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Unraveling Rodeo Algorithm Through the Zeeman Model

यह शोध पत्र बिना किसी पूर्व ज्ञान के सामान्य हैमिल्टोनियन के आइजनस्टेट्स (eigenstates) और आइजनवैल्यूज (eigenvalues) को निर्धारित करने के लिए रोडियो एल्गोरिदम (Rodeo Algorithm) के लिए एक नवीन कार्यप्रणाली प्रस्तुत करता है, जो एक और दो स्पिन के ज़ीमन मॉडलों (Zeeman models) के प्रदर्शन को अनुकूलित करने के लिए पेनिलैन (Pennylane) और किक्सिट (Qiskit) का उपयोग करता है और आईबीएम (IBM) के वास्तविक सुपरकंडक्टिंग क्वांटम उपकरणों पर इस दृष्टिकोण को मान्य करता है।

मूल लेखक: Raphael Fortes Infante Gomes, Julio Cesar Siqueira Rocha, Wallon Anderson Tadaiesky Nogueira, Rodrigo Alves Dias

प्रकाशित 2026-02-23

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Raphael Fortes Infante Gomes, Julio Cesar Siqueira Rocha, Wallon Anderson Tadaiesky Nogueira, Rodrigo Alves Dias

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य चित्र: ब्रह्मांड के "गुप्त कोड" खोजना

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक जटिल, लॉक किया हुआ बॉक्स (एक क्वांटम सिस्टम) है और आप इसके "गुप्त कोड" (इसके ऊर्जा स्तर और अवस्थाएं) जानना चाहते हैं। पुराने दिनों में, इसे समझना ऐसा था जैसे किसी तिजोरी का कॉम्बिनेशन अंदाजे से घुमाने की कोशिश करना जब तक कि वह क्लिक न कर जाए। इसमें बहुत समय लगता था और शुरुआत करने के लिए आपको पहले से कुछ नंबरों का पता होना जरूरी था।

यह पेपर एक नए, स्मार्ट तरीके से उस तिजोरी को खोलने का परिचय देता है जिसे क्वांटम रोडेओ (Quantum Rodeo) कहा जाता है।

मुख्य पात्र: रोडेओ एल्गोरिदम

लेखक एक विधि जिसे रोडेओ एल्गोरिदम (Rodeo Algorithm) कहा जाता है, उसे एक नया करतब सिखा रहे हैं। मूल रूप से, यह एल्गोरिदम एक ऐसे चरवाहे (cowboy) की तरह था जो सांड को पकड़ने की कोशिश कर रहा हो।

सांड (The Bull): वह क्वांटम सिस्टम जिसका आप अध्ययन कर रहे हैं।
सवार (The Rider): "सहायक" क्यूबिट्स (क्वांटम जानकारी के अतिरिक्त बिट्स) जो सांड की सवारी करते हैं।
लक्ष्य: यह देखना कि क्या सवार सांड पर टिका रहता है या नीचे गिर जाता है।

यदि सवार टिका रहता है (मापन एक विशिष्ट परिणाम दिखाता है), तो इसका मतलब है कि "सवार" ने सांड की लय (rhythm) को सही ढंग से पहचान लिया है। क्वांटम शब्दों में, इसका अर्थ है कि आपने सिस्टम का ऊर्जा स्तर खोज लिया है।

समस्या: मूल रोडेओ एल्गोरिदम में एक पेंच था। चरवाहे को पहले से ही यह पता होना चाहिए था कि वह किस सांड की सवारी कर रहा है ताकि उसके टिके रहने की अच्छी संभावना हो। यदि उसे सांड का नाम या आकार नहीं पता होता, तो वह तुरंत नीचे गिर सकता था।

समाधान: यह पेपर कहता है, "कोई बात नहीं! हमें पहले से सांड को जानने की जरूरत नहीं है।" उन्होंने एक नई विधि विकसित की है (जिसे वे "बुल ऑपरेटर" (Bull Operator) कहते हैं) जो एल्गोरिदम को सांड की सभी संभावित लय (ऊर्जा स्तरों) को समझने की अनुमति देती है, भले ही सवार शुरुआत में पूरी तरह से अनभिज्ञ क्यों न हो।

