Kinetic theory of dilute granular gases having an inverse power law potential

एक निर्वात में तैरती हुई छोटी, उछलती हुई गेंदों के बादल की कल्पना करें। आदर्श भौतिकी की दुनिया में, ये गेंदें पूरी तरह से प्रत्यास्थ (elastic) हैं; जब वे आपस में टकराती हैं, तो वे उसी गति से वापस उछलती हैं जिससे वे आई थीं, जिससे उनकी सारी ऊर्जा हमेशा के लिए संरक्षित रहती है। यह वैसा ही है जैसा कि अधिकांश गैसों के साथ हमारे दैनिक अनुभव में होता है, जैसे टायर में हवा या कॉफी से उठती भाप। हालाँकि, एक अलग प्रकार की गैस होती है जो ऐसी सामग्रियों से बनी होती है जो इतनी उछलने वाली नहीं होतीं। रेत, अनाज, या यहाँ तक कि औद्योगिक छंटाई मशीनों में उपयोग किए जाने वाले प्लास्टिक के मोतियों के बारे में सोचें। जब ये कण आपस में टकराते हैं, तो वे पूरी ताकत के साथ वापस नहीं उछलते; वे हर टकराव के साथ गर्मी या ध्वनि के रूप में थोड़ी ऊर्जा खो देते हैं। ऊर्जा का यह नुकसान पूरे बादल को समय के साथ धीमा और ठंडा कर देता है, जिसे वैज्ञानिक "ग्रैनुलर गैस" (granular gas) कहते हैं। इन ठंडे होते बादलों के व्यवहार को समझना उन उद्योगों के लिए महत्वपूर्ण है जो पाउडर को संभालते हैं और उन वैज्ञानिकों के लिए भी जो ग्रहों के छल्लों से लेकर रेत के टीलों के प्रवाह तक को मॉडल करने की कोशिश कर रहे हैं।

दशकों से, शोधकर्ताओं ने इन प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए सरलीकृत मॉडलों का उपयोग किया है। एक सामान्य दृष्टिकोण कणों को कठोर, सख्त गोलों के रूप में मानता है जो बिलियर्ड बॉल्स की तरह आपस में टकराते हैं, लेकिन गति में थोड़े नुकसान के साथ। दूसरा दृष्टिकोण "मैक्सवेल मॉलिक्यूल्स" (Maxwell molecules) का उपयोग करता है, जो एक सैद्धांतिक निर्माण है जहाँ कण इस तरह से परस्पर क्रिया करते हैं कि गणित बहुत आसान हो जाता है, हालाँकि यह वास्तविक दुनिया की सामग्रियों से पूरी तरह मेल नहीं खाता। जबकि इन मॉडलों ने हमें बहुत कुछ सिखाया है, वे एक कमी छोड़ देते हैं। वास्तविक कण अक्सर ऐसे बलों के माध्यम से परस्पर क्रिया करते हैं जो एक-दूसरे से दूर जाने पर कमजोर होते जाते हैं, जो एक विशिष्ट गणितीय नियम का पालन करते हैं जिसे "इनवर्स पावर लॉ" (inverse power law) कहा जाता है। यह नियम बताता है कि दो कणों के बीच प्रतिकर्षण बल दूरी के साथ कैसे बदलता है, और इस परस्पर क्रिया की "कोमलता" (softness) सामग्री के आधार पर भिन्न होती है। कुछ सामग्रियाँ लगभग कठोर गोलों की तरह कार्य करती हैं, जबकि अन्य बहुत अधिक "कोमल" होती हैं, जो वापस उछलने से पहले थोड़ा विकृत हो जाती हैं। अब तक, इन विभिन्न व्यवहारों को सहजता से जोड़ने और यह भविष्यवाणी करने के लिए कि एक ग्रैनुलर गैस का तापमान और गति इस कोमलता के आधार पर कैसे बदलेगी, कोई एकीकृत सिद्धांत नहीं था।

