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NPA Hierarchy for Quantum Isomorphism and Homomorphism Indistinguishability

यह शोधपत्र यह स्थापित करता है कि क्वांटम आइसोमॉर्फिज्म (quantum isomorphism) के लिए NPA पदानुक्रम (hierarchy) के प्रत्येक स्तर की व्यवहार्यता, एक विशिष्ट वर्ग के प्लेनर ग्राफों (planar graphs) से होमॉर्मोर्फिज्म गणनाओं (homomorphism counts) की समानता के तुल्य है, जिससे मैनसिंका-रॉबरसन प्रमेय का एक नया प्रमाण प्राप्त होता है और इन SDP विश्रांतिकरणों (relaxations) की सटीक व्यवहार्यता को निर्धारित करने के लिए एक रैंडमाइज्ड पॉलिनॉमियल-टाइम एल्गोरिदम सक्षम होता है।

मूल लेखक: Prem Nigam Kar, David E. Roberson, Tim Seppelt, Peter Zeman

प्रकाशित 2026-01-28

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Prem Nigam Kar, David E. Roberson, Tim Seppelt, Peter Zeman

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आपके पास दो जटिल पहेलियाँ हैं, जिन्हें हम ग्राफ A और ग्राफ B कह सकते हैं। गणित की दुनिया में, ये केवल बिंदुओं (शीर्षों/vertices) और रेखाओं (किनारों/edges) के नेटवर्क हैं। मुख्य प्रश्न यह है: क्या ये दोनों पहेलियाँ वास्तव में एक ही आकार की हैं, बस उन्हें अलग तरह से बनाया गया है?

शास्त्रीय (classical) दुनिया में, इसे जाँचने के लिए हमारे पास एक बहुत ही सख्त परीक्षण है जिसे "आइसोमोर्फिज्म" (Isomorphism) कहा जाता है। यदि आप ग्राफ A के बिंदुओं और रेखाओं को व्यवस्थित करके ग्राफ B से पूरी तरह मेल नहीं खा सकते, तो वे अलग हैं।

लेकिन क्वांटम दुनिया में (जहाँ कण उलझ (entangled) सकते हैं और एक साथ कई अवस्थाओं में रह सकते हैं), नियम बदल जाते हैं। दो पहेलियाँ शास्त्रीय दृष्टि से अलग दिख सकती हैं, लेकिन वे "क्वांटम आइसोमॉर्फिक" हो सकती हैं। इसका अर्थ यह है कि एलिस और बॉब, जिनके बीच एक गुप्त क्वांटम संबंध है, एक ऐसा खेल खेल सकते हैं जो यह सिद्ध कर दे कि पहेलियाँ समान हैं, भले ही एक शास्त्रीय कंप्यूटर कहे कि वे अलग हैं।

समस्या यह है कि "क्वांटम आइसोमोर्फिज्म" की जाँच करना अविश्वसनीय रूप से कठिन है। वास्तव में, यह पेपर कहता है कि सामान्य मामले में यह अनिश्चित (undecidable) है—अर्थात, ऐसा कोई एकल एल्गोरिदम नहीं है जो हर जोड़ी पहेली के लिए हमेशा "हाँ" या "नहीं" में उत्तर दे सके।

यह पेपर इस असंभव समस्या को प्रबंधनीय, छोटे चरणों में तोड़ने का एक तरीका पेश करता है। यहाँ सरल स्पष्टीकरण दिया गया है कि उन्होंने क्या किया:

1. सन्निकटन की "सीढ़ी" (The NPA Hierarchy)

चूँकि हम पूरे क्वांटम पहेली को एक साथ हल नहीं कर सकते, इसलिए लेखक एक सीढ़ी का उपयोग करते हैं जिसे NPA Hierarchy कहा जाता है।

इस सीढ़ी को एक श्रृंखला के रूप में सोचें जो धीरे-धीरे अधिक सख्त होते परीक्षणों की ओर बढ़ती है।
स्तर 1 (Level 1) एक बहुत ही ढीला परीक्षण है। यह कह सकता है "हाँ, वे समान दिखते हैं," भले ही वे वास्तव में क्वांटम आइसोमॉर्फिक न हों।
स्तर 2 अधिक सख्त है।
स्तर 100 और भी अधिक सख्त है।
यदि आप पर्याप्त ऊँचाई तक चढ़ते हैं (अनंत तक), तो आप अंततः सही उत्तर तक पहुँच जाते हैं।