परीक्षण: ज़ीमन मॉडल (Spinning Tops)

अपने नए तरीके को सिद्ध करने के लिए, लेखकों ने एक क्लासिक भौतिकी समस्या पर इसका परीक्षण किया जिसे ज़ीमन मॉडल (Zeeman Model) कहा जाता है।

उपमा (Analogy): कल्पना कीजिए कि एक चुंबकीय क्षेत्र में घूमते हुए छोटे लट्टू (इलेक्ट्रॉन) हैं। ये लट्टू ऊपर या नीचे की ओर घूम सकते हैं।
सेटअप: उन्होंने इसका परीक्षण एक घूमते हुए लट्टू (एक क्यूबिट) और फिर दो घूमते हुए लट्टुओं के साथ किया जो आपस में उलझे (entangled) हो सकते हैं या स्वतंत्र रूप से घूम रहे हो सकते हैं।

उन्होंने इस परीक्षण के लिए दो अलग-अलग "खेल के मैदानों" का उपयोग किया:

पेनीलेन (Pennylane - सिम्युलेटर): एक आदर्श, शोर-मुक्त आभासी दुनिया। जैसे एक वीडियो गेम में अपने रोडेओ कौशल का अभ्यास करना जहाँ गुरुत्वाकर्षण बिल्कुल सही काम करता है।
IBM Q (वास्तविक डिवाइस): एक वास्तविक, भौतिक क्वांटम कंप्यूटर। यह एक धूल भरे, हवादार अखाड़े में अभ्यास करने जैसा है जहाँ जमीन ऊबड़-खाबड़ है और सांड थोड़ा अप्रत्याशित है।

रोडेओ को बेहतर बनाने के चार तरीके

लेखकों ने महसूस किया कि उनके नए तरीके के बावजूद, चीजें गड़बड़ा सकती हैं (उतार-चढ़ाव)। उन्होंने एल्गोरिदम को अधिक सटीक बनाने के लिए चार "ट्रिक्स" (तरीके) निकाले, जैसे एक चरवाहा अपनी टोपी और जूते ठीक करता है:

सवारी को दोहराना (अधिक डेटा): सांड को केवल एक बार पकड़ने की कोशिश करने के बजाय, इसे 50 बार आजमाएं और औसत निकालें। यदि आप 49 बार नीचे गिर जाते हैं और एक बार टिक जाते हैं, तो आप जानते हैं कि कुछ गलत है। यदि आप 49 बार टिके रहते हैं, तो आप जानते हैं कि आपने सही लय ढूंढ ली है।
अधिक सवार जोड़ना (अधिक क्यूबिट्स): एक सहायक क्यूबिट के बजाय, एक पूरी टीम का उपयोग करें। यह एक दर्जन चरवाहों द्वारा एक साथ सांड को पकड़ने की कोशिश करने जैसा है। यदि वे सभी सहमत हैं, तो आप निश्चित रूप से सही हैं। (हालांकि वास्तविक कंप्यूटरों पर इसे करना कठिन है क्योंकि वहां भीड़ हो जाती है)।
संगीत को ट्यून करना (पैरामीटर्स को एडजस्ट करना): एल्गोरिदम यादृच्छिक (random) समय अंतराल का उपयोग करता है। लेखकों ने पाया कि इन यादृच्छिक समयों के "वॉल्यूम" और "टेम्पो" (मानक विचलन और माध्य) को समायोजित करके, वे सांड की लय को शोर से कहीं अधिक स्पष्ट रूप से उभार सकते हैं।
सही घोड़ा चुनना (शुरुआत को अनुकूलित करना): यदि आप गलत प्रारंभिक अवस्था से शुरू करते हैं, तो आप कभी भी सांड को नहीं पकड़ पाएंगे। उन्होंने दिखाया कि सवार की शुरुआती स्थिति को बदलकर, एल्गोरिदम समाधान को तेजी से खोज सकता है।

