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Approximating under the Influence of Quantum Noise and Compute Power

यह शोध पत्र तीन अनुकूलन समस्याओं (optimization problems) में चार QAOA वेरिएंट के प्रदर्शन पर क्वांटम शोर (quantum noise) और कंप्यूट शक्ति के प्रभाव का विश्लेषण करने के लिए व्यापक डेंसिटी-मैट्रिक्स-आधारित सिमुलेशन का उपयोग करता है, जिससे उन प्रमुख कारकों की पहचान होती है जो उपयोगकर्ता की आवश्यकताओं के आधार पर इष्टतम क्वांटम समाधानों का चयन करने के लिए स्वचालित सॉफ्टवेयर इंजीनियरिंग एब्स्ट्रैक्शन के डिज़ाइन को सूचित करते हैं।

मूल लेखक: Simon Thelen, Hila Safi, Wolfgang Mauerer

प्रकाशित 2026-02-26

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Simon Thelen, Hila Safi, Wolfgang Mauerer

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, अविश्वसनीय रूप से जटिल पहेली को हल करने की कोशिश कर रहे हैं। आपके पास दो प्रकार के सहायक हैं:

क्लासिकल हेल्पर (Classical Helper): एक सुपर-फास्ट, भरोसेमंद, लेकिन थोड़ा "मूर्ख" कंप्यूटर जो दशकों से मौजूद है। यह नियमों का पालन करने में बहुत अच्छा है लेकिन पहेली के सबसे कठिन हिस्सों में संघर्ष करता है।
क्वांटम हेल्पर (Quantum Helper): एक बिल्कुल नया, जादुई, लेकिन बहुत नाजुक सहायक। इसमें सबसे कठिन हिस्सों को तुरंत हल करने की क्षमता है, लेकिन यह "शोर" (जैसे छींक, कंपन, या स्टैटिक शॉक) से आसानी से विचलित हो जाता है और यदि कार्य बहुत लंबे समय तक चलता है तो गलतियाँ करता है।

यह पेपर इस बारे में है कि इन दोनों सहायकों को प्रभावी ढंग से एक साथ काम करने में कैसे लाया जाए ताकि जादुई वाला सब कुछ खराब न कर दे।

समस्या: "शोर वाला" जादू (The "Noisy" Magic)

लेखक एक विशिष्ट विधि का अध्ययन कर रहे हैं जिसे QAOA (क्वांटम एप्रोक्सिमेट ऑप्टिमाइज़ेशन एल्गोरिदम) कहा जाता है। QAOA को क्वांटम हेल्पर का उपयोग करने की एक "रेसिपी" (विधि) के रूप में समझें।

रेसिपी में एक "गहराई" (depth) या "परतें" (layers) होती हैं।

उथली रेसिपी (1 लेयर): क्वांटम हेल्पर एक त्वरित, सरल कार्य करता है। यह तेज़ है और कम गलतियाँ करता है, लेकिन उत्तर केवल "ठीक-ठाक" हो सकता है।
गहरी रेसिपी (4+ लेयर्स): क्वांटम हेल्पर एक जटिल, बहु-चरणीय नृत्य करता है। एक आदर्श दुनिया में, यह परफेक्ट उत्तर देगा। लेकिन हमारी वास्तविक दुनिया में, क्वांटम हेल्पर "शोर वाला" (noisy) है। नृत्य जितना लंबा होगा, उसके अपने पैरों में उलझकर गिरने, कदम भूल जाने या स्टैटिक से भ्रमित होने की संभावना उतनी ही अधिक होगी।

बड़ा सवाल जो यह पेपर पूछता है, वह यह है: हमें किस संस्करण वाली रेसिपी का उपयोग करना चाहिए? क्या हमें क्वांटम हेल्पर को एक सरल नृत्य करने के लिए कहना चाहिए या एक जटिल नृत्य के लिए? और क्या यह मायने रखता है कि हम एक विशेष "वार्म-अप" तकनीक या एक "रिकर्सिव" (चरण-दर-चरण) तकनीक का उपयोग करें?