लेखकों का मुख्य कार्य यह पता लगाना है कि बिना भारी क्वांटम गणित किए स्तर $k$ को पास करने का वास्तव में क्या अर्थ है।

2. "अतिथि सूची" परीक्षण (Homomorphism Indistinguishability)

लेखकों ने एक चतुर शॉर्टकट खोजा है। जटिल क्वांटम समीकरणों को हल करने के बजाय, आप यह जाँच सकते हैं कि क्या दो पहेलियाँ आकारों की एक विशिष्ट अतिथि सूची (guest list) के लिए समान दिखती हैं।

कल्पना कीजिए कि आप आकारों के एक विशिष्ट समूह (छोटे, सरल आकार) को पहेली A और पहेली B का दौरा करने के लिए आमंत्रित करते हैं।
आप गिनते हैं कि प्रत्येक अतिथि पहेली A में कितनी बार फिट बैठता है और पहेली B में वह कितनी बार फिट बैठता है।
यदि प्रत्येक एकल अतिथि दोनों पहेलियों में समान संख्या में फिट बैठता है, तो पहेलियाँ परीक्षण पास कर लेती हैं।

पेपर सिद्ध करता है कि:

इस क्वांटम सीढ़ी के स्तर $k$ को पास करने के लिए, आपको केवल एक विशिष्ट, सीमित अतिथि सूची की जाँच करने की आवश्यकता है।
यह अतिथि सूची प्लेनर ग्राफ (Planar Graphs) (ऐसे आकार जिन्हें बिना रेखाएँ क्रॉस किए कागज के टुकड़े पर खींचा जा सकता है) से बनी है।
विशेष रूप से, स्तर $k$ के लिए, अतिथि इन प्लेनर आकारों का एक विशेष उपसमुच्चय (subset) हैं जो बहुत अधिक "मुड़े हुए" नहीं हैं (उनका "ट्रीविड्थ/treewidth" कम है, जो यह मापने का एक तरीका है कि वे कितने पेड़ जैसे हैं)।

3. "जादुई" परिणाम: एक नया प्रमाण

यह पेपर मैनसिंका (Mančima) और रॉबर्टसन (Roberson) के एक प्रसिद्ध परिणाम को एक नए, सरल तरीके से जोड़ने के लिए बिंदुओं को जोड़ता है।

पुराना प्रमाण: इसने "क्वांटम ग्रुप्स" (Quantum Groups) नामक भारी, अमूर्त मशीनरी का उपयोग किया (इसे एक अखरोट तोड़ने के लिए हथौड़े के उपयोग के रूप में सोचें)।
नया प्रमाण: यह दिखाता है कि यदि आप पूरी NPA सीढ़ी पर चढ़ते हैं (सभी स्तरों की जाँच करते हैं), तो अतिथि सूची अंततः सभी संभावित प्लेनर ग्राफ को शामिल करने के लिए बढ़ जाती है।
इसलिए, दो ग्राफ क्वांटम आइसोमॉर्फिक हैं यदि और केवल यदि वे प्रत्येक संभावित प्लेनर आकार के लिए समान दिखते हैं।
यह पुराने परिणाम को क्वांटम ग्रुप्स के "हथौड़े" की आवश्यकता के बिना सिद्ध करता है।

4. व्यावहारिक जीत: एक तेज़ एल्गोरिदम

चूँकि लेखकों ने यह पता लगा लिया है कि स्तर $k$ को पास करना केवल विशिष्ट प्लेनर आकारों के फिट होने की गिनती करने जैसा है, इसलिए उन्होंने एक रैंडमाइज्ड एल्गोरिदम (एक कंप्यूटर प्रोग्राम जो तेज़ होने के लिए थोड़े भाग्य का उपयोग करता है) बनाया है।