हाल ही में, टोक्यो यूनिवर्सिटी ऑफ एग्रीकल्चर एंड टेक्नोलॉजी के एक शोधकर्ता ने इन इनवर्स पावर लॉ पोटेंशियल वाले विरल (dilute) ग्रैनुलर गैसों के लिए एक 'काइनेटिक थ्योरी' का निर्माण करके इस अंतर को भरने का प्रयास किया। लक्ष्य कठोर हार्ड-स्फीयर मॉडल और अमूर्त मैक्सवेल मॉलिक्यूल्स से आगे बढ़कर एक ऐसा ढांचा तैयार करना था जो परस्पर क्रिया की कोमलता के पूरे स्पेक्ट्रम को संभाल सके। शोधकर्ता ने उन मूलभूत समीकरणों को लिखने से शुरुआत की जो गैस के ठंडा होने के साथ कणों की गति के वितरण में परिवर्तन का वर्णन करते हैं। इन समीकरणों को हल करके, वे यह ट्रैक करने में सक्षम थे कि कणों के टकराने और ऊर्जा खोने के साथ गैस का तापमान कैसे गिरता है। उन्होंने पाया कि ठंडा होने की दर इस बात पर बहुत अधिक निर्भर करती है कि परस्पर क्रिया कितनी "कोमल" है। अधिकांश सामग्रियों के लिए, तापमान एक विशिष्ट पैटर्न में गिरता है जो हार्ड-स्फीयर गैसों की तुलना में तेज़ होता है। हालाँकि, एक विशिष्ट प्रकार की परस्पर क्रिया के लिए जो सैद्धांतिक मैक्सवेल मॉलिक्यूल्स की नकल करती है, तापमान पावर-लॉ पैटर्न में नहीं गिरता है; इसके बजाय, यह तेजी से (exponentially) घटता है, जिसका अर्थ है कि यह अपने वर्तमान तापमान के अनुपात में ठंडा होता है, ठीक वैसे ही जैसे एक गर्म कप कॉफी कमरे में ठंडी होती है।

केवल तापमान को ट्रैक करने के अलावा, अध्ययन ने "ट्रांसपोर्ट कोएफिशिएंट्स" (transport coefficients) की गणना की, जो वे संख्याएँ हैं जो हमें बताते हैं कि गैस ऊष्मा का संचालन कितनी अच्छी तरह करती है और उसमें प्रवाह के प्रति कितना प्रतिरोध होता है। साधारण गैसों में, ये गुण अच्छी तरह से समझे जाते हैं, लेकिन ग्रैनुलर गैसों में, टकराव के दौरान ऊर्जा का नुकसान उन्हें अलग तरह से व्यवहार करने पर मजबूर करता है। शोधकर्ता ने पूरे इंटरैक्शन सॉफ्टनेस रेंज में 'शियर विस्कोसिटी' (प्रवाह के प्रति प्रतिरोध) और 'थर्मल कंडक्टिविटी' (ऊष्मा ले जाने की क्षमता) के लिए सटीक सूत्र प्राप्त किए। परिणामों ने दिखाया कि जैसे-जैसे कणों की परस्पर क्रिया अधिक "कोमल" होती जाती है, गैस का व्यवहार बदल जाता है। उदाहरण के लिए, थर्मल कंडक्टिविटी और एक संबंधित गुणांक जो ऊष्मा प्रवाह में घनत्व परिवर्तन का वर्णन करता है, जटिल तरीकों से व्यवहार करते हैं। अध्ययन ने खुलासा किया कि बहुत कोमल परस्पर क्रियाओं के लिए, गैस की ऊष्मा स्थानांतरित करने की क्षमता अस्थिर हो सकती है, जो कुछ स्थितियों के तहत अनंत या अपसारी (diverging) हो सकती है। यह तब होता है जब टकराव के दौरान खोई गई ऊर्जा, कणों की गति द्वारा स्थानांतरित की गई ऊर्जा के साथ पूरी तरह से संतुलित हो जाती है, जिससे एक क्रिटिकल पॉइंट बनता है जहाँ प्रवाह के मानक नियम टूट जाते हैं।