चार रणनीतियाँ (The Four Strategies/Recipes)

शोधकर्ताओं ने क्वांटम हेल्पर का उपयोग करने के चार अलग-अलग तरीकों का परीक्षण किया:

स्टैंडर्ड QAOA (Standard QAOA): बुनियादी रेसिपी। क्वांटम हेल्पर शून्य से शुरुआत करता है और सबसे अच्छा उत्तर खोजने की कोशिश करता है।
वार्म-स्टार्ट QAOA (Warm-Start QAOA - WSQAOA): क्वांटम हेल्पर शुरू करने से पहले, क्लासिकल हेल्पर उसे एक "हिंट" या उत्तर का एक मोटा अनुमान देता है। क्वांटम हेल्पर फिर उस अनुमान को सुधारने (पॉलिश करने) की कोशिश करता है। यह एक छात्र को परीक्षा से पहले स्टडी गाइड देने जैसा है।
वार्म-स्टार्ट इनिट QAOA (Warm-Start Init QAOA - WS-Init-QAOA): यह भी ऊपर दिए गए तरीके के समान है, लेकिन यहाँ क्वांटम हेल्पर को हिंट के आधार पर केवल एक थोड़ी अलग शुरुआती स्थिति दी जाती है, बिना पूरे डांस रूटीन को बदले।
रिकर्सिव QAOA (Recursive QAOA - RQAOA): यह सबसे चतुर रणनीति है। पूरी विशाल पहेली को एक साथ हल करने के बजाय, RQAOA एक छोटा सा हिस्सा हल करता है, उस हिस्से को अपनी जगह पर लॉक कर देता है, और फिर क्लासिकल हेल्पर उस हिस्से को पहेली से हटा देता है। क्वांटम हेल्पर फिर बाकी बचे छोटे पहेली को हल करता है। यह तब तक दोहराता रहता है जब तक कि पहेली इतनी छोटी न हो जाए कि उसे आसानी से हल किया जा सके।

प्रयोग: अराजकता का अनुकरण (The Experiment: Simulating the Chaos)

चूंकि असली क्वांटम कंप्यूटर महंगे और कठिन होते हैं, इसलिए लेखकों ने एक अत्यंत सटीक डिजिटल सिमुलेशन बनाया। उन्होंने एक आभासी लैब बनाई जहाँ वे:

तीन प्रकार की पहेलियाँ (Max-Cut, Partition, Vertex Cover—सोचिए कि ये विभिन्न प्रकार के लॉजिक गेम हैं) बना सकते थे।
"शोर" को कम या ज्यादा कर सकते थे (एक शांत कमरे बनाम जैकहैमर वाले शोर वाले कमरे का अनुकरण करते हुए)।
परीक्षण कर सकते थे कि प्रत्येक रणनीति में कितने "लेयर्स" (चरणों) का उपयोग किया गया।

आश्चर्यजनक निष्कर्ष (The Surprising Findings)

1. "रिकर्सिव" रणनीति जीतती है (लेकिन यह धीमी है)
Recursive QAOA (RQAOA) उच्च गुणवत्ता वाले उत्तर प्राप्त करने के लिए स्पष्ट विजेता था, भले ही "शोर" बहुत अधिक हो।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक फिसलन भरे पहाड़ पर चढ़ने की कोशिश कर रहे हैं। अन्य रणनीतियाँ एक ही बार में पूरे पहाड़ पर दौड़ने की कोशिश करती हैं और अक्सर फिसल जाती हैं। RQAOA एक ऐसे पर्वतारोही की तरह है जो हर कुछ फीट पर रुकता है, एक झंडा लगाता है और रस्सी सुरक्षित करता है। भले ही वे थोड़ा फिसलें, वे पूरी तरह से नीचे नहीं गिरते।
चुनौती: क्योंकि इसे प्रक्रिया को कई बार रोकने और फिर से शुरू करने की आवश्यकता होती है, इसलिए इसे चलाने में बहुत अधिक समय लगता है। यह "धीमी और स्थिर" (slow and steady) पद्धति है।

2. अधिक लेयर्स का मतलब हमेशा बेहतर नहीं होता
अन्य रणनीतियों के लिए, लेयर्स जोड़ना (नृत्य को लंबा बनाना) शोर वाले वातावरण में अक्सर चीजों को बदतर बना देता है।