पहले: यह जाँचने के लिए कि क्या कोई ग्राफ क्वांटम परीक्षण के स्तर $k$ को पास करता है, विशाल, जटिल गणितीय समस्याओं को हल करना आवश्यक था जो धीमी थीं और केवल अनुमानित उत्तर देती थीं।
अब: कंप्यूटर बस "मेहमानों" (होमोमोर्फिज्म) की गिनती करता है जो विशिष्ट प्लेनर आकारों से आते हैं।
गति: यह नई विधि तेज़ (पॉलीनोमियल समय में) है और किसी भी निश्चित स्तर $k$ के लिए सटीक "हाँ" या "नहीं" उत्तर देती है।

सारांश उपमा (Summary Analogy)

कल्पना कीजिए कि आप जानना चाहते हैं कि क्या दो गुप्त रेसिपी (व्यंजन) समान हैं।

कठिन तरीका: ब्रह्मांड में मौजूद हर संभव सामग्री के संयोजन को चखने का प्रयास करना (अनिश्चित/असंभव)।
सीढ़ी (NPA): आप पहले केवल नमक चखना शुरू करते हैं, फिर नमक और काली मिर्च, फिर नमक, काली मिर्च और चीनी। प्रत्येक चरण आपको सच्चाई के करीब ले जाता है।
पेपर की खोज: आपको सामग्रियों को सीधे चखने की आवश्यकता नहीं है। इसके बजाय, आपको बस यह देखने की आवश्यकता है कि क्या "स्वाद परीक्षकों" (प्लेनर आकारों) की एक विशिष्ट सूची दोनों रेसिपी के प्रति बिल्कुल एक जैसा व्यवहार करती है।
परिणाम: यदि आप चरण $k$ के लिए सही परीक्षकों की सूची का उपयोग करते हैं, तो आप तुरंत जान सकते हैं कि रेसिपी उस चरण को पास करती हैं या नहीं। यदि आप सभी प्लेनर परीक्षकों की सूची का उपयोग करते हैं, तो आप जान सकते हैं कि रेसिपी वास्तव में क्वांटम अर्थ में समान हैं। और सबसे अच्छी बात यह है कि आप इस परीक्षण को कंप्यूटर पर बहुत तेज़ी से चला सकते हैं।

यह पेपर क्या दावा नहीं करता है:

यह दावा नहीं करता है कि यह सभी ग्राफों के लिए सामान्य ग्राफ आइसोमोर्फिज्म समस्या को हल करता है (यह एक अलग, शास्त्रीय समस्या है)।
यह दावा नहीं करता है कि इसके तत्काल चिकित्सा या नैदानिक अनुप्रयोग हैं।
यह दावा नहीं करता है कि यह एक भौतिक क्वांटम कंप्यूटर बनाता है; यह पूरी तरह से इन क्वांटम परीक्षणों के काम करने के तरीके के बारे में एक गणितीय और एल्गोरिदम संबंधी सफलता है।

तकनीकी सारांश: क्वांटम आइसोमॉर्फिज्म और होमॉर्मोफिज्म इंडिस्टिंग्विशेबिलिटी के लिए NPA पदानुक्रम (Hierarchy)

1. समस्या विवरण और प्रेरणा

यह शोध पत्र ग्राफों के बीच क्वांटम आइसोमॉर्फिज्म (quantum isomorphism) के कम्प्यूटेशनल और संरचनात्मक लक्षण वर्णन को संबोधित करता है। दो ग्राफ $G$ और $H$ क्वांटम आइसोमॉर्फिक ( $G \cong_q H$ ) हैं यदि ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म गेम के लिए एक परफेक्ट क्वांटम रणनीति मौजूद है, जिसमें साझा एंटैंगलमेंट (entanglement) और स्थानीय माप (local measurements) शामिल हैं।

जबकि क्लासिकल ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म निर्णायक (decidable) है (क्वासिपोलिनोमियल समय में हल किया जा सकता है), मैनसिंका और रोबर्सन [FOCS'20] ने सिद्ध किया कि सामान्य रूप से क्वांटम आइसोमॉर्फिज्म को तय करना अनडिसाइडेबल (undecidable) है। यह क्वांटम आइसोमॉर्फिज्म के विशेषाधिकारों (relaxations) के अध्ययन को प्रेरित करता है, विशेष रूप से NPA पदानुक्रम (नाम नेवासक्यू, पिरोनियो और एसीन के नाम पर) को, जो क्वांटम सहसंबंधों (correlations) को अनुमानित करने के लिए सेमीडेफिनेट प्रोग्रामिंग (SDP) विशेषाधिकारों का एक अनुक्रम प्रदान करता है।