शोधकर्ता ने इन ठंडी होती गैसों की स्थिरता की भी जांच की, और एक सरल लेकिन गहरा प्रश्न पूछा: यदि आप इन कणों के एक समान बादल को विक्षेपित (disturb) करते हैं, तो क्या वह विक्षोभ एक बड़े पैमाने के पैटर्न में विकसित होगा, या वह फीका पड़ जाएगा? उन्होंने दो मुख्य प्रकार के विक्षोभों को देखा: 'शियर मोड' (shear modes), जिसमें गैस अपने आप से फिसलती है, और 'हीट मोड' (heat modes), जिसमें तापमान के उतार-चढ़ाव शामिल होते हैं। विश्लेषण ने दिखाया कि कणों की "कोमलता" एक प्रति-सहज (counterintuitive) भूमिका निभाती है। शियर मोड के लिए, कठोर कण (जो कठोर गोलों की तरह कार्य करते हैं) अधिक स्थिर होते हैं, जिन्हें अस्थिरता पैदा करने के लिए एक बड़े विक्षोभ की आवश्यकता होती है। इसके विपरीत, हीट मोड के लिए, कण जितने कोमल होंगे, प्रणाली उतनी ही अधिक अस्थिर होगी। इसका अर्थ है कि बहुत कोमल कणों वाली गैस में, तापमान के सूक्ष्म उतार-चढ़ाव भी क्लंप या पैटर्न बनाने के लिए बढ़ सकते हैं, जबकि कठोर कणों वाली गैस लंबे समय तक एकसमान रहती है। अध्ययन ने उन विशिष्ट थ्रेशोल्ड की पहचान की जहाँ ये अस्थिरताएं होती हैं, यह दिखाते हुए कि बहुत अलोचदार (inelastic) टकरावों के लिए, हीट मोड लगभग किसी भी पैमाने पर अस्थिर हो सकता है, जिससे एक समान अवस्था का अराजक टूटना शुरू हो जाता है।

इस कार्य की सबसे महत्वपूर्ण खोजों में से एक यह है कि यह ज्ञात चरम सीमाओं के बीच एक निरंतर सेतु प्रदान करता है। यह हार्ड स्फेयर्स के व्यवहार को जोड़ता है, जिनका वर्षों से अध्ययन किया गया है, और मैक्सवेल मॉलिक्यूल्स के व्यवहार को, जो गणितीय रूप से सुविधाजनक लेकिन भौतिक रूप से आदर्शित हैं। अध्ययन पुष्टि करता है कि इनवर्स पावर लॉ मॉडल वास्तविक ग्रैनुलर सामग्रियों का वर्णन करने का एक मजबूत तरीका है, जो उन बारीकियों को पकड़ता है जिन्हें सरल मॉडल छोड़ देते हैं। हालाँकि, शोधकर्ता ने वर्तमान मॉडल में एक सीमा भी नोट की: यह मान लेता है कि टकराव के दौरान खोई गई ऊर्जा स्थिर रहती है, चाहे कण कितनी भी तेजी से चल रहे हों। वास्तव में, ऊर्जा का नुकसान अक्सर प्रभाव की गति पर निर्भर करता है, विशेष रूप से बहुत कम तापमान पर जहाँ कणों के पास उनके बीच के प्रतिकर्षण बल को पार करने के लिए पर्याप्त ऊर्जा भी नहीं हो सकती है। अध्ययन सुझाव देता है कि जबकि वर्तमान मॉडल तेज़ गति वाले कणों के लिए एक उत्कृष्ट सन्निकटन (approximation) है, बहुत धीमी, ठंडी सीमा का वर्णन करने के लिए एक अधिक जटिल उपचार की आवश्यकता है जहाँ कण एक-दूसरे के प्रतिकर्षण में "फँस" सकते हैं।

अंततः, यह शोध इस बात की स्पष्ट और अधिक एकीकृत तस्वीर पेश करता है कि ग्रैनुलर गैसें कैसे व्यवहार करती हैं। परस्पर क्रिया की कोमलता की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए ट्रांसपोर्ट कोएफिशिएंट्स और स्थिरता थ्रेशोल्ड को व्युत्पन्न करके, यह अध्ययन वैज्ञानिकों और इंजीनियरों को इन प्रणालियों के व्यवहार की अधिक सटीकता के साथ भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है। चाहे अनाज को ले जाने वाली मशीन का डिज़ाइन बनाना हो या अंतरिक्ष में धूल की गतिशीलता को मॉडल करना हो, यह जानना कि परस्पर क्रिया की "कोमलता" शीतलन और प्रवाह को कैसे प्रभावित करती है, आवश्यक है। यह कार्य प्रदर्शित करता है कि ग्रैनुलर गैसों का ब्रह्मांड केवल उछलती हुई गेंदों का संग्रह नहीं है, बल्कि एक जटिल तरल है जहाँ परस्पर क्रिया के सूक्ष्म नियम संपूर्ण प्रणाली के मैक्रोस्कोपिक भाग्य को निर्धारित करते हैं, यह तय करते हैं कि यह सुचारू रूप से प्रवाहेगा, इकट्ठा होकर समूह बनाएगा, या एक अनुमानित लय में ठंडा होगा।