परिणाम: वीडियो गेम से वास्तविक जीवन तक

सिम्युलेटर में: यह तरीका पूरी तरह से काम कर गया। इसने सभी ऊर्जा स्तरों को खोज लिया, भले ही शुरुआती अवस्था सब कुछ का मिश्रण थी। यह एक अकेले घूमते लट्टू और दो उलझे हुए लोट्टुओं के बीच अंतर बता सका।
वास्तविक कंप्यूटर पर: यह रोमांचक हिस्सा है। वास्तविक क्वांटम कंप्यूटर "शोर वाले" (noisy) होते हैं (वे गलतियाँ करते हैं)। परिणाम एकदम सटीक नहीं थे—शिखर (peaks) सिम्युलेटर की तुलना में उतने तीखे नहीं थे—लेकिन यह तरीका फिर भी काम कर गया। इसने शोर के बावजूद ऊर्जा स्तरों की सफलतापूर्वक पहचान की।

निष्कर्ष (Takeaway)

यह पेपर एक बड़ी प्रगति है क्योंकि यह एक बड़ी बाधा को हटा देता है। पहले, रोडेओ एल्गोरिदम का उपयोग करने के लिए, आपको एक विशेषज्ञ होना पड़ता था जिसे पहले से ही उस उत्तर का पता होता था जिसे आप खोज रहे हैं।

अब, इस नए "बुल ऑपरेटर" कार्यप्रणाली और शोर को संभालने की रणनीतियों के कारण, हम इस एल्गोरिदम का उपयोग अज्ञात क्वांटम सिस्टमों की खोज के लिए कर सकते हैं। यह एक ऐसे चरवाहे को नक्शा देने जैसा है जो काम करता है, भले ही वह कभी उस खेत पर न गया हो। यह उन वास्तविक-दुनिया की भौतिकी समस्याओं को हल करने के लिए वर्तमान, अपूर्ण क्वांटम कंप्यूटरों का उपयोग करने का द्वार खोलता है जो पहले बहुत कठिन थीं।

यहाँ Gomes et al. के शोध पत्र "Unraveling Rodeo Algorithm Through the Zeeman Model" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र किसी भी मनमाने हैमिल्टनियन ( $H|\psi\rangle = E|\psi\rangle$ ) के आइगेनस्टेट्स (eigenstates) और आइगेनवैल्यू स्पेक्ट्रम (eigenvalue spectrum) को निर्धारित करके क्वांटम सिस्टमों के लक्षण वर्णन की चुनौती को संबोधित करता है।

मौजूदा विधियों की सीमाएँ: फेज एस्टीमेशन (Phase Estimation) और एडियाबेटिक इवोल्यूशन (Adiabatic Evolution) जैसी पारंपरिक पद्धतियों के लिए अक्सर महत्वपूर्ण संसाधनों या पूर्व ज्ञान की आवश्यकता होती है।
मूल रोडियो एल्गोरिदम (Rodeo Algorithm) की सीमाएँ: हालाँकि रोडियो एल्गोरिदम (Choi et al. द्वारा प्रस्तावित) आइगेनवैल्यू खोजने के लिए तेजी से समय सीमा प्रदान करता है, लेकिन मूल सूत्रीकरण में कुछ महत्वपूर्ण बाधाएँ हैं:
1. यह प्रारंभिक अवस्था ( $|\psi_I\rangle$ ) और लक्षित आइगेनस्टेट्स के बीच ओवरलैप पर बहुत अधिक निर्भर करता है। यदि ओवरलैप कम है, तो डिटेक्शन विफल हो जाता है।
2. प्रभावी इनपुट को परिभाषित करने के लिए इसे आइगेनस्टेट्स के पूर्व ज्ञान की आवश्यकता होती है।
3. यह विशेष रूप से विसंगति (degeneracy) या एंटैंगलमेंट (entanglement) के मामलों में, मापन के बाद पूर्ण आइगेनस्टेट्स के सेट के निर्माण के लिए विस्तृत प्रक्रिया प्रदान नहीं करता है।
लक्ष्य: एक ऐसी कार्यप्रणाली विकसित करना जो रोडियो एल्गोरिदम को बिना किसी पूर्व ज्ञान के, किसी भी प्रारंभिक अवस्था का उपयोग करके पूर्ण स्पेक्ट्रम (आइगेनवैल्यू और आइगेनस्टेट्स) निर्धारित करने की अनुमति दे, जबकि NISQ उपकरणों के लिए प्रदर्शन को अनुकूलित किया जा सके।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक रोडियो एल्गोरिदम का परीक्षण और परिशोधन करने के लिए जीमान मॉडल (चुंबकीय क्षेत्र में स्पिन इंटरैक्शन) पर आधारित एक नवीन ढांचे का प्रस्ताव करते हैं।

