💰 quantitative finance

Using Machine Learning to Forecast Market Direction with Efficient Frontier Coefficients

यह शोध पत्र एक नवीन पोर्टफोलियो अनुकूलन ढांचे का प्रस्ताव करता है जो बाजार की दिशा का पूर्वानुमान लगाने के लिए एफिशिएंट फ्रंटियर फंक्शनल कोएफिशिएंट्स पर एक ऑनलाइन डिसीजन ट्री को प्रशिक्षित करके एसेट रिटर्न अनुमान को बढ़ाता है, जिसे फिर बेसलाइन रणनीतियों और पारंपरिक फीचर सेट्स से बेहतर प्रदर्शन करने के लिए कैपिटल एसेट प्राइसिंग मॉडल और इनवर्स मिल्स रेशियो के साथ एकीकृत किया जाता है।

मूल लेखक: Nolan Alexander, William Scherer

प्रकाशित 2026-04-07

📖 5 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: Nolan Alexander, William Scherer

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक जहाज के कप्तान हैं जो एक विशाल, तूफानी महासागर को पार करने की कोशिश कर रहे हैं। आपका लक्ष्य (अधिकतम लाभ) तक जितनी जल्दी हो सके पहुँचना है, जबकि सबसे बड़े तूफानों (जोखिम) से बचना है।

दशकों से, नाविकों (निवेशकों) ने एक विशिष्ट मानचित्र का उपयोग किया है जिसे मॉडर्न पोर्टफोलियो थ्योरी (Modern Portfolio Theory) कहा जाता है। यह मानचित्र आपको "एफिशिएंट फ्रंटियर" (Efficient Frontier) दिखाता है—एक ऐसी रेखा जो किसी भी दिए गए तूफान की तीव्रता के लिए आपकी सर्वोत्तम संभव गति को दर्शाती है। हालाँकि, इसमें एक बड़ी समस्या है: यह मानचित्र इस आधार पर बनाया गया है कि महासागर पहले कैसा व्यवहार करता था। यह मानता है कि मौसम के पैटर्न स्थिर हैं। लेकिन वास्तव में, महासागर हर दिन बदलता है। कभी यह शांत होता है; कभी यह एक तूफान होता है। केवल पुराने मानचित्र पर भरोसा करना अक्सर आपको भीगने या रास्ता भटकने की ओर ले जाता है।

यह शोध पत्र एक नए तरीके से नेविगेट करने का प्रस्ताव देता है: एक पुराने, स्मार्ट मानचित्र को एक आधुनिक मौसम पूर्वानुमान के साथ जोड़ना।

यहाँ उनके नए तरीके का विवरण दिया गया है, सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करते हुए:

1. नया "मौसम मानचित्र": एफिशिएंट फ्रंटियर कोएफिशिएंट्स (Efficient Frontier Coefficients)

व्यक्तिगत स्टॉक की कीमतों को देखने के बजाय (जैसे व्यक्तिगत लहरों को देखना), लेखक पूरे महासागर के "एफिशिएंट फ्रंटियर" के आकार को देखते हैं। उन्होंने महसूस किया कि इस जटिल आकार को केवल तीन संख्याओं (कोएफिशिएंट्स) में बदला जा सकता है:

सबसे निचला बिंदु ( $r_{min}$ ): महासागर का सबसे शांत, सुरक्षित स्थान।
ढलान ( $\sigma_{min}$ ): सबसे शांत स्थान कितना जोखिम भरा है।
वक्रता ( $u$ ): महासागर कितना "मुड़ता" है। यदि वक्र चौड़ा और सौम्य है, तो इसका मतलब है कि सुरक्षा के कई अलग-अलग रास्ते उपलब्ध हैं (अच्छा विविधीकरण)। यदि यह संकीकर है, तो महासागर कठिन है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि एफिशिएंट फ्रंटियर एक पर्वत श्रृंखला है।

$r_{min}$ घाटी के फर्श की ऊँचाई है।
$\sigma_{min}$ घाटी की दीवारों की ढलान है।
$u$ घाटी का आकार है। एक चौड़ी, U-आकार की घाटी का अर्थ है कि आप आसानी से घूम सकते हैं। एक संकरी, V-आकार की घाटी का अर्थ है कि आप एक तंग जगह में फंस गए हैं।

लेखकों का मानना है कि ये तीन संख्याएँ पूरे बाजार के "मिजाज" की कहानी बताती हैं।

2. "मौसम भविष्यवक्ता": डिसीजन ट्री (The Decision Tree)