उपमा: यह एक भीड़भाड़ वाले शोर वाले कमरे में एक लंबी, जटिल बात फुसफुसाने की कोशिश करने जैसा है। यदि आप एक छोटा वाक्य बोलने की कोशिश करते हैं, तो लोग उसे सुन सकते हैं। यदि आप 10 मिनट की कहानी सुनाने की कोशिश करते हैं, तो शोर आपकी बात को दबा देगा और संदेश बिगड़ जाएगा। कभी-कभी, एक लंबे और परफेक्ट संदेश के बजाय एक छोटा और सरल संदेश बेहतर होता है जिसे सुना जा सके।

3. "वार्म स्टार्ट" ने ज्यादा मदद नहीं की
क्वांटम हेल्पर को हिंट देना (Warm Start) उम्मीद के मुताबिक परिणामों में सुधार नहीं कर पाया। शोर अभी भी इतना मजबूत था कि अतिरिक्त जटिलता का कोई लाभ नहीं मिल सका।

यह क्यों मायने रखता है?

लेखक तर्क देते हैं कि हमें सामान्य लोगों (जैसे इंजीनियरों या बिजनेस एनालिस्टों) से यह उम्मीद नहीं करनी चाहिए कि वे क्वांटम शोर या कितने लेयर्स का उपयोग करना है, इसके सूक्ष्म विवरणों को समझें। वह बहुत तकनीकी है।

इसके बजाय, हमें स्मार्ट सॉफ्टवेयर टूल्स (जैसे एक स्वचालित अनुवादक) की आवश्यकता है जो:

उपयोगकर्ता की इच्छा को सुनें (जैसे, "मुझे जवाब जल्दी चाहिए" या "मुझे 99% परफेक्ट उत्तर चाहिए")।
हार्डवेयर की वर्तमान स्थिति को देखें (आज क्वांटम कंप्यूटर कितना शोर वाला है?)।
सर्वश्रेष्ठ रणनीति का स्वतः चयन करें।

यदि उपयोगकर्ता को गति चाहिए, तो टूल एक सरल, उथला (shallow) QAOA चुन सकता है। यदि उन्हें पूर्णता चाहिए और उनके पास समय है, तो टूल धीमा लेकिन मजबूत Recursive QAOA चुन सकता है।

निचोड़ (The Bottom Line)

यह पेपर क्वांटम कंप्यूटरों के लिए "ऑटोपायलट" बनाने का एक रोडमैप है। यह हमें बताता है कि वर्तमान शोर वाले युग में, जटिल और गहरे समाधान को जबरदस्ती लागू करने के बजाय, सरलता और समस्याओं को छोटे टुकड़ों में तोड़ना (Recursion) अक्सर बेहतर होता है। लक्ष्य उपयोगकर्ता से जटिल भौतिकी (physics) को छिपाना और बस उनकी विशिष्ट आवश्यकताओं के लिए उन्हें सबसे अच्छा उत्तर देना है।

यहाँ साइमन थेलेन, हिला सफी और वोल्फगैंग मौरर के शोध पत्र "Approximating under the Influence of Quantum Noise and Compute Power" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र कॉम्बिनेटोरियल ऑप्टिमाइज़ेशन (combinatorial optimization) के लिए नॉइजी इंटरमीडिएट-स्केल क्वांटम (NISQ) कंप्यूटरों को हाई-परफॉर्मेंस कंप्यूटिंग (HPC) वातावरण में एकीकृत करने की महत्वपूर्ण चुनौती को संबोधित करता है। हालांकि क्वांटम एप्रोक्सिमेट ऑप्टिमाइज़ेशन एल्गोरिदम (QAOA) और इसके वेरिएंट हाइब्रिड क्वांटम-क्लासिकल वर्कफ़्लो के लिए आशाजनक हैं, लेकिन उनकी व्यावहारिक उपयोगिता निम्नलिखित कारणों से बाधित है:

क्वांटम नॉइज़ (Quantum Noise): वर्तमान हार्डवेयर की कमियाँ (डिकोहेरेंस, गेट एरर्स) एल्गोरिदम के प्रदर्शन को खराब कर देती हैं, जो अक्सर गहरे (deeper) सर्किट्स के लाभों को निष्प्रभावी कर देती हैं।
वेरिएंट चयन जटिलता (Variant Selection Complexity): कई QAOA वेरिएंट्स (जैसे स्टैंडर्ड, वॉर्म-स्टार्टिंग, रिकर्सिव) मौजूद हैं, लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि विशिष्ट गैर-कार्यात्मक आवश्यकताओं (जैसे समाधान की गुणवत्ता बनाम रनटाइम) के लिए, यथार्थवादी शोर स्थितियों के तहत, कौन सा वेरिएंट, लेयर डेप्थ या पैरामीटर सेट सबसे अच्छा परिणाम देता है।
स्वचालन का अभाव (Lack of Automation): वर्तमान में एंड-यूजर्स के पास हार्डवेयर की विशिष्टताओं और शोर की विशेषताओं के गहन ज्ञान के बिना इष्टतम एल्गोरिदम कॉन्फ़िगरेशन को स्वचालित रूप से चुनने के लिए उपकरणों का अभाव है।

मुख्य शोध प्रश्न यह है: विभिन्न QAOA वेरिएंट, लेयर डेप्थ और शोर की तीव्रता, एप्रोक्सिमेशन क्वालिटी और रनटाइम को प्रभावित करने के लिए कैसे परस्पर क्रिया करते हैं, और इन कॉन्फ़िगरेशन को चुनने के लिए ऑटोमेटेड टूलचेन को किन कारकों द्वारा निर्देशित किया जाना चाहिए?

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखकों ने यथार्थवादी क्वांटम शोर को मॉडल करने के लिए डेंसिटी-मैट्रिक्स-आधारित न्यूमेरिकल सिमुलेशन का उपयोग करके एक व्यापक अध्ययन किया, जिससे आइडियलाइज्ड स्टेट-वेक्टर सिमुलेशन की सीमाओं से बचा जा सके।

मूल्यांकित एल्गोरिदम (Algorithms Evaluated):
1. स्टैंडर्ड QAOA: बेसलाइन वेरिएशनल एल्गोरिदम।
2. वॉर्म-स्टार्ट QAOA (WSQAOA): क्वांटम स्टेट को इनिशियलाइज़ करने के लिए एक क्लासिकल एप्रोक्सिमेट सॉल्यूशन का उपयोग करता है और मिक्सर हैमिल्टोनियन को संशोधित करता है।
3. वॉर्म-स्टार्ट इनिशियलाइजेशन QAOA (WS-Init-QAOA): केवल प्रारंभिक स्टेट प्रिपरेशन के लिए क्लासिकल एप्रोक्सिमेट सॉल्यूशन का उपयोग करता है।
4. रिकर्सिव QAOA (RQAOA): सर्किट को पुनरावृत्ति (iteratively) से सैंपल करता है, उच्चतम अपेक्षित मान वाले वेरिएबल को फिक्स करता है, और समस्या के आकार को तब तक कम करता है जब तक कि वह सरल न हो जाए।
बेंचमार्क समस्याएं (Benchmark Problems):
तीन NP-कम्प्लीट समस्याओं का उपयोग किया गया, जिनमें से प्रत्येक की विशिष्ट एप्रोक्सिमेशन हार्डनेस विशेषताएं हैं:
- मैक्स-कट (Max-Cut): ग्राफ वर्टिसेस को विभाजित करना।
- पार्टिशन (Partition): संख्याओं को सबसेट्स में वितरित करना।
- वर्टेक्स कवर (Vertex Cover): न्यूनतम वर्टेक्स सेट खोजना जो सभी एडजेस को कवर करता हो।
- नोट: अध्ययन में $n \in \{5, \dots, 10\}$ क्विबिट्स के साथ रैंडम इंस्टेंस का उपयोग किया गया।
नॉइज़ मॉडल (Noise Model):
- इसे एविडन क्यूप्टिवा 800 (Eviden Qaptiva 800) सिम्युलेटर पर Qiskit नॉइज़ मॉडल का उपयोग करके लागू किया गया (जिसे 46 IBM QPUs के विरुद्ध कैलिब्रेट किया गया था)।
- त्रुटि स्रोत (Error Sources): डिपोलराइजिंग चैनल्स (गेट एरर्स) और थर्मल रिलैक्सेशन ( $T_1, T_2$ )।
- पैरामीटर्स: बेसलाइन पैरामीटर्स IBM बैकएंड्स के मीडियन वैल्यूज से प्राप्त किए गए थे। अध्ययन में नॉइज़ स्ट्रेंथ ( $d_D$ और $d_{TR}$ ) को 0 (आइडियल) से 1 (बेसलाइन IBM नॉइज़) तक बदला गया।
मेट्रिक्स (Metrics):
- एप्रोक्सिमेशन क्वालिटी (Approximation Quality): प्राप्त समाधान और इष्टतम समाधान का अनुपात (1.0 = इष्टतम)।
- रनटाइम (Runtime): गेट ड्यूरेशन, मेजरमेंट टाइम और क्लासिकल ऑप्टिमाइज़ेशन इटरेशन (COBYLA ऑप्टिमाइज़र) के आधार पर अनुमानित।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