A. सैद्धांतिक ढांचा: "बुल ऑपरेटर" (Bull Operator) और "राइडर स्टेट" (Rider State)

लेखक इसके अनुप्रयोग को सामान्य बनाने के लिए एल्गोरिदम को गणितीय रूप से औपचारिक रूप देते हैं:

राइडर स्टेट ( $|\Psi_0\rangle$ ): यह $N$ सहायक क्विबिट्स (जो $|-\rangle$ में इनिशियलाइज किए गए हैं) और $M$ लक्षित क्विबिट्स (जो एक मनमानी अवस्था $|\psi_I\rangle$ में हैं) से बनी एक ग्लोबल अवस्था है।
बुल ऑपरेटर ( $B$ ): यह एक संयुक्त ऑपरेटर है जो अनुक्रमिक रूप से सहायक क्विबिट्स पर लागू नियंत्रित समय विकास ( $C O_n$ $C O_{n}$ ) और फेज शिफ्ट ( $P_n$ $P_{n}$ ) के क्रम का प्रतिनिधित्व करता है।
- यह ऑपरेटर परीक्षण ऊर्जा $E$ और वास्तविक आइगेनवैल्यू $E_x$ के बीच के अंतर के आधार पर अवस्थाओं को प्रभावी रूप से "ट्विस्ट" (twist) करता है।
मापन रणनीति (Measurement Strategy): एकल शॉट पर निर्भर रहने के बजाय, लेखक सहायक क्विबिट्स के लिए पाउली-Z ऑपरेटर ( $\sigma_z$ $σ_{z}$ ) के एक्सपेक्टेशन वैल्यू (expectation value) की गणना करते हैं। वे एक फलन $h(E, \psi_I)$ $h (E, ψ_{I})$ को परिभाषित करते हैं जो गाऊसी प्रोबेबिलिटी डेंसिटी फंक्शन (PDF) से प्राप्त यादृच्छिक समय अंतराल $t_k$ $t_{k}$ पर औसत मापन परिणाम को दर्शाता है।
- मुख्य अंतर्दृष्टि: जब परीक्षण ऊर्जा $E$ एक आइगेनवैल्यू $E_x$ के बराबर होती है, तो फलन $-h(E, \psi_I)$ शिखर (peak) बनाता है। इस शिखर का आयाम उस प्रायिकता $P(x) = |\langle x|\psi_I\rangle|^2$ के अनुरूप होता है जो प्रारंभिक अवस्था का उस आइगेनस्टेट पर प्रोजेक्शन है।

B. सिमुलेशन और प्रयोगात्मक प्लेटफॉर्म

अध्ययन पद्धति को मान्य करने के लिए दो प्लेटफॉर्म का उपयोग करता है:

पेनीलेन (Pennylane - Xanadu): सिंगल और टू-क्विबिट सिस्टम के उच्च-सटीकता वाले सिमुलेशन के लिए, जिसका उपयोग पैरामीटर ऑप्टिमाइज़ेशन और शोर-मुक्त परिदृश्यों के विश्लेषण के लिए किया गया है।
IBM Q एक्सपीरियंस (वास्तविक डिवाइस): विशेष रूप से ibmq_lima सुपरकंडक्टिंग डिवाइस का उपयोग, यह परीक्षण करने के लिए कि एल्गोरिदम वास्तविक दुनिया के शोर (noise), डिकोहेरेंस (decoherence) और गेट एरर के प्रति कितना सुदृढ़ है।

C. अनुकूलन रणनीतियाँ (Optimization Strategies)

NISQ सीमाओं और प्रारंभिक अवस्था के ओवरलैप पर निर्भरता को दूर करने के लिए, लेखक चार रणनीतियाँ पेश करते हैं:

मापन पुनरावृत्ति (Measurement Repetition): सांख्यिकीय फैलाव (standard deviation) को कम करने के लिए विभिन्न यादृच्छिक समय अंतरालों के साथ प्रयोग को दोहराना ( $N_{rounds}$ )।
सहायक क्विबिट्स बढ़ाना: फिल्टरिंग प्रक्रिया को समानांतर (parallelize) करने के लिए अधिक सहायक क्विबिट्स ( $N > 1$ ) का उपयोग करना, हालांकि इससे सर्किट डेप्थ और शोर के प्रति संवेदनशीलता बढ़ जाती है।
PDF पैरामीटर ट्यूनिंग: समय अंतरालों के लिए गाऊसी वितरण के मानक विचलन ( $d$ ) और माध्य ( $\tau$ ) को अनुकूलित करना ताकि पीक्स को तीक्ष्ण बनाया जा सके और दोलनों (oscillations) को कम किया जा सके।
प्रारंभिक अवस्था ट्यूनिंग: विशिष्ट आइगेनस्टेट्स के साथ ओवरलैप को अधिकतम करने के लिए इनपुट अवस्था के ब्लॉक स्फीयर कोणों ( $\theta, \phi$ ) को व्यवस्थित रूप से बदलना, जो प्रभावी रूप से हिल्बर्ट स्पेस को "स्कैन" करता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

मनमानी अवस्थाओं के लिए सामान्यीकरण: शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि प्रस्तावित $h(E, \psi_I)$ फलन और अनुकूलन रणनीतियों के माध्यम से विश्लेषण किए जाने पर, रोडियो एल्गोरिदम कम ओवरलैप वाली प्रारंभिक अवस्थाओं के साथ भी आइगेनवैल्यू और आइगेनस्टेट्स को सफलतापूर्वक पहचान सकता है।
विसंगति (Degeneracy) और एंटैंगलमेंट को संभालना:
- विसंगति (Degeneracy): विधि दो स्पिन (जैसे $E=0$ के लिए दो स्पिन) जैसे विसंगत आइगेनवैल्यू को सही ढंग से पहचानती है जहाँ कई आइगेनस्टेट्स एक ही ऊर्जा साझा करते हैं।
- एंटैंगलमेंट (Entanglement): एल्गोरिदम मैक्सिमली एंटैंगल्ड इनिशियल स्टेट्स (बेल स्टेट्स) और आंशिक रूप से एंटैंगल्ड अवस्थाओं को सफलतापूर्वक प्रोसेस करता है, जिससे परिणामी प्रायिकता वितरण को अंतर्निहित हैमिल्टनियन स्पेक्ट्रम के साथ सही ढंग से मैप किया जाता है।
शोर प्रतिरोध विश्लेषण (Noise Resilience Analysis): अध्ययन मात्रात्मक रूप से बताता है कि वास्तविक-डिवाइस शोर (डिकोहेरेंस, गेट एरर) पीक की ऊंचाई को कैसे प्रभावित करता है (इसे ठीक 1.0 तक पहुँचने से रोकता है) और यह भी प्रस्तावित करता है कि मापन पुनरावृत्तियों को बढ़ाकर और PDF पैरामीटर्स को ट्यून करके इन प्रभावों को कम किया जा सकता है।
ओपन डेटा और कोड: सहयोगात्मक अनुसंधान को बढ़ावा देने के लिए लेखकों ने जेनेडो (Zenodo) पर डेटासेट और कम्प्यूटेशनल कोड उपलब्ध कराए हैं।

4. परिणाम (Results)