एक बार जब उनके पास किसी दिए गए महीने के लिए ये तीन संख्याएँ आ जाती हैं, तो वे उन्हें डिसीजन ट्री (Decision Tree - CART) नामक एक सरल कंप्यूटर मस्तिष्क में फीड करते हैं।

उपमा: इसे "चूज़ योर ओन एडवेंचर" (Choose Your Own Adventure) पुस्तक या एक फ्लोचार्ट की तरह समझें।

प्रश्न 1: क्या "वक्रता" (Curve) संख्या अधिक है?
- हाँ: बाएँ जाएँ।
- नहीं: दाएँ जाएँ।
प्रश्न 2: क्या "सबसे निचला बिंदु" (Lowest Point) बढ़ रहा है?
- हाँ: भविष्यवाणी करें कि बाजार अगले महीने ऊपर (UP) जाएगा।
- नहीं: भविष्यवाणी करें कि बाजार अगले महीने नीचे (DOWN) जाएगा।

जटिल AI मॉडल के विपरीत जो "ब्लैक बॉक्स" होते हैं (आप नहीं देख सकते कि वे कैसे सोचते हैं), यह ट्री पारदर्शी है। आप भविष्यवाणी करने के कारण को देखने के लिए सीधे तौर पर इसके पथ का अनुसरण कर सकते हैं।

3. "अनुवादक": पूर्वानुमान को एक योजना में बदलना

ट्री एक सरल उत्तर देता है: "ऊपर" या "नीचे"। लेकिन आप इस जानकारी का उपयोग विशिष्ट स्टॉक चुनने के लिए कैसे कर सकते हैं?

लेखक एक गणितीय अनुवादक (जिसमें इनवर्स मिल्स रेशियो (Inverse Mills Ratio) और CAPM शामिल है) का उपयोग करते हैं ताकि उस सरल "ऊपर/नीचे" के अनुमान को उनके पोर्टफोलियो के प्रत्येक संपत्ति के लिए विशिष्ट अपेक्षाओं में बदला जा सके।

उपमा: कल्पना कीजिए कि डिसीजन ट्री एक मौसम विज्ञानी (Weatherman) है जो कहता है, "कल बारिश होने वाली है।"

आप सिर्फ वहाँ भीगने के लिए खड़े नहीं रहते।
आप उस पूर्वानुमान का उपयोग यह तय करने के लिए करते हैं: "यदि बारिश होती है, तो मुझे एक छाते की आवश्यकता है (रक्षात्मक स्टॉक खरीदें) और मुझे नौकायन नहीं करना चाहिए (जोखिम भरे स्टॉक बेचें)।"
गणित गणना करता है कि कितनी बारिश आने वाली है और आपके उपकरणों (पोर्टफोलियो वेट्स) को तदनुसार समायोजित करता है।

4. परिणाम: एक बेहतर यात्रा

लेखकों ने 1999 से 2022 तक अमेरिकी बाजार के 9 विभिन्न क्षेत्रों (जैसे टेक्नोलॉजी, हेल्थ केयर, एनर्जी) पर इस पद्धति का परीक्षण किया।

प्रतिस्पर्धी: उन्होंने अपनी पद्धति की तुलना तीन चीजों से की:
1. एक मानक "सर्वश्रेष्ठ अनुमान" वाला पोर्टफोलियो (टैन्जेन्सी पोर्टफोलियो)।
2. एक "सोचो मत, बस सब कुछ खरीद लो" वाला पोर्टफोलियो (इक्वल वेट)।
3. S&P 500 (औसत बाजार)।
विजेता: उनकी नई पद्धति, जो "तीन संख्याओं" + "डिसीजन ट्री" का उपयोग करती है, इन तीनों से बेहतर रही। इसने कम जोखिम के साथ अधिक पैसा बनाया (एक उच्च शार्प रेशियो (Sharpe Ratio))।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

अधिकांश वित्तीय मॉडल या तो बहुत सरल होते हैं (भविष्य को अनदेखा करते हैं) या बहुत जटिल (इतने जटिल कि कोई उन पर भरोसा नहीं कर पाता)।

यह शोध पत्र सुझाव देता है कि बाजार की एक छिपी हुई, सरल संरचना है। बाजार के जोखिम/इनाम वक्र के आकार (इन तीन कोएफिशिएंट्स) को देखकर और उनके बारे में सरल "हाँ/नहीं" प्रश्न पूछकर, आप जटिल तकनीकी संकेतकों या अनुमान लगाने की तुलना में भविष्य की दिशा को बेहतर ढंग से समझ सकते हैं।