व्यापक तुलनात्मक अध्ययन: यह उन पहले अध्ययनों में से एक है जो डेंसिटी-मैट्रिक्स सिमुलेशन का उपयोग करके नॉइज़ के निरंतर स्तर और समस्या के प्रकारों के माध्यम से चार अलग-अलग QAOA वेरिएंट्स की व्यवस्थित तुलना करता है।
मजबूत वेरिएंट्स की पहचान: लेखक यह प्रदर्शित करते हैं कि RQAOA, अन्य वेरिएंट्स की तुलना में शोर के प्रति काफी अधिक मजबूत (robust) है, जो सर्किट डेप्थ बढ़ने के बावजूद उच्च समाधान गुणवत्ता बनाए रखता है।
नॉइज़ बनाम डेप्थ ट्रेड-ऑफ विश्लेषण: अध्ययन उस "टिपिंग पॉइंट" को मापता है जहाँ अधिक लेयर्स जोड़ना (जो सैद्धांतिक रूप से एप्रोक्सिमेशन में सुधार करता है) शोर के संचय (accumulation) के कारण होने वाले नुकसान से अधिक हो जाता है।
स्वचालन के लिए मार्गदर्शन: शोध पत्र विशिष्ट सह-चर (co-variables) की पहचान करता है (समस्या का प्रकार, शोर की तीव्रता, एल्गोरिदम वेरिएंट) जिन्हें भविष्य के कंपाइलर/रनटाइम सिस्टम के लिए एल्गोरिदम चयन को स्वचालित करने हेतु इनपुट के रूप में उपयोग किया जाना चाहिए।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

