकटन (Approximation for Non-Commuting Case): गैर-कम्यूटिंग मामले में, गैर-कम्यूटिंग मैट्रिसेस के कारण सटीक विकेंद्रीकरण असंभव है। लेखक स्टोकेस्टिक मैग्नस एक्सपेंशन (stochastic Magnus expansion) का उपयोग करते हैं, जो इस धारणा के तहत काम करता है कि हैमिल्टोनियन शोर पर हावी है ( $\gamma^2/\alpha \ll 1$ ), ताकि एक अनुमानित विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त किया जा सके।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

पूर्ण वितरण व्युत्पत्ति (Full Distribution Derivation): यह शोध पत्र कलर्ड नॉइज़ (OU प्रक्रिया) के तहत क्यूबिट फिडेलिटी के लिए पूर्ण संभाव्यता वितरण के पहले सटीक विश्लेषणात्मक व्यंजक प्रदान करता है, जो सरल औसत मानों से आगे जाता है।
कलर्ड नॉइज़ मॉडलिंग (Colored Noise Modeling): यह परिमित द्विघात विचरण वाले इटो (Itô) प्रक्रियाओं के लिए SSE विधियों को विस्तारित करता है, विशेष रूप से OU शोर के लिए समाधान करता है, जो वास्तविक नियंत्रण प्रणालियों के डैम्पिंग और मेमोरी प्रभावों को कैप्चर करता है।
गणना दक्षता (Computational Efficiency): प्रस्तावित ODE-आधारित विधि मोंटे कार्लो सिमुलेशन की तुलना में काफी तेज़ है। लेखक प्रदर्शित करते हैं कि अपने विश्लेषणात्मक समाधान के कर्नेल डेंसिटी एस्टीमेशन के माध्यम से वितरण की गणना करने में सेकंडों लगते हैं, जबकि तुलनीय सटीकता के लिए SSE के मोंटे कार्लो सिमुलेशन में मिनटों का समय लगता है।
बहु-क्यूबिट विस्तार (Multi-Qubit Extension): इस विधि को बहु-क्यूबिट सिस्टम के लिए सामान्यीकृत किया गया है, जो दिखाता है कि ग्लोबल नॉइज़ के तहत प्रोडक्ट स्टेट्स के लिए, फिडेलिटी वितरण एकल-क्यूबिट वितरणों के गुणनफल में विभाजित हो जाता है।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

व्हाइट बनाम कलर्ड नॉइज़ एसिम्प्टोटिक्स (White vs. Colored Noise Asymptotics):
- व्हाइट नॉइज़ के तहत, अपेक्षित फिडेलिटी एक निचले एसिम्प्टोटिक सीमा तक गिर जाती है।
- ऑर्नस्टीन-उलेनबेक (कलर्ड) नॉइज़ के तहत, अपेक्षित फिडेलिटी एक उच्च एसिम्प्टोटिक सीमा पर अभिसरित होती है और इसमें कम विचरण होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि OU शोर स्वाभाविक रूप से डैम्प्ड (मीन-रिवर्टिंग) है, जो व्हाइट नॉइज़ में देखे गए अनबाउंडेड ड्रिफ्ट को रोकता है।
विचरण व्यवहार (Variance Behavior): व्हाइट नॉइज़ के तहत फिडेलिटी का विचरण समय के साथ अनिश्चित रूप से बढ़ता है, जबकि OU शोर के तहत यह स्थिर हो जाता है। इसका तात्पर्य है कि OU शोर के साथ मॉडल किए गए नियंत्रण सिस्टम दीर्घकालिक रूप से अधिक मजबूत होते हैं।
गैर-कम्यूटिंग गतिकी (Non-Commuting Dynamics): गैर-कम्यूटिंग मामले में, हैमिल्टोनियन रोटेशन और शोर संवेदनशीलता के बीच परस्पर क्रिया के कारण फिडेलिटी दोलन व्यवहार (oscillatory behavior) प्रदर्शित करती है। अवस्था शोर के प्रति संवेदनशील और प्रतिरोधी होने के बीच चक्रित होती रहती है।
बहु-क्यूबिट एंटैंगलमेंट (Multi-Qubit Entanglement):
- ग्लोबल नॉइज़ ( $S = X \otimes I + I \otimes X$ ) के साथ दो-क्यूबिट सिस्टम के लिए, एसिम्प्टोटिक फिडेलिटी प्रारंभिक अवस्था और शोर सहसंबंध समय ( $k$ ) पर निर्भर करती है।
- बड़े $k$ (तेज शोर) के लिए, प्रोडक्ट स्टेट्स ( $|00\rangle$ ) बेहतर प्रदर्शन करते हैं।
- छोटे $k$ (धीमे शोर) के लिए, एंटैंगल्ड GHZ स्टेट्स फिडेलिटी गणना में क्रॉस-टर्म्स के रचनात्मक हस्तक्षेप के कारण बेहतर प्रदर्शन करते हैं।
वैधीकरण (Validation): विश्लेषणात्मक परिणामों को दूसरे क्रम के प्लैटन स्कीम (second-order Platen scheme) का उपयोग करके मोंटे कार्लो सिमुलेशन के विरुद्ध कड़ाई से सत्यापित किया गया, जो माध्य और विचरण दोनों के लिए पूर्ण सहमति दिखाता है।

5. महत्व और भविष्य की दृष्टि (Significance and Future Outlook)

नियंत्रण प्रणालियों का बेंचमार्किंग (Benchmarking Control Systems): यह विधि खरीद से पहले नियंत्रण हार्डवेयर (लेजर, रेज़ोनेटर) के लिए आवश्यक सटीक शोर सहनशीलता का अनुमान लगाने के लिए एक उपकरण प्रदान करती है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि क्यूबिट फिडेलिटी विशिष्ट मानदंडों को पूरा करती है।
इष्टतम नियंत्रण (Optimal Control): औसत शोर के विरुद्ध नहीं, बल्कि सबसे खराब स्थिति के उतार-चढ़ाव के विरुद्ध भी मजबूत होने वाले नियंत्रण पल्स डिजाइन करने के लिए, पूर्ण वितरण (विचरण सहित) प्रदान करके, यह विधि सक्षम बनाती है।
लिंडब्लाड से परे (Beyond Lindblad): यह कार्य प्रदर्शित करता है कि वास्तविक कलर्ड कंट्रोल नॉइज़ के तहत सिस्टम को चित्रित करने के लिए लिंडब्लाड समीकरण अपर्याप्त है, जिसके लिए सटीक दीर्घकालिक भविष्यवाणियों के लिए स्टोकेस्टिक श्रोडिंगर दृष्टिकोण की आवश्यकता है।

भविय कार्य: लेखक इन विधियों को मनमाने पावर स्पेक्ट्रल डेंसिटी (PSD) के लिए विस्तारित करने, मनमाने एंटैंगलमेंट के साथ $N$ -क्यूबिट सिस्टम को सामान्य बनाने, और ओपन क्वांटम सिस्टम में शोर न्यूनीकरण के लिए इष्टतम नियंत्रण रणनीतियों को विकसित करने के लिए इन तकनीकों को लागू करने की योजना बना रहे हैं।