संक्षेप में: उन्होंने पाया कि बाजार के मिजाज के "आकार" को पढ़ने, यह भविष्यवाणी करने के लिए कि मिजाज खुश या उदास होगा, एक सरल फ्लोचार्ट का उपयोग करने और फिर आने वाले मौसम में सुरक्षित रूप से चलने के लिए अपने निवेश जहाज को स्वचालित रूप से समायोजित करने का एक तरीका है।

यहाँ नोलन अलेक्जेंडर और विलियम शेरेर के शोध पत्र "Using Machine Learning to Forecast Market Direction with Efficient Frontier Coefficients" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र मॉडर्न पोर्टफोलियो थ्योरी (MPT) की एक मौलिक सीमा को संबोधित करता है: स्थिरता (Stationarity) की धारणा। पारंपरिक मीन-वेरिएंस ऑप्टिमाइज़ेशन (mean-variance optimization) भविष्य के अपेक्षित रिटर्न और कोवेरिएंस मैट्रिक्स का अनुमान लगाने के लिए ऐतिहासिक डेटा पर निर्भर करता है। हालाँकि, वित्तीय बाजार गैर-स्थिर (non-stationary) होते हैं; भविष्य के पैरामीटर शायद ही कभी ऐतिहासिक डेटा से मेल खाते हैं, जिससे महत्वपूर्ण अनुमान त्रुटियां (estimation errors) और उप-इष्टतम पोर्टफोलियो प्रदर्शन होता है।

जबकि ब्लैक-लिटरलमैन मॉडल (Black-Litterman model) जैसे मौजूदा समाधान निवेशक दृष्टिकोणों (investor views) को शामिल करके इसे शिथिल करने का प्रयास करते हैं, वे अक्सर जटिल होते हैं, उन्हें कठिन-से-मापने योग्य इनपुट (जैसे विश्वास स्तर) की आवश्यकता होती है, और वे रिटर्न वेक्टर में अनुमान त्रुटियों के प्रति संवेदनशील बने रहते हैं। इसके अलावा, हालांकि मशीन लर्निंग (ML) का उपयोग तकनीकी संकेतकों (technical indicators) का उपयोग करके बाजार की दिशा का पूर्वानुमान लगाने के लिए किया गया है, लेकिन इन दृष्टिकोणों में अक्सर व्याख्यात्मकता (interpretability) की कमी होती है और वे रिटर्न वेक्टर के अनुमान को सुधारने के लिए पोर्टफोलियो अनुकूलन ढांचे में सीधे एकीकृत नहीं होते हैं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक नवीन ढांचा प्रस्तावित करते हैं जो बाजार की दिशा के पूर्वानुमान के लिए मशीन लर्निंग (ML) को पोर्टफोलियो ऑप्टिमाइज़ेशन के साथ एकीकृत करता है। यह कार्यप्रणाली तीन मुख्य चरणों से मिलकर बनी है:

A. फीचर इंजीनियरिंग: एफिशिएंट फ्रंटियर कोएफिशिएंट्स (Efficient Frontier Coefficients)

तकनीकी संकेतकों या मौलिक कारकों (fundamental factors) के बजाय, लेखक एफिशिएंट फ्रंटियर के गणितीय अपघटन (mathematical decomposition) पर आधारित एक नवीन फीचर सेट तैयार करते हैं।

सैद्धांतिक आधार: मर्टन (1972) ने दिखाया कि एफिशिएंट फ्रंटियर को स्क्वायर-रूट सेकंड-ऑर्डर बहुपद (square-root second-order polynomial) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अलेक्जेंडर और शेरेर (2023) ने इसे तीन व्याख्या योग्य गुणांकों (coefficients) में पुनर्गठित किया:
1. $r_{mvp}$ : मिनिमम वेरिएंस पोर्टफोलियो (MVP) का रिटर्न।
2. $\sigma_{mvp}$ : MVP का मानक विचलन (standard deviation)।
3. $u$ : फ्रंटियर की वक्रता की दर (curvature rate) (विविधीकरण की उपयोगिता से संबंधित)।
व्याख्या:
- $r_{mvp}$ और $\sigma_{mvp}$ बाजार के आधारभूत जोखिम और रिटर्न का प्रतिनिधित्व करते हैं।
- $u$ को रिटर्न वेक्टर के महालनोबिस डिस्टेंस (Mahalanobis distance) और कोसाइन सिमिलरिटी स्प्रेड से प्राप्त किया जाता है। यह विविधीकरण के "मूल्य" को मापता है; उच्च $u$ का अर्थ है कि परिसंपत्तियों के रिटर्न भिन्न हैं, जिससे बाजार जोखिम लेने वाले निवेशकों के लिए अधिक अनुकूल हो जाता है।