प्रदर्शन रैंकिंग (Performance Ranking):
- RQAOA ने आइडियल और नॉइज़ी दोनों परिदृश्यों में लगातार सर्वश्रेष्ठ एप्रोक्सिमेशन क्वालिटी प्राप्त की, हालांकि इसके पुनरावृत्ति स्वभाव के कारण इसमें उच्च रनटाइम लागत आती है।
- स्टैंडर्ड QAOA नॉइजी वातावरण में सबसे खराब प्रदर्शन करता है।
- वॉर्म-स्टार्ट वेरिएंट्स (WSQAOA, WS-Init-QAOA) दूसरे और तीसरे स्थान पर रहे, लेकिन नॉइजी स्थितियों में लेयर डेप्थ बढ़ाने से सीमित लाभ दिखाया।
डेप्थ पर नॉइज़ का प्रभाव:
- आइडियल स्थितियों में, लेयर्स ( $p$ ) बढ़ाने से परिणाम सुधरते हैं।
- यथार्थवादी IBM Q नॉइज़ के तहत, लेयर्स बढ़ाने से अक्सर प्रदर्शन घट जाता है। अधिकांश वेरिएंट्स के लिए, दूसरी लेयर ने कोई लाभ नहीं दिया या वह हानिकारक साबित हुई।
- RQAOA अपवाद था; यह मध्यम शोर के तहत भी दूसरी लेयर से लाभ उठा सकता है क्योंकि यह वेरिएबल्स को जल्दी फिक्स कर देता है, जिससे शेष सर्च स्पेस पर शोर का प्रभाव कम हो जाता है।
समस्या-विशिष्ट संवेदनशीलता (Problem-Specific Sensitivity):
- पार्टिशन (Partition) शोर के प्रति सबसे संवेदनशील था, संभवतः इसलिए क्योंकि इसके सर्किट के लिए मैक्स-कट और वर्टेक्स कवर (एक एड्ज प्रति जोड़ा, लगभग 50% जोड़े) की तुलना में अधिक C-X गेट्स (प्रत्येक क्विबिट के जोड़े के लिए एक) की आवश्यकता होती है।
- मैक्स-कट और वर्टेक्स कवर अधिक नॉइज़-रेज़िलिएंट (शोर-सहनीय) थे।
लेयर सिलेक्शन ह्यूरिस्टिक्स (Layer Selection Heuristics):
- एक लेयर जोड़ने का "सापेक्ष लाभ" (एक दिए गए एल्गोरिदम/समस्या जोड़ी के लिए $p$ बनाम $p-1$ का प्रदर्शन) नॉइज़ स्ट्रेंथ की परवाह किए बिना सुसंगत (consistent) पाया गया। यह सुझाव देता है कि इष्टतम लेयर चयन के लिए रीयल-टाइम नॉइज़ कैलिब्रेशन की आवश्यकता नहीं हो सकती है, बल्कि इसे समस्या के प्रकार के आधार पर पूर्व-निर्धारित किया जा सकता है।

5. महत्व और भविष्य की दिशाएं (Significance and Future Directions)

QC/HPC के लिए सॉफ्टवेयर इंजीनियरिंग: परिणाम तर्क देते हैं कि भविष्य के HPC/क्वांटम सॉफ्टवेयर स्टैक में स्वचालित एब्स्ट्रैक्शन मैकेनिज्म शामिल होने चाहिए। कंपाइलर्स को उपयोगकर्ता द्वारा परिभाषित गैर-कार्यात्मक आवश्यकताओं (जैसे "10 सेकंड के भीतर अधिकतम गुणवत्ता प्राप्त करें") के आधार पर इष्टतम QAOA वेरिएंट और लेयर काउंट चुनने में सक्षम होना चाहिए, बिना उपयोगकर्ता को क्वांटम शोर भौतिकी को समझने की आवश्यकता के।
स्वचालन की व्यवहार्यता: अध्ययन सुझाव देता है कि कंपाइल टाइम पर छोटे "डमी" इंस्टेंस को प्रोब (probe) करना बड़े, वास्तविक दुनिया के समस्या इंस्टेंस के लिए पैरामीटर्स चुनने के लिए प्रभावी रूप से सूचित कर सकता है।
व्यावहारिक उपयोगिता: निष्कर्ष इस बात की पुष्टि करते हैं कि हालांकि NISQ डिवाइस शोर वाले होते हैं, फिर भी विशिष्ट एल्गोरिथमिक रणनीतियाँ (जैसे RQAOA) मानक QAOA या क्लासिकल ह्यूरिस्टिक्स से बेहतर प्रदर्शन कर सकती हैं यदि सिस्टम को सही ढंग से कॉन्फ़िगर किया गया हो।
पुनरुत्पादकता (Reproducibility): लेखक एक व्यापक रिप्रोडक्शन पैकेज और कोड रिपॉजिटरी प्रदान करते हैं, जिससे समुदाय को इन सिमुलेशन को अन्य आर्किटेक्चर और समस्या आकारों तक विस्तारित करने में मदद मिलेगी।

निष्कर्षतः, यह शोध पत्र क्वांटम ऑप्टिमाइज़ेशन को HPC में एकीकृत करने के लिए एक डेटा-संचालित रोडमैप प्रदान करता है, जिसमें इस बात पर जोर दिया गया है कि एल्गोरिदम का चयन हार्डवेयर चयन जितना ही महत्वपूर्ण है और स्वचालन (automation) ही NISK-युग के हाइब्रिड कंप्यूटिंग की क्षमता को अनलॉक करने की कुंजी है।