होमॉर्मोफिज्म इंडिस्टिंग्विशेबिलिटी (homomorphism indistinguishability) के उभरते सिद्धांत में एक केंद्रीय प्रश्न यह है कि क्या इन SDP विशेषाधिकारों के प्रत्येक स्तर की व्यवहार्यता (feasibility) को कॉम्बिनेटोरियली (combinatorially) लक्षणबद्ध किया जा सकता है। विशेष रूप से, लेखक पूछते हैं: क्या $(G, H)$ -आइसोमॉर्फिज्म गेम के लिए NPA पदानुक्रम के $k$ -वें स्तर की व्यवहार्यता, विशिष्ट ग्राफों के एक वर्ग पर $G$ और $H$ के होमॉर्मोफिज्म इंडिस्टिंग्विशेबल होने के समतुल्य है?

2. कार्यप्रणाली और प्रमाण तकनीकें

यह शोध पत्र बीजगणितीय कॉम्बिनेटोरिक्स (algebraic combinatorics), ऑपरेटर थ्योरी और ग्राफ थ्योरी के संश्लेषण का उपयोग करता है। मुख्य कार्यप्रणाली बिलाबल्ड ग्राफ्स (bilabelled graphs) और होमॉर्मोफिज्म टेंसर (homomorphism tensors) के बीच पत्राचार पर निर्भर करती है।

मुख्य उपकरण

बिलाबल्ड ग्राफ्स और होमॉर्मोफिज्म टेंसर: एक $(k, l)$ -बिलाबल्ड ग्राफ $F = (F, u, v)$ को एक टेंसर $F^G \in \mathbb{C}^{V(G)^k \times V(G)^l}$ से जोड़ा जाता है, जहाँ प्रविष्टियाँ (entries) उन होमॉर्मोफिज्म की गिनती करती हैं जो इनपुट लेबल $u$ को $x$ और आउटपुट लेबल $v$ को $y$ पर मैप करती हैं। बिलाबल्ड ग्राफों पर कॉम्बिनेटोरियल संचालन (सीरीज कंपोजिशन, पैरेलल कंपोजिशन, लेबल्स का चक्रीय क्रम परिवर्तन) इन टेंसरों पर बीजगणितीय संचालन (मैट्रिक्स गुणन, शूर उत्पाद, क्रमपरिवर्तन) के अनुरूप होते हैं।
NPA पदानुक्रम पुनर्गठन: लेखक $k$ -वें स्तर के NPA पदानक्रम के लिए एक प्रमाण (certificate) के अस्तित्व को एक लेवल- $k$ क्वांटम आइसोमॉर्फिज्म मैप के अस्तित्व के रूप में पुनर्गठित करते हैं। यह मैट्रिक्स बीजगणितों के बीच एक कम्पलीटली पॉजिटिव मैप है जो विशिष्ट संरचनात्मक गुणों को संरक्षित करता है।
बीजगणितीय $k$ -तुल्यता (Algebraic $k$ -Equivalence): वे बीजगणितीय $k$ -तुल्यता की अवधारणा पेश करते हैं, जिसे विशिष्ट परमाणु ग्राफों (atomic graphs) के होमॉर्मोफिज्म टेंसर द्वारा जनरेट किए गए उप-बीजगणितों (subalgebras) के बीच एक बीजगणिक आइसोमॉर्फिज्म के रूप में परिभाषित किया गया है, जो ट्रेस-प्रिजर्विंग और यूनिटल शर्तों को संतुष्ट करता है।

प्रमाण संरचना

मुख्य प्रमेय का प्रमाण निम्नलिखित समकक्षताओं की श्रृंखला के माध्यम से आगे बढ़ता है:

NPA व्यवहार्यता $\iff$ क्वांटम आइसोमॉर्फिज्म मैप: NPA प्रमाण के एक प्रिंसिपल सबमैट्रिक्स की व्याख्या एक कम्पलीटली पॉजिटिव मैप के चोई मैट्रिक्स (Choi matrix) के रूप में की जाती है। NPA पदानक्रम के प्रतिबंधों को एक लेवल- $k$ क्वांटम आइसोमॉर्फिज्म मैप के अभिधारणाओं (axioms) के समतुल्य दिखाया गया है (प्रमेय 3.6)।
क्वांटम आइसोमॉर्फिज्म मैप $\iff$ बीजगणितीय $k$ -तुल्यता: क्वांटम आइसोमॉर्फिज्म मैप को विशिष्ट परमाणु ग्राफों $Q_k$ के होमॉर्मोफिज्म टेंसर द्वारा जनरेट किए गए बीजगणितों के बीच एक आइसोमॉर्फिज्म तक सीमित होने के रूप में दिखाया गया है (प्रमेय 3.9)।
बीजगणितीय $k$ -तुल्यता $\iff$ होमॉर्मोफिज्म इंडिस्टिंग्विशेबिलिटी: ग्राफ ऑपरेशन्स और टेंसर बीजगणित के बीच पत्राचार का उपयोग करते हुए, ऐसे बीजगणिक आइसोमॉर्फिज्म के अस्तित्व को एक निर्मित वर्ग $P_k$ के ग्राफों से $G$ और $H$ के समान होमॉर्मोफिज्म काउंट होने के समतुल्य दिखाया गया है (प्रमेय 4.4)।

3. मुख्य योगदान और परिणाम

मुख्य प्रमेय (प्रमेय 1.1)

ग्राफ $G$ और $H$ और एक पूर्णांक $k \ge 1$ के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं:

$(G, H)$ -आइसोमॉर्फिज्म गेम के लिए NPA पदानक्रम का $k$ -वाँ स्तर व्यवहार्य है।
$G$ से $H$ तक एक लेवल- $k$ क्वांटम आइसोमॉर्फिज्म मैप मौजूद है।
$G$ और $H$ बीजगणितीय रूप से $k$ -तुल्य हैं।
$G$ और $H$ , ग्राफ वर्ग $P_k$ पर होमॉर्मोफिज्म इंडिस्टिंग्विशेबल हैं।

यहाँ, $P_k$ प्लेनर बिलाबल्ड ग्राफ्स का एक वर्ग है जिसे परमाणु ग्राफ $Q_k$ से सीरीज कंपोजिशन, विशिष्ट परमाणु ग्राफों के साथ पैरेलल कंपोजिशन, और चक्रीय लेबल परम्यूटेशन का उपयोग करके इंडक्टिव रूप से बनाया गया है।

ग्राफ वर्ग $P_k$ के गुण

प्लानरिटी (Planarity): प्रत्येक ग्राफ $P_k$ प्लेनर है (लेम्मा 4.7)।
बाउंडेड ट्रीविड्थ (Bounded Treewidth): $P_k$ के अंतर्निहित ग्राफों की ट्रीविड्थ (treewidth) अधिकतम $3k-1$ है (लेम्मा 4.5)।
माइनर-क्लोज्ड (Minor-Closed): वर्ग $P_k$ माइनर लेने के लिए बंद है (लेम्मा 4.8)।
यूनियन (Union): सभी $P_k$ ( $k \in \mathbb{N}$ के लिए) के अनलेबल ग्राफों का यूनियन ठीक सभी प्लेनर ग्राफों का सेट है (कोरोलरी 4.12)।

एल्गोरिद्मिक परिणाम (प्रमेय 1.2)

यह शोध पत्र निश्चित $k$ के लिए NPA पदानक्रम के सटीक व्यवहार्यता को तय करने के लिए एक रैंडमाइज्ड पॉलिनोमियल-टाइम एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है।