B. पूर्वानुमान मॉडल: ऑनलाइन CART

एल्गोरिदम: अगले महीने के लिए बाजार की दिशा (ऊपर/नीचे) का पूर्वानुमान लगाने के लिए एक क्लासिफिकेशन एंड रिग्रेशन ट्री (CART) का उपयोग किया जाता है।
इनपुट: तीन एफिशिएंट फ्रंटियर गुणांकों ( $r_{mvp}, \sigma_{mvp}, u$ ) के लैग्ड मंथली मान।
प्रशिक्षण रणनीति (Training Strategy):
- ऑनलाइन लर्निंग: लुक-अहेड बायस (look-ahead bias) को रोकने के लिए मॉडल को 5-फोल्ड टाइम-सीरीज स्प्लिट का उपयोग करके मासिक रूप से पुन: प्रशिक्षित किया जाता है।
- हाइपरपैरामीटर्स: ओवरफिटिंग (वित्त में एक सामान्य समस्या) को रोकने के लिए, ट्री की गहराई को सख्ती से 1 या 2 तक सीमित किया गया है।
- सैंपल वेट्स: रिटर्न को बाइनराइज़ करने से होने वाले सूचना नुकसान को कम करने के लिए, रिटर्न के पूर्ण मान (absolute value) के आधार पर सैंपल वेट असाइन किए जाते हैं।
आउटपुट: एक बाइनरी पूर्वानुमान ( $\hat{p}_{up}$ ) जो बाजार के ऊपर जाने की संभावना को दर्शाता है।

C. पोर्टफोलियो ऑप्टिमाइज़ेशन में एकीकरण

दिशात्मक पूर्वानुमान का उपयोग अलग से नहीं किया जाता है, बल्कि इसे टैंजेंसी पोर्टफोलियो (tangency portfolio) की गणना के लिए अपेक्षित रिटर्न वेक्टर ( $\mathbf{r}$ ) को परिष्कृत करने के लिए एकीकृत किया जाता है।

कंडीशनल एक्सपेक्टेशन: अपेक्षित बाजार रिटर्न की गणना इनवर्स मिल्स रेशियो (Inverse Mills Ratio) का उपयोग करके पूर्वानुमान के आधार पर सशर्त (conditional) रूप से की जाती है। यह माध्य (mean) और भिन्नता (variance) को बाजार के सकारात्मक या नकारात्मक होने की संभावना के आधार पर समायोजित करता है।
CAPM अनुवाद: कैपिटल एसेट प्राइसिंग मॉडल (CAPM) का उपयोग करते हुए, सशर्त बाजार रिटर्न को व्यक्तिगत परिसंपत्ति अपेक्षित रिटर्न में अनुवादित किया जाता है:
$E[r_i | \text{forecast}] = \beta_i (E[r_m | \text{forecast}] - r_f) + r_f$
फिट द्वारा वेटिंग: चूंकि CAPM हमेशा पूरी तरह से लागू नहीं होता है, इसलिए प्रत्येक परिसंपत्ति के लिए अंतिम रिटर्न अनुमान, CAPM-आधारित सशर्त अपेक्षा और अनकंडीशनल अपेक्षा का एक भारित औसत (weighted average) है, जिसे परिसंपत्ति के CAPM रिग्रेशन के $R^2$ द्वारा भारित किया गया है।
ऑप्टिमाइज़ेशन: परिष्कृत रिटर्न वेक्टर को टैंजेंसी पोर्टफोलियो (शार्प रेशियो को अधिकतम करने वाला पोर्टफोलियो) की गणना के लिए मानक मीन-वेरिएंस ऑप्टिमाइज़ेशन में फीड किया जाता है।
बाधाएं (Constraints): सिमुलेशन में यथार्थवादी बाधाएं शामिल हैं: 1.5x का अधिकतम ग्रॉस लीवरेज और रीबैलेंसिंग लागतों को ध्यान में रखते हुए 1% ट्रांजेक्शन फीस।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