सिंगल-स्पिन सिस्टम:
- एल्गोरिदम ने मनमानी प्रारंभिक अवस्थाओं के लिए आइगेनवैल्यू $E = \pm B$ की सफलतापूर्वक पहचान की।
- जब प्रारंभिक अवस्था एक आइगेनस्टेट थी, तो पीक $-h \approx 1$ तक पहुँच गया।
- सुपरपोजिशन अवस्थाओं (जैसे $|+\rangle$ ) के लिए, $\pm B$ पर दो पीक्स दिखाई दिए, जिनके आयाम सुपरपोजिशन के प्रायिकता आयामों (जैसे 0.5 प्रत्येक) के अनुरूप थे।
- $N_{rounds}$ को 1 से 50 तक बढ़ाने से उतार-चढ़ाव काफी कम हो गया, जिससे आइगेनवैल्यू स्पष्ट रूप से पहचानने योग्य हो गए।
टू-स्पिन सिस्टम (बाइपार्टाइट):
- गैर-परस्पर क्रिया करने वाले स्पिन (Non-interacting Spins): विधि ने स्पेक्ट्रम $E = \{-2B, 0, 0, 2B\}$ को हल किया, और $E=0$ पर विसंगति (degeneracy) की सही पहचान की।
- एंटैंगल्ड अवस्थाएं (Entangled States):
  - बेल स्टेट्स $|\Phi^\pm\rangle$ ( $|00\rangle$ और $|11\rangle$ का सुपरपोजिशन) के लिए, $\pm 2B$ पर पीक्स दिखाई दिए।
  - बेल स्टेट्स $|\Psi^\pm\rangle$ ( $|01\rangle$ और $|10\rangle$ का सुपरपोजिशन) के लिए, विसंगति के कारण $E=0$ पर एक एकल पीक दिखाई दिया।
  - आंशिक रूप से एंटैंगल्ड अवस्थाओं ने विशिष्ट सुपरपोजिशन गुणांकों को दर्शाने वाले पीक्स उत्पन्न किए।
वास्तविक डिवाइस (IBM ibmq_lima):
- परिणाम सिम्युलेटर डेटा के समान थे, लेकिन शोर के कारण कम पीक ऊंचाई (अधिकतम $\approx 0.8$ ) दिखाई दी।
- शोर के बावजूद, पीक्स के स्थान (आइगेनवैल्यू) सटीक रहे, जो वर्तमान NISQ हार्डवेयर पर एल्गोरिदम की व्यवहार्यता की पुष्टि करते हैं।

5. महत्व (Significance)

यह कार्य कई कारणों से महत्वपूर्ण है:

NISQ के लिए व्यावहारिकता: यह पैरामीटर ट्यूनिंग और पुनरावृत्ति रणनीतियों को पेश करके वर्तमान, शोर वाले क्वांटम कंप्यूटरों पर रोडियो एल्गोरिदम का उपयोग करने के लिए एक ठोस रोडमैप प्रदान करता है, जिसमें त्रुटि सुधार (error correction) की आवश्यकता नहीं होती है।
पूर्व ज्ञान की बाधा को हटाना: यह दिखाकर कि पूर्ण स्पेक्ट्रम को पुनर्गठित करने के लिए मनमानी प्रारंभिक अवस्थाओं का उपयोग किया जा सकता है, यह शोध पत्र क्वांटम आइगेनवैल्यू समस्याओं में एक बड़ी बाधा को दूर करता है, जिससे एल्गोरिदम अज्ञात प्रणालियों के लिए अधिक सुलभ हो जाता है।
स्केलेबिलिटी (Scalability): एंटैंगलमेंट और विसंगति के साथ टू-क्विबिट सिस्टमों पर सफल अनुप्रयोग यह सुझाव देता है कि यह विधि बड़े, अधिक जटिल मेनी-बॉडी सिस्टम के लिए स्केलेबल है।
बेंचमार्किंग: यह सिम्युलेटर प्रदर्शन की वास्तविक हार्डवेयर के साथ तुलना करने के लिए एक मजबूत बेंचमार्क के रूप में कार्य करता है, जो उन विशिष्ट शोर स्रोतों (जैसे SWAP गेट ओवरहेड) को उजागर करता है जो एल्गोरिदम की दक्षता को प्रभावित करते हैं।

निष्कर्षतः, लेखकों ने सफलतापूर्वक रोडियो एल्गोरिदम को "अनरैवल" (unravel) किया है, जिससे इसे विशिष्ट प्रारंभिक स्थितियों की आवश्यकता वाले तरीके से बदलकर अज्ञात क्वांटम प्रणालियों के स्पेक्ट्रल विश्लेषण के लिए एक बहुमुखी उपकरण बना दिया है, जिसे सिमुलेशन और वास्तविक क्वांटम हार्डवेयर दोनों के माध्यम से प्रमाणित किया गया है।