रनटाइम: $n^{O(k)} k^{O(1)}$ , जहाँ $n = \max\{|V(G)|, |V(H)|\}$ ।
विधि: मानक SDP सॉल्वर (जैसे एलिप्सॉइड मेथड) की सन्निकटन समस्याओं (approximation issues) से बचने के लिए, यह एल्गोरिदम एक यादृच्छिक रूप से चुने गए अभाज्य संख्या $p$ के मॉड्युलो $P_k$ पर होमॉर्मोफिज्म इंडिस्टिंग्विशेबिलिटी की जाँच करता है। यह एक परिमित क्षेत्र (finite field) पर $P_k$ के ग्राफों के होमॉर्मोफिज्म टेंसरों द्वारा जनरेट किए गए वेक्टर स्पेस के आधार (basis) की गणना करता है।
महत्व: यह मानक SDP फॉर्मूलेशन से अंतर्निहित सन्निकटन समस्याओं से बचता है और निश्चित स्तरों के लिए एक सटीक निर्णय प्रक्रिया प्रदान करता है।

मैनसिंका और रोबर्सन [FOCS'20] का वैकल्पिक प्रमाण

NPA पदानक्रम के अभिसरण (convergence) और तथ्य कि $\bigcup_k P_k$ सभी प्लेनर ग्राफों का सेट है, को मुख्य प्रमेय के साथ जोड़कर, लेखक यह निष्कर्ष निकालते हैं कि $G \cong_q H$ यदि और केवल यदि $G$ और $H$ सभी प्लेनर ग्राफों पर होमॉर्मोफिज्म इंडिस्टिंग्विशेबल हैं।

अंतर: [FOCS'20] के मूल प्रमाण के विपरीत, जो कॉम्पैक्ट क्वांटम ग्रुप्स और इंटरट्विनर्स (intertwiners) के सिद्धांत पर बहुत अधिक निर्भर था, यह प्रमाण शुद्ध रूप से कॉम्बिनेटोरियल और बीजगणितीय है, जो NPA बाधाओं की संरचना का उपयोग करता है।

4. महत्व और दावे

यह शोध पत्र दावा करता है कि यह NPA पदानक्रम के लिए एक होमॉर्मोफिज्म इंडिस्टिंग्विशेबिलिटी लक्षण वर्णन प्रदान करता है, जो क्वांटम आइसोमॉर्फिज्म विशेषाधिकारों को होमॉर्मोफिज्म इंडिस्टिंग्विशेबिलिटी संबंधों के व्यापक सैद्धांतिक ढांचे के भीतर रखता है।

सैद्धांतिक एकीकरण: यह नॉन-कम्यूटेटिव NPA पदानक्रम और क्लासिकल लैसेरे (Lasserre) पदानक्रम के बीच के अंतर को पाटता है (जिसे पहले रोबर्सन और सेप्पेलट [ICALP'23] द्वारा ग्राफ वर्गों $L_k$ का उपयोग करके लक्षणबद्ध किया गया था)।
कम्प्यूटेशनल लाभ: यह स्थापित करता है कि निश्चित स्तरों के लिए NPA पदानक्रम की सटीक व्यवहार्यता रैंडमाइज्ड पॉलिनोमियल समय में निर्णायक (decidable) है, जो केवल SDP फॉर्मूलेशन से स्पष्ट नहीं होता है।
क्वांटम आइसोमॉर्फिज्म सिद्धांत का सरलीकरण: यह पेपर क्वांटम आइसोमॉर्फिज्म (प्लेनर ग्राफों के माध्यम से) का एक मौलिक लक्षण वर्णन प्रदान करता है जो क्वांटम समूहों के "भारी मशीनरी" से बचता है, और इसके बजाय NPA बाधाओं की कॉम्बिनेटोरियल संरचना पर निर्भर करता है।

लेखक नोट करते हैं कि जबकि $P_k$ , प्लेनर ग्राफों का एक उपवर्ग है जिसकी बाउंडेड ट्रीविड्थ है, $P_k$ और $L_k$ (क्लासिकल आइसोमॉर्फिज्म विशेषाधिकारों के लिए उपयोग किए जाने वाले) के बीच सटीक संरचनात्मक संबंध एक खुला प्रश्न है (समस्या 6.1)। वे यह भी पूछते हैं कि क्या ऐसा कोई ग्राफ वर्ग मौजूद है जहाँ क्वांटम आइसोमॉर्फिज्म NPA पदानक्रम के एक निश्चित स्तर द्वारा निर्धारित होता है लेकिन क्लासिकल आइसोमॉर्फिज्म से भिन्न होता है (समस्या 6.2)।