नवीन फीचर सेट: मशीन लर्निंग के लिए भविष्यवक्ता (predictors) के रूप में एफिशिएंट फ्रंटियर कोएफिशिएंट्स ( $r_{mvp}, \sigma_{mvp}, u$ ) का परिचय। यह पोर्टफोलियो थ्योरी और आधुनिक ML के बीच के अंतर को पाटता है, जिससे ऐसे फीचर्स मिलते हैं जो सैद्धांतिक रूप से आधारित और व्याख्या योग्य हैं।
व्याख्या योग्य ML ढांचा: एक उथले (shallow) CART मॉडल का उपयोग पोस्ट-हॉक विश्लेषण की अनुमति देता है। "ब्लैक बॉक्स" मॉडल (जैसे डीप न्यूरल नेटवर्क) के विपरीत, निर्णय वृक्ष (decision tree) स्पष्ट रूप से दिखाता है कि गुणांक बाजार की दिशा की भविष्यवाणियों को कैसे संचालित करते हैं।
सशर्त रिटर्न अनुमान: इनवर्स मिल्स रेशियो और CAPM का उपयोग करके दिशात्मक पूर्वानुमानों को पोर्टफोलियो ऑप्टिमाइज़ेशन में एकीकृत करने का एक मजबूत तरीका, जो वर्तमान बाजार शासन (market regime) के पूर्वानुमानों के आधार पर रिटर्न वेक्टर को अपडेट करके MPT की स्थिरता धारणा को प्रभावी ढंग से शिथिल करता है।

4. अनुभवजन्य परिणाम (Empirical Results)

मॉडल का परीक्षण 1999 से 2022 तक 9 S&P सेक्टर ETFs पर किया गया था, जिसमें 2008 से 2022 तक आउट-ऑफ-सैंपल टेस्टिंग की गई।

पूर्वानुमान प्रदर्शन: एफिशिएंट फ्रंटियर गुणांकों का उपयोग करने वाला CART मॉडल सटीकता (Accuracy), प्रिसिजन (Precision), रिकॉल (Recall) और विशेष रूप से नेगेटिव प्रेडिक्टिव वैल्यू (NPV) सहित मेट्रिक्स में टेक्निकल इंडिकेटर्स (RSI, मोमेंटम, आदि) और फामा-फ्रेंच 3-फैक्टर्स का उपयोग करने वाले बेसलाइन मॉडलों से बेहतर प्रदर्शन करता है। बेसलाइन मॉडल बाजार की गिरावट की भविष्यवाणी करने में संयोग से भी खराब प्रदर्शन करते थे (NPV < 0.5), जबकि प्रस्तावित मॉडल ने 65% NPV हासिल किया।
पोर्टफोलियो प्रदर्शन:
- शार्प रेशियो: प्रस्तावित मॉडल ने तीन बेंचमार्क: मानक टैंजेंसी पोर्टफोलियो, इक्क्वल-वेटेड पोर्टफोलियो और S&P 500 की तुलना में काफी अधिक शार्प रेशियो प्राप्त किया।
- अल्फा: मॉडल ने सभी बेंचमार्क के सापेक्ष सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण सकारात्मक अल्फा उत्पन्न किया।
- ड्रॉडडाउन (Drawdown): रणनीति ने अधिकतम ड्रॉडाउन के सापेक्ष उच्च वार्षिक रिटर्न प्रदर्शित किया, जो बेहतर जोखिम-समायोजित प्रदर्शन का संकेत देता है।

5. महत्व और निष्कर्ष (Significance and Conclusion)

यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि एफिशिएंट फ्रंटियर की संरचना में भविष्य की बाजार दिशा के बारे में भविष्यसूचक जानकारी होती है। एफिशिएंट फ्रंटियर को व्याख्या योग्य गुणांकों में विघटित करके और उन्हें एक सरल, प्रतिबंधित निर्णय वृक्ष (decision tree) में फीड करके, लेखकों ने एक ऐसी प्रणाली बनाई है जो:

MPT धारणाओं को शिथिल करती है: यह स्थिर ऐतिहासिक औसत पर निर्भर रहने के बजाय बाजार शासन (market regime) के आधार पर रिटर्न अनुमानों को गतिशील रूप से अपडेट करती है।
व्याख्यात्मकता को बढ़ाती है: यह पोर्टफोलियो थ्योरी, मशीन लर्निंग और निवेश निर्णयों के बीच एक पारदर्शी संबंध प्रदान करती है।
जटिल मॉडलों से बेहतर प्रदर्शन करती है: यह सैकड़ों तकनीकी फीचर्स या जटिल डीप लर्निंग आर्किटेक्चर का उपयोग करने वाले मॉडलों की तुलना में बेहतर परिणाम प्राप्त करती है, जो यह सुझाव देता है कि बाजार की दिशा में "सिग्नल" पहले से सोचा गया है कि संरचनात्मक (structural) हो सकता है।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि बाजार के दिशात्मक रिटर्न एफिशिएंट फ्रंटियर गुणांकों द्वारा परिभाषित एक "ट्री स्ट्रक्चर" का पालन करते हैं, जो परिसंपत्ति आवंटन के लिए एक नया, मजबूत दृष्टिकोण प्रदान करता है जो सैद्धांतिक रूप से सुदृढ़ और अनुभवजन्य रूप से प्रभावी है।